Eine Pendeluhr richtig stellen
AFB IIIn einer Standuhr zählt das Uhrwerk die Schwingungen eines Fadenpendels und rückt den Zeiger bei jeder vollen Schwingung um genau \(2{,}00\,\mathrm s\) weiter (Material M1). Die Uhr geht also genau dann richtig, wenn ihr Pendel die Schwingungsdauer \(T=2{,}00\,\mathrm s\) hat. Nach der Aufstellung in einem Wohnhaus in Norddeutschland \((g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}})\) stellt der Besitzer fest, dass die Uhr täglich um \(60\,\mathrm s\) nachgeht. Die Auslenkung des Pendels beträgt stets weniger als \(5^\circ\).
Das Uhrwerk zählt die Schwingungen des Pendels. Mit der Stellschraube lässt sich die Linse und damit die wirksame Pendellänge um wenige Millimeter verschieben.
- Berechnen Sie die Pendellänge, die für eine Schwingungsdauer von \(2{,}00\,\mathrm s\) erforderlich ist.
- Ermitteln Sie die tatsächliche Schwingungsdauer des Pendels und berechnen Sie, um welche Strecke die Linse mit der Stellschraube verschoben werden muss und in welche Richtung.
- Erklären Sie, warum dieselbe Uhr im Hochsommer ohne Nachstellen erneut nachgehen würde, und begründen Sie, wie sie sich in Äquatornähe verhielte, wo die Fallbeschleunigung geringfügig kleiner ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\ \Big|\ (\dots)^{2}\ \Rightarrow\ T^{2}=4\pi^{2}\dfrac{l}{g}\ \Rightarrow\ l=\dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}}\).
Einsetzen: \(\displaystyle l=\frac{9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}}\cdot (2{,}00\,\mathrm s)^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{39{,}24\,\mathrm m}{39{,}478}=0{,}9940\,\mathrm m\).
Ein Sekundenpendel ist also knapp einen Meter lang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
In einem Tag vergehen \(86\,400\,\mathrm s\); die Uhr zeigt aber nur \(86\,400\,\mathrm s-60\,\mathrm s=86\,340\,\mathrm s\) an. Da jede Schwingung als \(2{,}00\,\mathrm s\) gezählt wird, hat das Pendel \(n=\frac{86\,340\,\mathrm s}{2{,}00\,\mathrm s}=43\,170\) Schwingungen ausgeführt.
Tatsächliche Schwingungsdauer: \(\displaystyle T=\frac{86\,400\,\mathrm s}{43\,170}=2{,}00139\,\mathrm s\) — das Pendel schwingt also etwas zu langsam.
Zugehörige Länge: \(\displaystyle l=\frac{9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}}\cdot (2{,}00139\,\mathrm s)^{2}}{4\pi^{2}}=0{,}9954\,\mathrm m\).
Erforderliche Änderung: \(\Delta l = 0{,}9954\,\mathrm m-0{,}9940\,\mathrm m =0{,}0014\,\mathrm m = 1{,}4\,\mathrm{mm}\). Die Linse muss mit der Stellschraube um etwa \(1{,}4\,\mathrm{mm}\) nach oben gedreht, das Pendel also verkürzt werden.
Kontrolle über die Verhältnisrechnung: Wegen \(T\sim\sqrt{l}\) gilt \(\frac{\Delta l}{l}\approx 2\cdot\frac{\Delta T}{T}=2\cdot\frac{0{,}00139}{2{,}00}=1{,}39\cdot 10^{-3}\), also \(\Delta l\approx 1{,}39\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}994\,\mathrm m \approx 1{,}4\,\mathrm{mm}\) — dasselbe Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Im Hochsommer ist die Pendelstange wärmer. Metalle dehnen sich bei Erwärmung aus, die Pendellänge \(l\) nimmt also zu. Nach \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) wächst damit auch die Schwingungsdauer. Das Uhrwerk wird seltener weitergerückt, zählt aber weiterhin \(2{,}00\,\mathrm s\) pro Schwingung — die Uhr bleibt gegenüber der wahren Zeit zurück und geht nach. (Aus diesem Grund haben Präzisionspendeluhren Kompensationspendel aus zwei Werkstoffen mit unterschiedlicher Wärmeausdehnung.)
In Äquatornähe ist \(g\) etwas kleiner. In der Formel steht \(g\) im Nenner unter der Wurzel: Ein kleineres \(g\) bedeutet eine geringere rücktreibende Kraft und damit ebenfalls eine größere Schwingungsdauer. Auch dort ginge die Uhr also nach und müsste erneut — durch Verkürzen des Pendels — nachgestellt werden.
