Der Geschwindigkeitsfilter
AFB I–IIEine Ionenquelle liefert einfach positiv geladene Ionen. Sie verlassen die Quelle mit sehr unterschiedlichen Geschwindigkeiten; für die anschließende Messung wird jedoch ein Strahl mit einheitlicher Geschwindigkeit gebraucht. Dazu dient ein Wien-Filter (Material M1): Die Ionen fliegen waagerecht in einen Plattenkondensator, in dem zugleich ein Magnetfeld senkrecht zur Zeichenebene steht. Nur wer geradeaus fliegt, trifft den Spalt der Blende am Ausgang.
Die Platten haben den Abstand \(d = 4{,}0\,\mathrm{cm}\) und liegen an der Spannung \(U = 600\,\mathrm V\); die Flussdichte beträgt \(B = 60\,\mathrm{mT}\). Die Ladung eines Ions ist \(q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\); die Gewichtskraft darf vernachlässigt werden.
Die obere Platte ist positiv geladen, das elektrische Feld zeigt daher nach unten; das Magnetfeld steht senkrecht dazu und zeigt in die Zeichenebene hinein. Beide Felder stehen außerdem senkrecht auf der Flugrichtung. Eingezeichnet sind die elektrische Kraft \(F_\text{el} = q\,E\) und die magnetische Kraft \(F_\text{mag} = q\,v\,B\) für ein positives Ion; die Gewichtskraft ist vernachlässigbar klein.
- Begründen Sie mithilfe von Material M1, dass die elektrische und die magnetische Kraft auf ein positives Ion in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Benutzen Sie für die magnetische Kraft die Drei-Finger-Regel der rechten Hand.
- Leiten Sie aus dem Kräftegleichgewicht die Durchlassgeschwindigkeit \(v = \frac{E}{B} = \frac{U}{d\,B}\) her und berechnen Sie ihren Wert für die angegebenen Einstellungen.
- Für eine weitere Messreihe sollen Ionen mit \(v = 4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) durchgelassen werden; \(B\) und \(d\) bleiben unverändert. Berechnen Sie die dafür nötige Spannung \(U\).
- Erklären Sie, warum ein Ion, das zu schnell bzw. zu langsam ist, den Spalt nicht erreicht, und geben Sie für beide Fälle die Ablenkrichtung an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Elektrische Kraft. Die obere Platte ist positiv, die untere negativ geladen. Das elektrische Feld zeigt stets von Plus nach Minus, hier also senkrecht nach unten. Auf eine positive Ladung wirkt die Kraft \(F_\text{el} = q\,E\) in Feldrichtung, sie zeigt damit ebenfalls nach unten.
Magnetische Kraft. Drei-Finger-Regel der rechten Hand: Der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung der positiven Ladung (nach rechts), der Zeigefinger in die Feldrichtung (in die Zeichenebene hinein). Der Mittelfinger — und damit \(F_\text{mag} = q\,v\,B\) — zeigt dann senkrecht nach oben.
