Die Elektronenbeugungsröhre
AFB IIIn einer Elektronenbeugungsröhre (Material M1) werden Elektronen durch die Spannung \(U\) beschleunigt und treffen anschließend auf eine sehr dünne Graphitfolie. Auf dem Leuchtschirm dahinter erscheinen zwei konzentrische Ringe. Eine Lerngruppe misst für verschiedene Beschleunigungsspannungen jeweils den Radius \(r\) des inneren Rings (Material M2).
Die Kohlenstoffatome der Graphitfolie sind regelmäßig angeordnet und wirken für die ankommenden Elektronen wie ein Gitter.
| \(U\) in kV | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(r\) in cm | 2,00 | 1,64 | 1,42 | 1,26 | 1,15 |
Der Radius wurde jeweils auf dem Leuchtschirm mit einem Lineal abgelesen (Ablesegenauigkeit \(\pm 0{,}03\,\mathrm{cm}\)).
- Beschreiben Sie die Beobachtung auf dem Leuchtschirm und begründen Sie, warum sich aus ihr auf ein Wellenverhalten der Elektronen schließen lässt.
- Für Wellen gilt am Gitter, dass der Ringradius proportional zur Wellenlänge ist; aus der Theorie folgt \(r\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\). Weisen Sie anhand der Messwerte aus M2 nach, dass dieser Zusammenhang bestätigt wird.
- Bestimmen Sie mithilfe von M2 den Radius des inneren Rings, der bei \(U = 8{,}0\,\mathrm{kV}\) zu erwarten ist.
- Auf dem Schirm erscheinen geschlossene Ringe und keine einzelnen Punkte. Erklären Sie diese Beobachtung. Hinweis: Die Graphitfolie besteht aus sehr vielen winzigen Kriställchen, die in alle Richtungen gedreht sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Auf dem Schirm sind konzentrische helle Ringe zu sehen, die durch dunkle Bereiche voneinander getrennt sind. Ein solches Muster aus Maxima und Minima entsteht nur durch Interferenz: An den hellen Stellen treffen die von verschiedenen Atomen ausgehenden Teilwellen mit einem Gangunterschied von ganzen Vielfachen der Wellenlänge ein (konstruktive Interferenz), dazwischen löschen sie sich aus. Kleine Kugeln, die an den Atomen abgelenkt werden, würden dagegen eine gleichmäßig auslaufende Verteilung ohne dunkle Zwischenräume erzeugen. Da das beobachtete Muster dasselbe ist wie bei Röntgenwellen an einem Kristall, verhalten sich die Elektronen hier wie eine Welle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bildung des Produkts \(r\cdot\sqrt{U}\):
\(2{,}00\cdot\sqrt{2{,}0}=2{,}83\); \(1{,}64\cdot\sqrt{3{,}0}=2{,}84\); \(1{,}42\cdot\sqrt{4{,}0}=2{,}84\); \(1{,}26\cdot\sqrt{5{,}0}=2{,}82\); \(1{,}15\cdot\sqrt{6{,}0}=2{,}82\) (jeweils in \(\mathrm{cm}\sqrt{\mathrm{kV}}\)).
Alle fünf Werte stimmen innerhalb von weniger als 1 % überein und liegen damit im Rahmen der Ablesegenauigkeit. Das Produkt ist also konstant, d. h. \(r\cdot\sqrt{U}=\) const. und damit \(r\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\). Der erwartete Zusammenhang wird bestätigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit \(r\cdot\sqrt{U}=2{,}83\,\mathrm{cm}\sqrt{\mathrm{kV}}\) (Mittelwert aus b)) folgt
\(r=\dfrac{2{,}83\,\mathrm{cm}\sqrt{\mathrm{kV}}}{\sqrt{8{,}0\,\mathrm{kV}}}=\dfrac{2{,}83}{2{,}83}\,\mathrm{cm}=1{,}00\,\mathrm{cm}\).
Bei \(U = 8{,}0\,\mathrm{kV}\) ist ein Radius von etwa \(1{,}0\,\mathrm{cm}\) zu erwarten — die vierfache Spannung gegenüber \(2{,}0\,\mathrm{kV}\) halbiert den Radius.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ein einzelnes Kriställchen erzeugt nur in wenigen, durch seine Gitterebenen festgelegten Richtungen konstruktive Interferenz, also einzelne Punkte. In der Folie liegen aber sehr viele Kriställchen in allen möglichen Drehlagen nebeneinander. Zu jeder Gitterebene gibt es daher Kriställchen, die um die Strahlachse verdreht sind; die zugehörigen Beugungsrichtungen bilden zusammen einen Kegelmantel um die Strahlrichtung. Dessen Schnitt mit dem Schirm ist ein Kreisring. Weil der Beugungswinkel für eine Gitterebene fest ist, gehört zu jeder Ebenenschar genau ein Ring — beobachtet werden deshalb geschlossene, konzentrische Ringe.
