Zum NachschlagenZurück zur ErklärungStochastische Deutung — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Aussagen zur Bornschen DeutungAFB I
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde" neu.
Die dritte Aussage trennt Wahrscheinlichkeit von bloßer Seltenheit: Eine Wahrscheinlichkeit von null bedeutet nicht „sehr selten", sondern ausgeschlossen. Deshalb sind die dunklen Streifen wirklich leer und nicht nur schwach besetzt. Das ist übrigens der schärfste Test der Theorie — schon einzelne Treffer im Minimum würden die Vorhersage widerlegen.
2Einzelnes Elektron oder viele?AFB I
Ordnen Sie jede Aussage danach ein, worüber sie etwas sagt.
Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 gilt für EIN einzelnes Elektron
2 gilt für VIELE Elektronen
3 gilt in beiden Fällen
Der mittlere Bereich enthält alles, was sich reproduzieren lässt — und nur darüber macht die Physik hier Aussagen. Der linke Bereich sammelt dagegen das, was grundsätzlich offen bleibt. Beachten Sie den rechten Bereich: Die Zuordnung „große Amplitude → hell" gilt für beide Ebenen, weil sie eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit selbst ist — sie bestimmt beim einzelnen Elektron die Chance und bei vielen die Häufigkeit.
3Amplitude und TrefferdichteAFB I
Verbinden Sie jede Amplitude mit der zugehörigen Trefferdichte.
Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Die letzte Zeile ist die entscheidende: Eine negative Amplitude bedeutet keine „negative Wahrscheinlichkeit", denn gemessen wird stets das Quadrat. Wellenberg und Wellental sind für die Trefferdichte gleichwertig. Und beachten Sie den Sprung in Zeile 3 und 4 — halbe Amplitude bedeutet ein Viertel, doppelte Amplitude das Vierfache. Wahrscheinlichkeiten reagieren also deutlich empfindlicher als die Amplitude selbst.
4Wahrscheinlichkeit aus MessdatenAFB II
Bei einem Versuch mit \(N=8000\) Elektronen werden an einem Ort des Schirms 480 Treffer gezählt.
Bestimmen Sie die Auftreffwahrscheinlichkeit \(P\) an diesem Ort als Anteil (Zahl zwischen 0 und 1).Teile die Trefferzahl durch die Gesamtzahl. Trage den Anteil ein, also z. B. 0,05 und nicht 5 %. Enter prüft.
Aus 480 ÷ 8000 = 0,06 folgt: Sechs Prozent aller Elektronen landen an diesem Ort. Das ist der umgekehrte Weg zum Beispiel der Seite — dort war P bekannt und die Trefferzahl gesucht. Achten Sie auf die Form der Antwort: 0,06 und 6 % bedeuten dasselbe, aber in der Formel Erwartungswert = P · N muss der Anteil eingesetzt werden, sonst liegt das Ergebnis um den Faktor 100 daneben.
5Von der Amplitude zur TrefferzahlAFB II
An Ort A ist die Amplitude \(|\psi|\) dreimal so groß wie an Ort B. Von \(N=20\,000\) Elektronen treffen an Ort B genau 100 auf.
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Wahrscheinlichkeit an Ort A.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Um welchen Faktor ist die Wahrscheinlichkeit an A größer als an B?fach
- Wie viele Treffer erwartet man daher an Ort A?Elektronen
- Wie groß ist P an Ort A? (Anteil, z. B. 0.05)
- Wie viel Prozent sind das?%
Der erste Schritt entscheidet über alles Weitere: Der Faktor 3 gilt für die Amplitude, für die Wahrscheinlichkeit gilt sein Quadrat, also 9. Wer hier 3 einsetzt, erhält 300 statt 900 Treffer und liegt um den Faktor drei daneben. Der letzte Schritt erinnert an die Umrechnung: 0,045 sind 4,5 % — und weil das Ergebnis unter 100 % bleibt, ist es plausibel. Ein Anteil größer als 1 wäre immer ein sicheres Zeichen für einen Rechenfehler.
6Erwartete Trefferzahl einstellenAFB II
An einem Ort des Schirms beträgt die Auftreffwahrscheinlichkeit \(P=0{,}12\). Es werden \(N=5000\) Elektronen abgeschossen.
Stellen Sie die erwartete Trefferzahl im Raster ein.Jede Zelle steht für einen Zahlenwert. Klicke Zellen an oder aus, bis die Summe genau dem Zielwert entspricht.
