Fadenstrahlrohr im Schulversuch
AFB I–IIMit einem Fadenstrahlrohr lässt sich die Bahn von Elektronen sichtbar machen: In der Röhre steht ein Restgas unter sehr geringem Druck, das entlang des Strahls zum Leuchten angeregt wird (Material M1). Die Elektronen werden mit der Beschleunigungsspannung \(U = 250\,\mathrm V\) aus einer Elektronenkanone geschossen und treten senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte \(B = 1{,}4\,\mathrm{mT}\) in den Feldbereich ein.
An der Skala des Rohres wird für die Leuchtspur der Bahnradius \(r = 3{,}9\,\mathrm{cm}\) abgelesen. Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
Das Feld wird von zwei großen Spulen erzeugt und darf im ganzen Bahnbereich als homogen gelten; es steht senkrecht auf der Bahnebene. Der Radius \(r = 3{,}9\,\mathrm{cm}\) ist der an der Skala des Rohres gemessene Wert. Die Gewichtskraft der Elektronen ist nicht eingezeichnet.
- Begründen Sie mithilfe von Material M1, warum die Elektronen im Magnetfeld eine Kreisbahn durchlaufen, und geben Sie die Richtung der Lorentzkraft im eingezeichneten Bahnpunkt an.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen in den Feldbereich eintreten.
- Zeigen Sie, dass für den Bahnradius \(r = \frac{m_\text{e}\,v}{e\,B}\) gilt, und berechnen Sie den Radius, den die Bahn nach dieser Beziehung haben müsste.
- Die spezifische Ladung des Elektrons ist der Quotient \(\frac{e}{m_\text{e}}\). Bestimmen Sie diesen Quotienten allein aus den Messgrößen \(U\), \(B\) und \(r\) und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert \(1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Lorentzkraft steht in jedem Bahnpunkt senkrecht auf der Geschwindigkeit. Sie verrichtet deshalb keine Arbeit, der Betrag \(v\) bleibt unverändert. Dann ist aber auch der Betrag der Kraft \(F = e\,v\,B\) konstant, denn \(e\), \(v\) und \(B\) ändern sich nicht.
Eine Kraft von konstantem Betrag, die dauernd senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht, ist genau die Zentripetalkraft einer gleichförmigen Kreisbewegung: Sie dreht die Geschwindigkeit in jedem Augenblick um denselben Winkel, ohne sie zu vergrößern. Die Bahn ist daher ein Kreis mit konstantem Radius.
Richtung. Das Elektron ist negativ geladen; es fliegt nach rechts, die technische Stromrichtung zeigt also nach links. Drei-Finger-Regel der rechten Hand: Daumen nach links, Zeigefinger in die Zeichenebene hinein, Mittelfinger — und damit die Kraft — nach unten, also zum Mittelpunkt \(M\) der Bahn. So ist der Kraftpfeil in M1 eingezeichnet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Energieansatz für die Beschleunigungsstrecke:
\(\displaystyle e\,U = \frac12\,m_\text{e}\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}\)
\(\displaystyle v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 250\,\mathrm V}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = \sqrt{8{,}8\cdot 10^{13}\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} = 9{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Das sind rund \(3\,\%\) der Lichtgeschwindigkeit; die klassische Rechnung ist damit noch zulässig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: Die Lorentzkraft ist die einzige Kraft auf das Elektron und zeigt stets zum Mittelpunkt. Sie übernimmt damit die Rolle der Zentripetalkraft:
\(\displaystyle e\,v\,B = \frac{m_\text{e}\,v^2}{r}\)
Beide Seiten durch \(v\) teilen und nach \(r\) auflösen:
\(\displaystyle e\,B = \frac{m_\text{e}\,v}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_\text{e}\,v}{e\,B}\)
Einsetzen:
\(\displaystyle r = \frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1{,}4\cdot 10^{-3}\,\mathrm T} = \frac{8{,}6\cdot 10^{-24}}{2{,}24\cdot 10^{-22}}\,\mathrm m = 3{,}8\cdot 10^{-2}\,\mathrm m\)
Erwartet werden also \(3{,}8\,\mathrm{cm}\); gemessen wurden \(3{,}9\,\mathrm{cm}\). Theorie und Messung stimmen im Rahmen der Ablesegenauigkeit überein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Herleitung. Einsetzen von \(v = \sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}\) in \(r = \frac{m_\text{e}\,v}{e\,B}\) und Quadrieren liefert
\(\displaystyle r^2 = \frac{m_\text{e}^2\,v^2}{e^2\,B^2} = \frac{m_\text{e}^2}{e^2\,B^2}\cdot\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}} = \frac{2\,U\,m_\text{e}}{e\,B^2}\)
Nach dem gesuchten Quotienten umgestellt:
\(\displaystyle \frac{e}{m_\text{e}} = \frac{2\,U}{B^2\,r^2}\)
\(\displaystyle \frac{e}{m_\text{e}} = \frac{2\cdot 250\,\mathrm V}{\left(1{,}4\cdot 10^{-3}\,\mathrm T\right)^2\cdot\left(0{,}039\,\mathrm m\right)^2} = \frac{500}{2{,}98\cdot 10^{-9}}\,\mathrm{\frac{C}{kg}} = 1{,}7\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\)
Vergleich. Der Messwert \(1{,}68\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\) liegt rund \(5\,\%\) unter dem Literaturwert \(1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\) — für einen Schulversuch eine gute Übereinstimmung.
