Wie kurz ist die Welle eines Elektrons?
AFB IIIn der Elektronenbeugungsröhre aus Unterkapitel 6.1.1 durchlaufen zunächst ruhende Elektronen die Beschleunigungsspannung \(U = 4{,}0\,\mathrm{kV}\) und treffen danach auf eine Graphitfolie. Ob an dieser Folie überhaupt eine Beugung zu erwarten ist, hängt davon ab, wie groß die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen im Vergleich zum Netzebenenabstand des Graphits ist (Material M1).
| Größe | Wert |
|---|---|
| Plancksches Wirkungsquantum \(h\) | \(6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\) |
| Elementarladung \(e\) | \(1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\) |
| Elektronenmasse \(m_e\) | \(9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\) |
| Netzebenenabstand in Graphit \(d\) | \(2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}\) |
| Beschleunigungsspannung \(U\) | \(4{,}0\,\mathrm{kV}\) |
Relativistische Effekte bleiben unberücksichtigt.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\), die ein Elektron nach dem Durchlaufen der Spannung \(U = 4{,}0\,\mathrm{kV}\) besitzt.
- Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlänge \(\lambda\) dieser Elektronen.
- Leiten Sie aus dem Energieansatz und der De-Broglie-Gleichung die Beziehung \(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,U}}\) her und begründen Sie damit, dass \(\lambda\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\) gilt.
- An einem Gitter ist Beugung nur beobachtbar, wenn die Wellenlänge höchstens etwa so groß ist wie der Gitterabstand. Begründen Sie mit einem Zahlenvergleich, warum Elektronen an der Graphitfolie Beugungsringe erzeugen, sichtbares Licht (\(\lambda = 550\,\mathrm{nm}\)) dagegen nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Energieansatz: \(e\,U=\tfrac{1}{2}m_e v^{2}\) \(\Rightarrow\) \(v=\sqrt{\dfrac{2\,e\,U}{m_e}}\).
\(v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot4{,}0\cdot10^{3}\,\mathrm{V}}{9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=\sqrt{1{,}41\cdot10^{15}\,\tfrac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{s^2}}}=3{,}75\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\).
Das sind etwa 12,5 % der Lichtgeschwindigkeit; die klassische Rechnung ist hier noch vertretbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\lambda=\dfrac{h}{m_e\,v}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}}{9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot3{,}75\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{3{,}42\cdot10^{-23}}\,\mathrm m\).
\(\lambda=1{,}9\cdot10^{-11}\,\mathrm m\) (etwa \(19\,\mathrm{pm}\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aus \(e\,U=\tfrac{1}{2}m_e v^{2}\) folgt \(v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}}\). Einsetzen in die De-Broglie-Gleichung:
\(\lambda=\dfrac{h}{m_e v}=\dfrac{h}{m_e\sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}}}=\dfrac{h}{\sqrt{m_e^{2}\cdot\dfrac{2eU}{m_e}}}=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,U}}\).
In diesem Ausdruck sind \(h\), \(m_e\) und \(e\) Konstanten. Damit ist \(\lambda\sim\dfrac{1}{\sqrt{U}}\): Vervierfacht man die Beschleunigungsspannung, so halbiert sich die Wellenlänge. Das erklärt die in 6.1.1 gemessene Beziehung \(r\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\), da der Ringradius proportional zur Wellenlänge ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Elektronen: \(\dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{1{,}9\cdot10^{-11}\,\mathrm m}{2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm m}=0{,}092\).
Sichtbares Licht: \(\dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{5{,}5\cdot10^{-7}\,\mathrm m}{2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm m}=2{,}6\cdot10^{3}\).
Für die Elektronen ist die Wellenlänge rund zehnmal kleiner als der Netzebenenabstand; die Bedingung \(\lambda\lesssim d\) ist erfüllt, es treten Beugungsmaxima unter messbaren Winkeln auf (\(\sin\alpha=\frac{\lambda}{d}=0{,}092\Rightarrow\alpha\approx5{,}3^\circ\)). Sichtbares Licht hat dagegen eine rund 2600-mal größere Wellenlänge als der Gitterabstand; \(\sin\alpha=\frac{\lambda}{d}>1\) ist unmöglich, es gibt kein Maximum. Deshalb zeigt nur der Elektronenstrahl Beugungsringe.
Ist auch ein Fußball eine Welle?
