Elektronenstrahl im Querfeld
AFB I–IIIn einer evakuierten Elektronenstrahlröhre treten Elektronen aus einer Glühkathode aus und werden von der Beschleunigungsspannung \(U = 200\,\mathrm V\) auf ihre Endgeschwindigkeit gebracht (Material M1). Anschließend fliegen sie durch ein Feldgebiet der Länge \(10\,\mathrm{cm}\), in dem ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(B = 1{,}5\,\mathrm{mT}\) senkrecht in die Zeichenebene hineinzeigt. Die Geschwindigkeit der Elektronen steht dort senkrecht auf der Feldrichtung.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) und \(g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).
Gezeichnet ist der Augenblick des Eintritts. Die Lorentzkraft steht in jedem Bahnpunkt senkrecht auf der Geschwindigkeit und krümmt deshalb die Bahn (gestrichelt angedeutet). Die Gewichtskraft des Elektrons ist nicht eingezeichnet.
- Geben Sie die Richtung der Kraft, die im Eintrittspunkt auf ein Elektron wirkt, an und begründen Sie Ihre Antwort mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand. Achten Sie dabei auf das Vorzeichen der Ladung.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen in das Feldgebiet eintreten.
- Berechnen Sie den Betrag der Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron.
- Vergleichen Sie die Lorentzkraft mit der Gewichtskraft eines Elektrons und begründen Sie damit, dass die Gewichtskraft in solchen Röhren nicht berücksichtigt werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Elektron trägt eine negative Ladung. Es bewegt sich nach rechts, die technische Stromrichtung zeigt daher nach links. Für die Drei-Finger-Regel der rechten Hand gilt: Daumen nach links (technische Stromrichtung), Zeigefinger in die Zeichenebene hinein (Feldrichtung). Der Mittelfinger zeigt dann nach unten.
Gleichwertige Überlegung: Mit dem Daumen in Bewegungsrichtung des Elektrons (nach rechts) liefert die Regel eine Kraft nach oben; da die Ladung negativ ist, muss diese Richtung umgekehrt werden — also ebenfalls nach unten. Genau so ist der Kraftpfeil in M1 eingezeichnet.
Die Kraft steht senkrecht auf \(\vec v\) und auf \(\vec B\). Da sich die Bewegungsrichtung laufend ändert, dreht sich auch die Kraftrichtung mit: Die Bahn wird gekrümmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Energieansatz: Die vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit wird vollständig in kinetische Energie umgesetzt.
\(\displaystyle e\,U = \frac12\,m_\text{e}\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}\)
\(\displaystyle v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 200\,\mathrm V}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = \sqrt{7{,}0\cdot 10^{13}\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} = 8{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Das sind etwa \(2{,}8\,\%\) der Lichtgeschwindigkeit — die klassische Rechnung ist hier noch zulässig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wegen \(\vec v \perp \vec B\) ist \(\alpha = 90^\circ\) und \(\sin\alpha = 1\):
\(\displaystyle F = e\,v\,B = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 8{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 1{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm T = 2{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\)
Einheitenkontrolle: \(\displaystyle 1\,\mathrm C\cdot \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \mathrm T = 1\,\mathrm C\cdot\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot\mathrm{\frac{N}{A\,m}} = 1\,\mathrm{\frac{C}{s}}\cdot\mathrm{\frac{N}{A}} = 1\,\mathrm N\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gewichtskraft eines Elektrons:
\(\displaystyle F_\text{G} = m_\text{e}\,g = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}} = 8{,}9\cdot 10^{-30}\,\mathrm N\)
Verhältnis der Kräfte:
\(\displaystyle \frac{F}{F_\text{G}} = \frac{2{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{8{,}9\cdot 10^{-30}\,\mathrm N} \approx 2{,}2\cdot 10^{14}\)
Die Lorentzkraft ist rund \(10^{14}\)-mal so groß wie die Gewichtskraft. Anschaulich: Für die \(10\,\mathrm{cm}\) lange Flugstrecke braucht ein Elektron nur \(\displaystyle t = \frac{0{,}10\,\mathrm m}{8{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 1{,}2\cdot 10^{-8}\,\mathrm s\); allein durch die Schwerkraft würde es dabei um \(\tfrac12\,g\,t^2 \approx 7\cdot 10^{-16}\,\mathrm m\) absinken — mehr als hunderttausendmal weniger als ein Atomdurchmesser \((\approx 10^{-10}\,\mathrm m)\). Die Gewichtskraft darf daher gefahrlos vernachlässigt werden.