Die Fallbeschleunigung aus einer Messreihe
AFB IIIEine Praktikumsgruppe bestimmt die Fallbeschleunigung mit einem Fadenpendel. Dazu misst sie bei fünf verschiedenen Pendellängen jeweils die Zeit für zehn vollständige Schwingungen (Material M1). Der Pendelkörper ist eine kleine Stahlkugel, die Auslenkung beträgt etwa \(5^\circ\). Vor Beginn der zweiten Messreihe macht die Gruppe die Vorschläge aus Material M2.
| \(l\) in m | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(t_{10}\) in s | 10,0 | 14,2 | 17,4 | 20,1 | 22,4 |
- Berechnen Sie für jede Messung die Schwingungsdauer und weisen Sie nach, dass \(T^{2}\) proportional zu \(l\) ist.
- Ermitteln Sie aus den Messwerten die Fallbeschleunigung \(g\) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Literaturwert \(9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}}\).
- Beurteilen Sie die beiden Vorschläge in M2.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Schwingungsdauern \(T=\frac{t_{10}}{10}\): \(1{,}00\,\mathrm s\); \(1{,}42\,\mathrm s\); \(1{,}74\,\mathrm s\); \(2{,}01\,\mathrm s\); \(2{,}24\,\mathrm s\).
Prüfgröße \(\dfrac{T^{2}}{l}\): \(\frac{1{,}00}{0{,}25}=4{,}00\); \(\frac{2{,}016}{0{,}50}=4{,}03\); \(\frac{3{,}028}{0{,}75}=4{,}04\); \(\frac{4{,}040}{1{,}00}=4{,}04\); \(\frac{5{,}018}{1{,}25}=4{,}01\) (jeweils in \(\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm m}\)).
Antwortsatz: Die fünf Quotienten weichen um weniger als \(1\,\%\) voneinander ab und stimmen damit im Rahmen der Messgenauigkeit überein. Es gilt \(T^{2}\sim l\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umstellen: \(T^{2}=4\pi^{2}\dfrac{l}{g}\ \Rightarrow\ \displaystyle g=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}/l}\).
Mit dem Mittelwert \(\frac{T^{2}}{l}=4{,}02\,\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm m}\) folgt \(\displaystyle g=\frac{39{,}48}{4{,}02\,\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm m}}=9{,}82\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}}\).
Vergleich: Der Literaturwert beträgt \(9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}}\); die Abweichung liegt bei etwa \(0{,}1\,\%\) und damit deutlich innerhalb der Messgenauigkeit einer Handstoppuhr. Das einfache Fadenpendel liefert \(g\) also erstaunlich genau — vor allem, weil durch die Messung über zehn Schwingungen und über fünf Längen zufällige Fehler klein gehalten werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zu Jonas: Die Begründung ist falsch, der Vorschlag im Ergebnis dennoch brauchbar. In \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) kommt die Masse des Pendelkörpers nicht vor: Ein schwerer und ein leichter Körper an gleich langem Faden schwingen exakt gleich schnell. Eine größere Masse macht das Ergebnis für \(g\) also nicht unmittelbar genauer. Sinnvoll ist ein dichter, kleiner Körper trotzdem: Bei ihm fällt der Luftwiderstand im Verhältnis zur Gewichtskraft kaum ins Gewicht, die Schwingung klingt langsamer ab und bleibt über zehn Perioden gut messbar. Die Stahlkugel aus der ersten Messreihe erfüllt das bereits.
Zu Mia: Der Vorschlag ist zurückzuweisen. Die Formel \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) gilt nur für kleine Auslenkungen (bis etwa \(10^\circ\)); nur dort ist die rücktreibende Kraft näherungsweise proportional zur Auslenkung und die Schwingung harmonisch. Bei \(45^\circ\) ist die tatsächliche Schwingungsdauer bereits merklich größer als der Formelwert. Da \(g=\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}\) das \(T^{2}\) im Nenner enthält, käme für \(g\) ein systematisch zu kleiner Wert heraus — ein Fehler, den auch beliebig viele Wiederholungen nicht beseitigen.
Empfehlung an die Gruppe: Kleine Auslenkung beibehalten, kompakten Pendelkörper verwenden, weiterhin über zehn Schwingungen messen und beim Nulldurchgang starten und stoppen.