Beide Kräfte liegen also auf derselben Wirkungslinie, weisen aber in entgegengesetzte Richtungen; genau so sind die Pfeile in M1 eingezeichnet. Für ein negatives Ion kehren sich beide Kräfte gleichzeitig um — sie bleiben einander entgegengerichtet, der Filter arbeitet also auch für negative Ionen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Herleitung. Das Ion fliegt genau dann geradeaus, wenn sich die beiden Kräfte aufheben, wenn also gilt:
\(\displaystyle F_\text{el} = F_\text{mag} \quad\Longleftrightarrow\quad q\,E = q\,v\,B\)
Die Ladung \(q\) steht auf beiden Seiten und lässt sich kürzen:
\(\displaystyle E = v\,B \quad\Longleftrightarrow\quad v = \frac{E}{B}\)
Im homogenen Feld des Plattenkondensators ist \(E = \frac{U}{d}\), also
\(\displaystyle v = \frac{U}{d\,B}\)
Einsetzen. \(\displaystyle E = \frac{600\,\mathrm V}{0{,}040\,\mathrm m} = 1{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\)
\(\displaystyle v = \frac{1{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}{0{,}060\,\mathrm T} = 2{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Einheitenkontrolle: \(\displaystyle 1\,\mathrm{\frac{V}{m}} : 1\,\mathrm T = 1\,\mathrm{\frac{V}{m}} : 1\,\mathrm{\frac{V\,s}{m^2}} = 1\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) — das Ergebnis ist tatsächlich eine Geschwindigkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Auflösen von \(v = \frac{U}{d\,B}\) nach der Spannung:
\(\displaystyle U = v\,d\,B = 4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}040\,\mathrm m\cdot 0{,}060\,\mathrm T = 960\,\mathrm V\)
Es sind also \(960\,\mathrm V\) nötig. Da \(U\) bei festem \(d\) und \(B\) proportional zu \(v\) ist, entspricht die Vergrößerung der Durchlassgeschwindigkeit um den Faktor \(\frac{4{,}0}{2{,}5} = 1{,}6\) genau der Vergrößerung der Spannung von \(600\,\mathrm V\) auf \(1{,}6\cdot 600\,\mathrm V = 960\,\mathrm V\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die elektrische Kraft \(F_\text{el} = q\,E\) ist für jedes Ion gleich groß, denn sie hängt nicht von der Geschwindigkeit ab. Die magnetische Kraft \(F_\text{mag} = q\,v\,B\) wächst dagegen proportional zu \(v\). Für die resultierende Kraft (positiv nach unten gezählt) gilt daher
\(\displaystyle F = q\,E - q\,v\,B = q\,(E - v\,B)\)
Zu schnelles Ion \(\left(v > \frac{E}{B}\right)\): Es ist \(v\,B > E\), die Klammer wird negativ. Die magnetische Kraft überwiegt, das Ion wird nach oben zur positiven Platte hin abgelenkt und trifft auf die Blende statt auf den Spalt.
Zu langsames Ion \(\left(v < \frac{E}{B}\right)\): Jetzt ist \(v\,B < E\), die elektrische Kraft überwiegt und lenkt das Ion nach unten zur negativen Platte ab.
Größenordnung: Hier ist \(F_\text{el} = q\,E = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}} = 2{,}4\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Weicht \(v\) um \(10\,\%\) nach oben ab, so bleibt eine resultierende Kraft von \(q\,B\cdot 0{,}10\,v = 2{,}4\cdot 10^{-16}\,\mathrm N\) übrig, also \(10\,\%\) der elektrischen Kraft. Die relative Abweichung der Geschwindigkeit überträgt sich unmittelbar auf die Ablenkung — je enger der Spalt, desto schärfer filtert das Gerät.
Isotope im Massenspektrometer
AFB II–IIIIn einem Massenspektrometer wird eine Neonprobe untersucht (Material M2). Die Ionenquelle erzeugt einfach positiv geladene Neonionen mit breit gestreuten Geschwindigkeiten. Sie durchlaufen zuerst einen Wien-Filter und treten anschließend durch einen Spalt in ein homogenes Magnetfeld ein, in dem sie einen Halbkreis beschreiben, bevor sie auf den Detektor treffen. Der gemessene Abstand vom Spalt ist damit gerade der Bahndurchmesser \(2r\).
Die Einstellungen des Geräts und die beiden gemessenen Auftrefforte stehen in Material M3. Im Detektor zeigen sich zwei scharfe Linien — die Probe enthält offenbar zwei Isotope.
Die Ionen treten durch den Spalt waagerecht in das homogene Ablenkfeld ein und werden dort auf Halbkreise gezwungen. Der Auftreffort auf dem Detektor liegt um den Durchmesser \(2r\) vom Spalt entfernt; gemessen wird also unmittelbar der doppelte Bahnradius.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Ablenkspannung im Filter \(U\) | \(750\,\mathrm V\) |
| Plattenabstand im Filter \(d\) | \(5{,}0\,\mathrm{cm}\) |
| Flussdichte im Filter \(B_1\) | \(50\,\mathrm{mT}\) |
| Flussdichte im Ablenkfeld \(B_2\) | \(0{,}50\,\mathrm T\) |
| Ladung der Ionen \(q\) | \(1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) (einfach positiv) |
| Auftreffort von Ion A (Abstand vom Spalt) | \(25{,}0\,\mathrm{cm}\) |
| Auftreffort von Ion B (Abstand vom Spalt) | \(27{,}5\,\mathrm{cm}\) |
| atomare Masseneinheit \(u\) | \(1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) |
Die Auftrefforte werden vom Eintrittsspalt aus längs des Detektors gemessen; beide Ionen sind einfach positiv geladen.