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Ziel: 600 Elektronen
Der Erwartungswert ist 0,12 · 5000 = 600 Elektronen. Wichtig ist das Wort „erwartet": Bei einer echten Messung wird man 588 oder 613 Treffer zählen, praktisch nie exakt 600. Diese Schwankung ist kein Messfehler, sondern eine Eigenschaft des Zufalls — und sie fällt relativ umso kleiner aus, je größer N wird. Bei 600 erwarteten Treffern liegt die typische Abweichung in der Größenordnung von etwa 25 Ereignissen, also rund vier Prozent.
7Was gehört zu welcher Größe?AFB II
Entscheiden Sie, für welche Größen die jeweilige Eigenschaft zutrifft.
Klicke jede Zelle an, die zutrifft — ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück. Es können pro Zeile auch mehrere Häkchen nötig sein.
| Eigenschaft | Amplitude ψ | Wahrscheinlichkeit |ψ|² | gezählte Trefferzahl |
|---|---|---|---|
| kann negative Werte annehmen | |||
| ist an einem dunklen Streifen gleich null | |||
| wird im Versuch unmittelbar gemessen | |||
| ist proportional zum Quadrat der Amplitude | |||
| schwankt bei kleiner Messzahl deutlich |
Die erste und die letzte Zeile trennen die drei Größen sauber: Nur ψ darf negativ werden, und nur die gezählte Trefferzahl schwankt. Wahrscheinlichkeit und Amplitude sind dagegen feste Vorhersagen der Theorie, die sich bei jeder Wiederholung gleich verhalten. Beachten Sie die zweite Zeile — im Minimum sind alle drei Größen null; das ist die einzige Stelle, an der Theorie und Messung ohne jede Streuung übereinstimmen.
8Wie dicht liegen die Treffer?AFB II
Betrachtet werden verschiedene Orte auf dem Schirm; \(|\psi|_{\max}\) ist die größte vorkommende Amplitude.
Schätzen Sie für jeden Ort die Trefferdichte ein.Wähle in jeder Zeile eine Stufe von 1 bis 5 und prüfe dann alle Einschätzungen gemeinsam.
1 = so gut wie keine Treffer5 = maximale Trefferdichte
ψ = 0 — dunkler Streifen
ein Viertel der maximalen Amplitude
die halbe maximale Amplitude
drei Viertel der maximalen Amplitude
ψ negativ, Betrag gleich dem Maximum
Die Skala folgt dem Quadrat: Ein Viertel der Amplitude ergibt nur ein Sechzehntel der Trefferdichte, die halbe Amplitude ein Viertel und drei Viertel der Amplitude gut die Hälfte. Wer linear schätzt, landet in den mittleren Zeilen regelmäßig zu hoch. Die letzte Zeile ist die Probe aufs Exempel: Ein Wellental mit vollem Betrag liefert dieselbe maximale Trefferdichte wie ein Wellenberg, weil das Vorzeichen beim Quadrieren verschwindet.
9Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler zeigen die beiden typischen Extreme im Umgang mit der Bornschen Deutung. Zeile 2 verlangt zu viel von der Theorie — sie soll den Einzelfall festlegen. Zeile 6 traut ihr zu wenig zu und erklärt alles für unvorhersagbar. Die Wahrheit liegt genau dazwischen: exakte Vorhersage der Statistik, keine Vorhersage des Einzelfalls. Zeile 4 ist der reine Rechenfehler, der beim Vergessen des Quadrats immer wieder auftritt.
10Eine Messung wird bewertetAFB III
Ein Praktikum sagt an einem Ort 500 Treffer voraus. Gezählt werden 480.
Untersuchen Sie Schritt für Schritt, was daraus folgt.Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der Fall trainiert den Umgang mit statistischen Vorhersagen: Eine einzelne Abweichung widerlegt eine Wahrscheinlichkeitsaussage nie, sie muss immer an der Größe der erwarteten Schwankung gemessen werden. Faustregel: Bei N erwarteten Ereignissen liegt die typische Streuung bei etwa der Wurzel aus N — bei 500 also rund 22. Die gemessenen 480 liegen damit vollständig im Rahmen. Genau deshalb braucht die Quantenphysik große Datenmengen, um ihre Vorhersagen zu belegen.