AFB IIIDie De-Broglie-Gleichung \(\lambda=\frac{h}{m\,v}\) gilt nicht nur für Elektronen, sondern für jedes Objekt mit Impuls. In einer Lerngruppe entsteht daraufhin die Behauptung: „Dann ist auch ein Fußball eine Welle — man müsste ihn nur durch einen passenden Spalt schießen.“ Material M1 enthält die dafür nötigen Daten.
| Objekt | Masse \(m\) | Geschwindigkeit \(v\) |
|---|---|---|
| Elektron in der Beugungsröhre | \(9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\) | \(3{,}8\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) |
| „kaltes“ Neutron aus einem Forschungsreaktor | \(1{,}675\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\) | \(630\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) |
| Staubkorn in der Luft | \(1{,}0\cdot10^{-12}\,\mathrm{kg}\) | \(1{,}0\cdot10^{-3}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) |
| Fußball nach einem Torschuss | \(0{,}43\,\mathrm{kg}\) | \(25\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) |
Zum Vergleich: Netzebenenabstand in einem Kristall \(\approx 2\cdot10^{-10}\,\mathrm m\), Durchmesser eines Atomkerns \(\approx 10^{-15}\,\mathrm m\), Breite eines Fußballtores \(7{,}3\,\mathrm m\).
- Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlängen des kalten Neutrons und des Fußballs.
- Begründen Sie mithilfe von M1, warum kalte Neutronen besonders gut geeignet sind, um die Anordnung der Atome in einem Kristall zu untersuchen.
- Für einen Beugungsnachweis muss die Wellenlänge mindestens die Größenordnung der Spaltbreite erreichen. Schätzen Sie ab, welche Geschwindigkeit der Fußball dafür an einem Fußballtor höchstens haben dürfte, und berechnen Sie, wie lange er bei dieser Geschwindigkeit für eine Strecke von \(1\,\mathrm{mm}\) bräuchte.
- Beurteilen Sie auf dieser Grundlage die Behauptung der Lerngruppe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Neutron: \(p=1{,}675\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot630\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}=1{,}06\cdot10^{-24}\,\mathrm{kg\,\tfrac{m}{s}}\).
\(\lambda=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{1{,}06\cdot10^{-24}}\,\mathrm m=6{,}3\cdot10^{-10}\,\mathrm m\).
Fußball: \(p=0{,}43\,\mathrm{kg}\cdot25\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}=10{,}75\,\mathrm{kg\,\tfrac{m}{s}}\).
\(\lambda=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{10{,}75}\,\mathrm m=6{,}2\cdot10^{-35}\,\mathrm m\).
Die beiden Wellenlängen unterscheiden sich um 25 Zehnerpotenzen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Wellenlänge des kalten Neutrons beträgt \(6{,}3\cdot10^{-10}\,\mathrm m\) und liegt damit in derselben Größenordnung wie der Netzebenenabstand im Kristall (\(\approx2\cdot10^{-10}\,\mathrm m\)). Damit ist die Bedingung für beobachtbare Beugung erfüllt: Der Quotient \(\frac{\lambda}{d}\approx3\) liegt in einer Größenordnung, bei der Beugungsmaxima unter gut messbaren Winkeln auftreten. Aus der Lage der Maxima lässt sich umgekehrt auf die Abstände der Atome schließen. Neutronen sind außerdem ungeladen und dringen deshalb tief in den Kristall ein. Wären die Neutronen dagegen sehr schnell, so wäre \(\lambda\ll d\) und die Beugungswinkel wären zu klein, um sie zu trennen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aus \(\lambda=\dfrac{h}{m\,v}\) folgt \(v=\dfrac{h}{m\,\lambda}\). Mit \(\lambda = 7{,}3\,\mathrm m\):
\(v=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}}{0{,}43\,\mathrm{kg}\cdot7{,}3\,\mathrm m}=2{,}1\cdot10^{-34}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\).
Für \(s = 1\,\mathrm{mm}=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m\) ergibt sich
\(t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m}{2{,}1\cdot10^{-34}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}}=4{,}8\cdot10^{30}\,\mathrm s\approx1{,}5\cdot10^{23}\,\mathrm a\).
Das ist rund das \(10^{13}\)-fache des Alters des Universums (\(\approx1{,}4\cdot10^{10}\,\mathrm a\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist im Grundsatz richtig, praktisch aber ohne Bedeutung.
Richtig ist: Die De-Broglie-Gleichung enthält keine Einschränkung auf kleine Massen. Auch dem Fußball lässt sich formal eine Wellenlänge zuordnen, und sie wurde in a) berechnet.
Entscheidend ist jedoch die Größe dieser Wellenlänge: \(6{,}2\cdot10^{-35}\,\mathrm m\) ist etwa 20 Zehnerpotenzen kleiner als ein Atomkern. Es gibt kein Objekt und keinen Spalt dieser Größe, an dem der Fußball gebeugt werden könnte. Der einzige „Spalt“ passender Breite wäre das Tor selbst — dafür müsste der Ball sich nach c) so langsam bewegen, dass er für einen Millimeter länger bräuchte als das Universum existiert. Ein Nachweis ist damit nicht nur technisch schwierig, sondern grundsätzlich ausgeschlossen.
Fazit: Wellenverhalten ist keine Eigenschaft, die nur kleinen Teilchen zukommt — sie ist nur bei kleinen Massen (und damit kleinen Impulsen) beobachtbar. Für makroskopische Körper liefert die klassische Mechanik zu Recht eine vollständige Beschreibung.