- Bestimmen Sie zunächst die Geschwindigkeit, mit der die Ionen den Filter verlassen, und daraus die Masse von Ion A — in Kilogramm und in Vielfachen der atomaren Masseneinheit \(u\).
- Berechnen Sie ebenso die Masse von Ion B, zeigen Sie, dass sich die beiden Bahnradien wie die Massen verhalten, und deuten Sie das Ergebnis.
- Begründen Sie anhand der beiden Formeln, warum der Wien-Filter unabhängig von Ladung und Masse arbeitet, die anschließende Kreisbahn dagegen nicht.
- Zwei Lernende diskutieren den Aufbau. Nils: „Den Ablenkmagneten kann man sich sparen — schon der Wien-Filter trennt die Isotope, denn das schwerere Ion ist träger und wird deshalb stärker abgelenkt.“ Mara: „Umgekehrt reicht der Ablenkmagnet allein auch nicht: Ohne Filter träfe ein Neon-20-Ion mit passender Geschwindigkeit genau dort auf, wo das Neon-22-Ion landet.“ Beurteilen Sie beide Aussagen rechnerisch und begründen Sie damit, warum beide Stufen nötig sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Schritt 1 — Geschwindigkeit hinter dem Filter. Sie ist durch die Filtereinstellungen festgelegt:
\(\displaystyle v = \frac{U}{d\,B_1} = \frac{750\,\mathrm V}{0{,}050\,\mathrm m\cdot 0{,}050\,\mathrm T} = 3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Schritt 2 — Bahnradius. Der gemessene Abstand vom Spalt ist der Durchmesser des Halbkreises:
\(\displaystyle r_\text{A} = \frac{25{,}0\,\mathrm{cm}}{2} = 12{,}5\,\mathrm{cm} = 0{,}125\,\mathrm m\)
Schritt 3 — Masse. Im Ablenkfeld ist die Lorentzkraft die Radialkraft, also \(r = \frac{m\,v}{q\,B_2}\) und damit \(m = \frac{q\,B_2\,r}{v}\):
\(\displaystyle m_\text{A} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}50\,\mathrm T\cdot 0{,}125\,\mathrm m}{3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 3{,}33\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg} \approx 3{,}3\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\)
In atomaren Masseneinheiten:
\(\displaystyle \frac{m_\text{A}}{u} = \frac{3{,}33\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}}{1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}} = 20{,}1 \approx 20\)
Ion A hat also die Masse \(20\,u\); es handelt sich um das Isotop Neon-20.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für Ion B ist \(r_\text{B} = \frac{27{,}5\,\mathrm{cm}}{2} = 13{,}75\,\mathrm{cm} = 0{,}1375\,\mathrm m\). Mit derselben Geschwindigkeit \(v = 3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) — der Filter lässt ja nur diese eine durch — folgt
\(\displaystyle m_\text{B} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}50\,\mathrm T\cdot 0{,}1375\,\mathrm m}{3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 3{,}67\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg} \;\widehat{=}\; 22{,}1\,u \approx 22\,u\)
Nachweis der Proportionalität. Da \(q\), \(B_2\) und \(v\) für beide Ionen dieselben sind, kürzen sie sich im Quotienten heraus:
\(\displaystyle \frac{m_\text{B}}{m_\text{A}} = \frac{\frac{q\,B_2\,r_\text{B}}{v}}{\frac{q\,B_2\,r_\text{A}}{v}} = \frac{r_\text{B}}{r_\text{A}} = \frac{13{,}75\,\mathrm{cm}}{12{,}5\,\mathrm{cm}} = 1{,}10\)
Kontrolle mit den Massen: \(\frac{22\,u}{20\,u} = 1{,}10\) — beide Wege stimmen überein.
