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Übungen: Kreisbahnen im Magnetfeld

Steht die Geschwindigkeit senkrecht zum Feld, zeigt die Lorentzkraft immer zur Mitte — das Teilchen läuft auf einer Kreisbahn.

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Übungsaufgaben

1Kreisbahnen in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Text zur Kreisbewegung geladener Teilchen im Magnetfeld.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Fliegt eine Ladung in ein Magnetfeld, wirkt die Lorentzkraft als . Setzt man q · v · B = m · v² ÷ r und löst nach r auf, erhält man den r = m · v ÷ (q · B). Ein schnelleres Teilchen läuft auf einem Kreis mit Radius, ein stärkeres Feld zwingt es auf einen Kreis mit Radius. Die Umlaufzeit T = 2πm ÷ (q · B) ist dagegen von der Geschwindigkeit.

Der letzte Satz ist der eigentliche Clou. Beim Einsetzen von r in T = 2πr ÷ v kürzt sich v vollständig heraus: Ein schnelleres Teilchen läuft zwar auf einem größeren Kreis, legt diesen längeren Weg aber genau entsprechend schneller zurück. Übrig bleiben nur noch Teilcheneigenschaften (m, q) und das Feld (B) — auf dieser Tatsache beruht das gesamte Zyklotron.
2Formel und BedeutungAFB I

Finden Sie die Paare aus Formelausdruck und zugehöriger Bedeutung.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Versuche: 0 von 12
Die beiden mittleren Karten sind der Ausgangspunkt der ganzen Herleitung: Man setzt die vorhandene Lorentzkraft mit der für einen Kreis nötigen Zentripetalkraft gleich. Wichtig ist die Denkrichtung — die Lorentzkraft ist keine zusätzliche Kraft neben der Zentripetalkraft, sondern sie ist hier die Zentripetalkraft. Wer beide gleichzeitig einzeichnet, zählt dieselbe Kraft doppelt.
3Was steckt in welcher Formel?AFB I

Kreuzen Sie an, welche Größe in den Bahnradius \(r\) und welche in die Umlaufzeit \(T\) eingeht.

Klicke die Felder an, die zutreffen. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.
Größegeht in den Radius r eingeht in die Umlaufzeit T ein
Geschwindigkeit v
Masse m des Teilchens
Ladung q des Teilchens
Flussdichte B
Kreiszahl π
Die Tabelle zeigt den Unterschied auf einen Blick: Bis auf die Geschwindigkeit stehen in beiden Formeln dieselben Größen. Genau eine Zeile trennt sie — v steht nur im Radius. Deshalb ändert ein schnelleres Teilchen seinen Kreis, nicht aber seine Umlaufzeit. Die Kreiszahl in der Zeile darunter ist kein Zufall: Sie stammt aus dem Kreisumfang 2πr und taucht deshalb nur dort auf, wo eine ganze Umrundung gezählt wird.
4Radius und Umlaufzeit eines ProtonsAFB II

Ein Proton (\(m=1{,}67\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\), \(q=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\)) fliegt mit \(v=4{,}0\cdot10^{5}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) senkrecht in ein Feld mit \(B=0{,}20\,\mathrm T\).

Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Umlaufzeit.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist der Nenner q · B? (Zahl vor 10−20)10−20
  2. Wie groß ist der Zähler m · v? (Zahl vor 10−22)10−22
  3. Wie groß ist der Bahnradius r? (in cm)cm
  4. Wie groß ist die Umlaufzeit T = 2πm ÷ (q · B)? (in µs)µs
Die Kette trennt die beiden Fehlerquellen: die Zehnerpotenzen und die Einheiten. Rechnen Sie Zähler und Nenner grundsätzlich getrennt aus, dann bleibt der Bruch übersichtlich. Beachten Sie das Ergebnis der letzten Zeile — rund 0,33 µs bedeutet etwa drei Millionen Umläufe pro Sekunde, und zwar für jedes Proton in diesem Feld, egal wie schnell es ist. Genau diese feste Frequenz nutzt ein Zyklotron zum Nachbeschleunigen.
5Den Radius im Raster darstellenAFB II

Ein Elektron (\(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\)) fliegt mit \(v=3{,}0\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) senkrecht in ein Feld mit \(B=0{,}010\,\mathrm T\).

Berechnen Sie den Bahnradius in Millimetern (ganzzahlig gerundet) und stellen Sie ihn im Raster dar.

Schalte die Kästchen so, dass die Summe der Werte genau dem Ergebnis entspricht.
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Ziel: 17 mm
Eingesetzt in r = m · v ÷ (q · B) ergibt sich r = 2,73 · 10−23 ÷ 1,6 · 10−21 ≈ 0,0171 m, also 17 mm. Der Zwischenschritt in Metern ist entscheidend: Wer die Flussdichte in Millitesla stehen lässt, landet um den Faktor 1000 daneben. Das Raster zwingt Sie außerdem, das Ergebnis auf eine ganze Zahl zu bringen — eine gute Kontrolle, denn 17 mm ist ein Radius, den man auf einem Leuchtschirm tatsächlich sehen könnte.
6Schwächeres Feld, größerer KreisAFB II

Dasselbe Elektron wie zuvor (Bahnradius 17 mm bei \(B=10\,\mathrm{mT}\)) fliegt nun durch ein Feld mit nur noch \(B=4{,}0\,\mathrm{mT}\); die Geschwindigkeit bleibt gleich.

