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Die De-Broglie-Wellenlänge

1924 hatte Louis de Broglie eine kühne Idee: Jedem Teilchen mit Impuls p gehört eine Wellenlänge \(\lambda=h/p\).

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Erklärung — die De-Broglie-Gleichung

Die Formel von de Broglie

De Broglie verknüpfte die Teilchengröße Impuls \(p=m\,v\) mit der Wellengröße Wellenlänge \(\lambda\) über das Plancksche Wirkungsquantum h:

  • De-Broglie-Idee:De Broglie ordnete 1924 jedem Teilchen mit Impuls eine Wellenlänge zu.
  • Die Gleichung:Teilchen- und Wellengröße verknüpft \(\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m v}\) über das Wirkungsquantum \(h\).
  • Antiproportional:Verdoppelt man die Geschwindigkeit, halbiert sich die Wellenlänge.
  • Makroskopisch:Große Massen ergeben unmessbar kleine \(\lambda\); Wellenverhalten zeigt sich nur bei winzigen Massen.
De-Broglie-Wellenlänge

\(\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}\)

\(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\), p: Impuls, m: Masse, v: Geschwindigkeit

Die Materiewelle eines Elektrons

Die Materiewelle eines Elektrons wird kurzwelliger, je höher seine Geschwindigkeit ist — \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\) nimmt ab. Verdoppelt man v, halbiert sich λ.

Jedem Teilchen mit Impuls p gehört eine Wellenlänge \(\lambda=h/p\). Je schneller das Elektron, desto größer sein Impuls und desto kleiner seine Wellenlänge: λ und v sind antiproportional.

Antiproportional zu v

Aus der Formel folgt sofort: Die Wellenlänge ist antiproportional zur Geschwindigkeit. Verdoppelt man v, halbiert sich \(\lambda\). Genau das hast du in 6.1.1 gesehen — schnellere Elektronen, engere Ringe.

Warum sehen wir keine Wellen?

Auch ein fliegender Tennisball hat eine De-Broglie-Wellenlänge — aber wegen seiner großen Masse ist sie unvorstellbar klein (\(\sim10^{-34}\,\mathrm m\)) und nie messbar. Wellenverhalten zeigt sich nur bei winzigen Massen wie Elektronen.

Wellenlänge eines Elektrons

Ein Elektron (\(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)) fliegt mit \(v=1{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\). Wie groß ist seine Wellenlänge?

Formel\(\lambda=\dfrac{h}{m\,v}\)
Einsetzen\(\lambda=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}0\cdot10^{6}}\)
Ergebnis\(\lambda=7{,}3\cdot10^{-10}\,\mathrm m=0{,}73\,\mathrm{nm}\)
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Allgemeine Hinweise

Impuls

\(p=m\,v\); dann \(\lambda=h/p\).

Einheiten

SI: m in kg, v in m/s → \(\lambda\) in m.

Makroskopisch

Große Masse → winzige, unmessbare \(\lambda\).

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Vertiefung

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