Kugeln oder Wellen? Zwei Deutungen
AFB IIIIm Anschluss an den Versuch aus Aufgabe 1 diskutiert die Lerngruppe, wie das Ringmuster zu deuten ist. Zwei Beiträge sind in Material M1 festgehalten.
Der Netzebenenabstand in Graphit beträgt etwa \(d = 2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}\).
- Nehmen Sie zu Neles Aussage Stellung.
- Überprüfen Sie den Schluss, den Jonas zieht. Nutzen Sie dazu die Bedingung für ein Maximum 1. Ordnung am Gitter, \(\sin\alpha=\frac{\lambda}{d}\).
- Die Lerngruppe möchte experimentell entscheiden, welche der beiden Deutungen — „abprallende Kugeln“ oder „Materiewelle“ — zutrifft. Entwickeln Sie dazu ein geeignetes Experiment; beschreiben Sie Aufbau, Durchführung und Auswertung sowie die jeweils erwarteten Ergebnisse an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Neles Deutung ist zurückzuweisen, auch wenn ein Teil ihrer Beobachtung stimmt.
Zutreffend ist: Größere Spannung führt tatsächlich zu engeren Ringen. Falsch ist die Begründung. Abprallende Kugeln würden an den unregelmäßig getroffenen Atomen in alle Richtungen gestreut; auf dem Schirm entstünde eine nach außen gleichmäßig abnehmende Helligkeitsverteilung. Beobachtet werden aber scharf getrennte helle und dunkle Bereiche. Dunkle Ringe bedeuten, dass dort trotz vieler ankommender Elektronen nahezu keine auftreffen — eine Auslöschung, die ein Kugelmodell prinzipiell nicht erklären kann, weil sich Kugelbahnen nicht gegenseitig auslöschen.
Hinzu kommt: Neles Modell macht keine überprüfbare Vorhersage für den Radius, während das Wellenmodell den in Aufgabe 1 bestätigten Zusammenhang \(r\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\) liefert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für sichtbares Laserlicht gilt mit \(\lambda = 630\,\mathrm{nm}=6{,}3\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}\) und \(d = 2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}\):
\(\sin\alpha=\dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{6{,}3\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}}{2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}}=3{,}0\cdot10^{3}\).
Da \(\sin\alpha\le 1\) gelten muss, gibt es kein Maximum 1. Ordnung: Die Wellenlänge des Lichts ist rund 3000-mal größer als der Netzebenenabstand. Ein Gitter kann nur Wellen beugen, deren Wellenlänge höchstens etwa so groß ist wie die Gitterkonstante.
Jonas’ Beobachtung ist also richtig, sein Schluss aber nicht haltbar: Das Ausbleiben der Ringe liegt an der zu großen Wellenlänge des Lichts, nicht daran, dass Elektronen keine Welleneigenschaften hätten. Sein Versuch ist kein geeigneter Test der Hypothese.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Leitidee: Nur das Wellenmodell macht eine quantitative Vorhersage für den Ringradius. Gemessen wird deshalb die Abhängigkeit \(r(U)\).
Aufbau: Elektronenbeugungsröhre nach M1 mit regelbarem Hochspannungsgerät (\(2\,\mathrm{kV}\) bis \(8\,\mathrm{kV}\)), Spannungsmessgerät, Lineal oder Messschieber am Leuchtschirm, abgedunkelter Raum.
Durchführung: In Schritten von \(0{,}5\,\mathrm{kV}\) wird \(U\) erhöht und jeweils der Radius \(r\) des inneren Rings gemessen (mehrfach messen und mitteln, um den Ablesefehler zu verkleinern). Zusätzlich wird die Helligkeit zwischen den Ringen beurteilt.
Auswertung und Entscheidungskriterium: Man trägt \(r\) gegen \(\frac{1}{\sqrt{U}}\) auf. Ergibt sich eine Ursprungsgerade bzw. ist \(r\cdot\sqrt{U}\) konstant, so ist die Vorhersage des Wellenmodells bestätigt. Zeigt das Diagramm keinen solchen Zusammenhang, ist das Wellenmodell in dieser Form widerlegt.
Erwartete Ergebnisse: Das Wellenmodell sagt die Ursprungsgerade und zwischen den Ringen praktisch dunkle Bereiche voraus. Neles Kugelmodell sagt weder einen bestimmten Verlauf \(r(U)\) noch dunkle Zwischenbereiche voraus; es wäre mit einer gleichmäßig verlaufenden Helligkeitsabnahme verträglich. Tatsächlich beobachtet man die Ursprungsgerade (siehe Aufgabe 1b)) — das Wellenmodell setzt sich durch.