Bestimmen Sie den neuen Bahnradius.

Schiebe den Regler auf deinen Wert und prüfe dann. Der richtige Bereich wird danach angezeigt.
0 mm100 mm
Weil B im Nenner steht, sind r und B umgekehrt proportional: Aus 10 mT werden 4,0 mT, also das 0,4-Fache — der Radius wächst auf das 1÷0,4 = 2,5-Fache, das sind 17 mm · 2,5 ≈ 43 mm. Der typische Fehler ist ein Dreisatz in die falsche Richtung, der 17 · 0,4 ≈ 7 mm liefert. Prüfen Sie die Richtung immer am Sachverhalt: Ein schwächeres Feld lenkt schwächer ab, der Kreis muss also größer werden.
7Was ändert sich wirklich?AFB II

Ordnen Sie jede Änderung danach ein, was sie an der Kreisbahn bewirkt.

Klicke einen Begriff an und dann den Bereich, in den er gehört. Ein Klick auf einen abgelegten Begriff holt ihn zurück.
1 nur der Radius r ändert sich
2 nur der Umlaufsinn ändert sich
3 Radius r und Umlaufzeit T ändern sich
Der mittlere Bereich ist der lehrreichste: Ein Vorzeichenwechsel der Ladung oder eine Umkehr der Feldrichtung dreht die Kraftrichtung um 180° — das Teilchen läuft den Kreis nun andersherum, aber mit exakt demselben Radius und derselben Umlaufzeit, weil in beide Formeln nur die Beträge eingehen. Dreht man dagegen beides zugleich um, bleibt sogar der Umlaufsinn erhalten, weil sich die beiden Umkehrungen gegenseitig aufheben.
8Wie groß wird der Kreis?AFB II

Ausgangsfall: ein Elektron mit \(v=1{,}0\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) in einem Feld mit \(B=10\,\mathrm{mT}\) — sein Bahnradius beträgt etwa 6 mm.

Schätzen Sie für jeden abgewandelten Fall die Größe des Bahnradius ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe von 1 bis 5 und prüfe dann alle Einschätzungen gemeinsam.
1 = winziger Kreis5 = riesiger Kreis
Ausgangsfall: Elektron, v = 1,0 · 107 m/s, B = 10 mT
dasselbe Elektron, aber B = 100 mT
dasselbe Elektron, aber B = 1,0 mT
dasselbe Feld, aber v = 5,0 · 106 m/s
dasselbe Feld, aber v = 2,0 · 107 m/s
Proton statt Elektron, sonst wie im Ausgangsfall
Die letzte Zeile ist der Härtetest: Ein Proton ist rund 1836-mal schwerer als ein Elektron, sein Radius wächst deshalb bei gleichem Tempo und gleichem Feld von 6 mm auf etwa 11 m — die Bahn passt in kein Schulgerät mehr. Genau darum arbeitet man in Elektronenröhren mit Millitesla, in Protonenanlagen dagegen mit supraleitenden Magneten im Tesla-Bereich. Der Faktor Masse ist bei Kreisbahnen fast immer der größte.
9Spezifische Ladung bestimmenAFB III

Im Fadenstrahlrohr misst man für Elektronen \(v=2{,}0\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\), \(B=0{,}010\,\mathrm T\) und einen Bahnradius \(r=1{,}1\,\mathrm{cm}\).

Berechnen Sie die spezifische Ladung \(\tfrac{q}{m}\) in \(10^{11}\,\tfrac{\mathrm C}{\mathrm{kg}}\).

Stelle r = m · v ÷ (q · B) nach q/m um. Trage nur die Zahl vor der Zehnerpotenz ein, Enter prüft.
Aus r = m · v ÷ (q · B) folgt durch Umstellen q ÷ m = v ÷ (B · r) = 2,0 · 107 ÷ (0,010 · 0,011) ≈ 1,8 · 1011 C/kg. Bemerkenswert ist, dass in dieser Gleichung weder q noch m einzeln vorkommen — man misst immer nur ihr Verhältnis. Genau daran scheiterte die Physik bis zum Millikan-Versuch: Aus Kreisbahnen allein lässt sich die Elektronenmasse nicht bestimmen, erst die getrennt gemessene Elementarladung macht sie zugänglich. Der klassische Rechenfehler steckt in r — 1,1 cm sind 0,011 m.
10Welche Bahn nimmt das Teilchen?AFB III

Ein Elektron fliegt genau senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld.

Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum, welche Bahnform sich ergibt.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
    Der Baum macht sichtbar, dass die Kreisbahnformel eine Sonderfallformel ist: Sie gilt nur, wenn v exakt senkrecht auf B steht. Der schräge Einschuss ganz rechts im Baum ist der allgemeine Fall — man zerlegt v dann in eine Komponente quer zum Feld (sie erzeugt den Kreis) und eine längs des Feldes (sie bleibt unbeeinflusst, weil dafür sin α = 0 gilt). Aus beidem zusammen entsteht die Schraubenbahn, mit der sich zum Beispiel Elektronen im Erdmagnetfeld zu den Polen bewegen und dort das Polarlicht auslösen.