Ablenkmagnet einer Ionenstrahlanlage
AFB II–IIIFür die zerstörungsfreie Analyse von Werkstoffen werden in einer Ionenstrahlanlage geladene Teilchen beschleunigt und mit Ablenkmagneten zum Messplatz gelenkt. In einem solchen Ablenkmagneten herrscht ein homogenes Feld der Flussdichte \(B = 0{,}25\,\mathrm T\). Die Anlage arbeitet wahlweise mit Elektronen, Protonen oder Heliumkernen; alle Teilchen treten mit derselben Geschwindigkeit \(v = 2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) in das Feld ein (Daten in Material M3).
Woher die Kraft auf ein einzelnes Teilchen kommt, zeigt der Vergleich mit einem stromdurchflossenen Leiter im selben Feld (Material M2). Wenn nichts anderes gesagt ist, steht \(\vec v\) senkrecht auf \(\vec B\).
Der Einfachheit halber sind positive Ladungsträger gezeichnet, die sich in der technischen Stromrichtung bewegen. In einem Metall driften stattdessen Elektronen in die Gegenrichtung; Stromrichtung und Kraft bleiben dabei dieselben.
| Teilchen | Ladung \(q\) | Masse \(m\) |
|---|---|---|
| Elektron | \(-1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) | \(9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) |
| Proton | \(+1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) | \(1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) |
| Heliumkern \(\mathrm{He}^{2+}\) | \(+3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) | \(6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) |
| Elementarladung \(e\) | \(1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) | — |
In der Kraftformel wird stets der Betrag der Ladung eingesetzt; das Vorzeichen entscheidet nur über die Richtung der Kraft.
- Leiten Sie mithilfe von Material M2 aus der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter, \(F = B\,I\,l\), die Beziehung \(F = q\,v\,B\) für ein einzelnes geladenes Teilchen her.
- Berechnen Sie die Beträge der Lorentzkraft auf ein Proton und auf einen Heliumkern und vergleichen Sie beide Werte mit der Kraft auf ein Elektron.
- Ein Teil des Strahls tritt nicht senkrecht, sondern unter dem Winkel \(\alpha = 35^\circ\) zur Feldrichtung in den Magneten ein. Berechnen Sie die Kraft auf ein Proton in diesem Fall und erklären Sie, warum auf ein Teilchen, das genau parallel zu \(\vec B\) fliegt, überhaupt keine magnetische Kraft wirkt.
- Zwei Lernende streiten über den Ablenkmagneten. Mia: „Auf das Proton wirkt eine Kraft, also wird es beschleunigt — es verlässt den Magneten schneller, als es hineingeflogen ist.“ Jonas: „Die Lorentzkraft ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, ihr Betrag bleibt gleich.“ Beurteilen Sie beide Aussagen und begründen Sie Ihr Urteil rechnerisch und energetisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Schritt 1 — Stromstärke und Driftgeschwindigkeit. Im Leiterstück der Länge \(l\) befinden sich Ladungsträger mit der Gesamtladung \(Q\), die sich alle mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegen. In der Zeit \(t\) legen sie die Strecke \(l = v\,t\) zurück; in dieser Zeit tritt gerade die Ladung \(Q\) durch den Querschnitt am Ende des Stücks. Also gilt \(\displaystyle I = \frac{Q}{t}\).
Schritt 2 — das Produkt \(I\cdot l\).
\(\displaystyle I\cdot l = \frac{Q}{t}\cdot v\,t = Q\,v\)
Schritt 3 — Einsetzen. Damit wird aus der Kraft auf den Leiter
\(\displaystyle F = B\,I\,l = B\,(I\,l) = B\,Q\,v\)
Schritt 4 — ein einzelnes Teilchen. Verteilt sich die Ladung \(Q\) auf \(N\) gleiche Träger mit je der Ladung \(q\), so ist \(Q = N\,q\), und auf jeden einzelnen Träger entfällt der \(N\)-te Teil der Kraft:
\(\displaystyle F_1 = \frac{B\,N\,q\,v}{N} = q\,v\,B\)
Deutung: Die Kraft auf den Leiter ist nichts anderes als die Summe der Kräfte auf die einzelnen bewegten Ladungen; über die Stöße mit dem Metallgitter wird sie auf den ganzen Draht übertragen. Ein freies Teilchen im Vakuum erfährt dieselbe Kraft \(F = q\,v\,B\) — dafür braucht es keinen Draht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Proton (\(q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\)):
\(\displaystyle F_\text{p} = q\,v\,B = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}25\,\mathrm T = 8{,}0\cdot 10^{-14}\,\mathrm N\)
Heliumkern (\(q = 3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\)):
\(\displaystyle F_\text{He} = 3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}25\,\mathrm T = 1{,}6\cdot 10^{-13}\,\mathrm N\)
Vergleich. Der Heliumkern trägt die doppelte Ladung und erfährt deshalb genau die doppelte Kraft. Das Elektron hat denselben Ladungsbetrag wie das Proton, also auch denselben Kraftbetrag \(8{,}0\cdot 10^{-14}\,\mathrm N\) — wegen des negativen Vorzeichens jedoch in die entgegengesetzte Richtung.