Deutung. Die beiden Ionen tragen dieselbe Ladung und haben dieselbe Geschwindigkeit, unterscheiden sich aber in der Masse. Es sind die Neon-Isotope \(^{20}\mathrm{Ne}\) und \(^{22}\mathrm{Ne}\): gleiche Kernladungszahl 10, aber 10 bzw. 12 Neutronen. Ihr Massenunterschied von \(10\,\%\) erzeugt am Detektor einen Abstand von \(27{,}5\,\mathrm{cm} - 25{,}0\,\mathrm{cm} = 2{,}5\,\mathrm{cm}\) — bequem messbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Erste Stufe. Die Durchlassbedingung lautet \(q\,E = q\,v\,B_1\). Auf beiden Seiten steht derselbe Faktor \(q\); er kürzt sich heraus und liefert
\(\displaystyle v = \frac{E}{B_1}\)
In dieser Gleichung kommen weder \(q\) noch \(m\) vor. Der Grund: Beide Kräfte sind proportional zur Ladung, ihr Verhältnis ist deshalb von \(q\) unabhängig; die Masse taucht gar nicht erst auf, weil im Kräftegleichgewicht keine Beschleunigung — und damit kein \(m\) — auftritt. Der Filter sortiert daher allein nach der Geschwindigkeit.
Zweite Stufe. Hier ist die Lorentzkraft die einzige Kraft; sie muss die Radialkraft liefern:
\(\displaystyle q\,v\,B_2 = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v}{q\,B_2}\)
Jetzt steht die Masse allein auf der einen Seite und die Ladung allein auf der anderen — sie kürzen sich nicht heraus. Der Radius hängt vom Verhältnis \(\frac{m}{q}\) ab, und genau deshalb laufen die beiden Isotope auf verschiedenen Bahnen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nils irrt. Für ein Ion im Filter gilt unabhängig vom Isotop
\(\displaystyle F_\text{el} = q\,E = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}} = 2{,}4\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\)
\(\displaystyle F_\text{mag} = q\,v\,B_1 = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}050\,\mathrm T = 2{,}4\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\)
Beide Werte sind gleich groß — und in beiden Rechnungen kommt die Masse überhaupt nicht vor. Ein \(^{20}\mathrm{Ne}\)-Ion und ein \(^{22}\mathrm{Ne}\)-Ion mit \(v = 3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) fliegen also beide geradeaus durch den Spalt. Der Filter trennt die Isotope nicht; er trennt schnelle von langsamen Ionen. Nils verwechselt zwei Dinge: Die Trägheit entscheidet nur darüber, wie stark ein Ion mit falscher Geschwindigkeit abgelenkt wird — ob es überhaupt abgelenkt wird, entscheidet allein \(v\).
Mara hat recht. Ohne Filter kämen Ionen aller Geschwindigkeiten in das Ablenkfeld. Aus \(r = \frac{m\,v}{q\,B_2}\) folgt für ein \(^{20}\mathrm{Ne}\)-Ion auf dem Radius von Ion B:
\(\displaystyle v = \frac{q\,B_2\,r_\text{B}}{m_\text{A}} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}50\,\mathrm T\cdot 0{,}1375\,\mathrm m}{3{,}33\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}} = 3{,}3\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Ein nur \(10\,\%\) schnelleres \(^{20}\mathrm{Ne}\)-Ion landet also exakt auf der Linie des \(^{22}\mathrm{Ne}\)-Ions. Da die Quelle Geschwindigkeiten in einem breiten Bereich liefert, würden die beiden scharfen Linien zu breiten, überlappenden Streifen verschmieren — eine Trennung wäre unmöglich.
Fazit. Der Detektor misst über \(r = \frac{m\,v}{q\,B_2}\) immer nur das Produkt \(m\,v\) (bezogen auf \(q\,B_2\)). Eine der beiden Größen muss deshalb vorher festgelegt werden: Der Wien-Filter gibt allen Ionen dieselbe Geschwindigkeit \(v = \frac{E}{B_1}\), erst dann ist der gemessene Radius ein eindeutiges Maß für \(\frac{m}{q}\). Beide Stufen zusammen — Geschwindigkeitsauswahl und Massenanalyse — machen aus dem Aufbau ein Massenspektrometer.