In \(F = q\,v\,B\) kommt die Masse nicht vor: Für die Kraft ist sie ohne Bedeutung. Erst für die Wirkung dieser Kraft zählt sie, denn \(a = \frac{F}{m}\) liefert \(a_\text{p} = 4{,}8\cdot 10^{13}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), \(a_\text{He} = 2{,}4\cdot 10^{13}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) und \(a_\text{e} = 8{,}8\cdot 10^{16}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Das leichte Elektron wird also weitaus am stärksten aus seiner Richtung gedrängt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle F = q\,v\,B\,\sin\alpha = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}25\,\mathrm T\cdot \sin 35^\circ\)
\(\displaystyle F = 8{,}0\cdot 10^{-14}\,\mathrm N\cdot 0{,}57 = 4{,}6\cdot 10^{-14}\,\mathrm N\)
Das sind rund \(57\,\%\) des Höchstwertes aus Teilaufgabe b).
Parallelfall. Für \(\alpha = 0^\circ\) ist \(\sin 0^\circ = 0\) und damit \(F = 0\). Anschaulich: Die Lorentzkraft steht immer senkrecht auf \(\vec v\) und senkrecht auf \(\vec B\). Liegen beide auf derselben Geraden, ist durch sie keine solche Richtung mehr festgelegt — es kann gar keine Kraft geben. Zur Kraft trägt nur der Anteil der Geschwindigkeit bei, der quer zum Feld liegt: \(v_\perp = v\,\sin\alpha = 1{,}1\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), und damit \(F = q\,v_\perp\,B\). Ein parallel einfliegendes Teilchen durchquert den Magneten geradlinig und ungestört.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Jonas hat recht. Die Lorentzkraft steht in jedem Bahnpunkt senkrecht auf der Geschwindigkeit, also auch senkrecht auf dem zurückgelegten Wegstück. Für die Arbeit gilt daher
\(\displaystyle W = F\,s\,\cos\varphi = F\,s\,\cos 90^\circ = 0\)
Die Lorentzkraft verrichtet keine Arbeit. Nach dem Energieerhaltungssatz bleibt die kinetische Energie des Protons deshalb unverändert:
\(\displaystyle E_\text{kin} = \frac12\,m\,v^2 = \frac12\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot \left(2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2 = 3{,}3\cdot 10^{-15}\,\mathrm J \approx 21\,\mathrm{keV}\)
Dieser Wert gilt vor, während und hinter dem Ablenkmagneten. Wegen \(E_\text{kin} = \tfrac12 m v^2\) ist damit auch der Betrag \(v = 2{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) unverändert — nur die Richtung ist eine andere.
Mia irrt, allerdings nur zur Hälfte. Richtig ist: Es wirkt eine Kraft, also liegt nach \(a = \frac{F}{m}\) sehr wohl eine Beschleunigung vor — in b) wurde \(a_\text{p} = 4{,}8\cdot 10^{13}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) berechnet. Ihr Fehler ist die Gleichsetzung von „Beschleunigung“ mit „schneller werden“: Eine Beschleunigung ändert die Geschwindigkeit als gerichtete Größe. Zeigt sie längs der Bewegung, wächst der Betrag; steht sie wie hier senkrecht darauf, dreht sich allein die Richtung.
Folgerung für die Anlage: Mit Magnetfeldern kann man Teilchen lenken, aber nicht auf höhere Energie bringen. Dafür sind elektrische Felder nötig, bei denen die Kraft längs der Bewegung wirkt und die Arbeit \(W = q\,U\) verrichtet wird.