Beachtenswert ist die Empfindlichkeit: Wegen \(\frac{e}{m_\text{e}}\sim\frac{1}{r^2}\) schlägt ein Ablesefehler von \(2{,}6\,\%\) im Radius (\(3{,}9\) statt \(3{,}8\,\mathrm{cm}\)) mit etwa \(5\,\%\) im Ergebnis durch. Die Masse des Elektrons allein lässt sich so übrigens nicht ermitteln — in \(r\) treten \(e\) und \(m_\text{e}\) nur als Quotient auf.
Neon-Isotope trennen
AFB II–IIIEin Massenspektrometer trennt Atome gleicher Ordnungszahl nach ihrer Masse. Eine Probe Neon wird verdampft, einfach ionisiert und tritt durch einen schmalen Spalt senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein (Material M2). Dort durchlaufen die Ionen einen Halbkreis und treffen auf einen Detektorstreifen, der in derselben Ebene wie der Eintrittsspalt liegt. Die Daten der Anlage stehen in Material M3.
Natürliches Neon besteht überwiegend aus den Isotopen Neon-20 und Neon-22. Beide Ionensorten treten mit derselben Geschwindigkeit \(v = 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) in den Trennmagneten ein. Auf dem Detektor zeigt sich zusätzlich eine dritte, sehr schwache Spur.
Die Ionen treten senkrecht zur Blende und senkrecht zum Feld ein, durchlaufen einen Halbkreis und treffen im Abstand \(2\,r\) vom Spalt wieder auf die Blendenebene. Der Abstand der beiden Auftrefforte ist gegenüber dem Bahndurchmesser klein — die Zeichnung gibt das Verhältnis maßstabsgetreu wieder.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Flussdichte im Trennmagneten \(B\) | \(0{,}40\,\mathrm T\) |
| Eintrittsgeschwindigkeit \(v\) aller Ionen | \(1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) |
| Ladung der Ionen \(q\) (einfach geladen) | \(1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) |
| atomare Masseneinheit \(u\) | \(1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) |
| Masse eines \(^{20}\mathrm{Ne}\)-Ions | \(20\,u\) |
| Masse eines \(^{22}\mathrm{Ne}\)-Ions | \(22\,u\) |
| Radius der dritten, schwachen Spur \(r_x\) | \(8{,}2\,\mathrm{cm}\) |
Die Masse der Ionen wird der Masse der neutralen Atome gleichgesetzt; das fehlende Elektron fällt mit einem Anteil von etwa \(3\cdot 10^{-5}\) nicht ins Gewicht.
- Leiten Sie her, dass sich die Bahnradien zweier Isotope wie ihre Massen verhalten, und berechnen Sie den Abstand der beiden Auftrefforte von Neon-20 und Neon-22 auf dem Detektor.
- Berechnen Sie die Umlaufzeiten der beiden Ionensorten und begründen Sie, warum die Umlaufzeit nicht von der Geschwindigkeit abhängt.
- Die dritte Spur gehört zu einem weiteren, einfach geladenen Neon-Isotop. Bestimmen Sie aus dem gemessenen Radius \(r_x = 8{,}2\,\mathrm{cm}\) dessen Massenzahl.
- Zwei Lernende diskutieren die Anlage. Emre: „Ionen, die schneller in den Magneten fliegen, kommen früher am Detektor an — sie sind ja schneller.“ Sophie: „Wenn die Ionen unterschiedlich schnell sind, verschmieren die beiden Spuren ineinander und die Isotope lassen sich nicht mehr trennen.“ Beurteilen Sie beide Aussagen rechnerisch und begründen Sie damit, warum vor dem Trennmagneten eine Auswahl der Geschwindigkeit nötig ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Herleitung. Für jedes Ion gilt \(r = \frac{m\,v}{q\,B}\). Beide Isotope sind einfach geladen (gleiches \(q\)), durchlaufen denselben Magneten (gleiches \(B\)) und treten mit derselben Geschwindigkeit ein (gleiches \(v\)). Der Faktor \(\frac{v}{q\,B}\) ist also für beide derselbe, und es folgt
\(\displaystyle \frac{r_{22}}{r_{20}} = \frac{m_{22}\,\frac{v}{q\,B}}{m_{20}\,\frac{v}{q\,B}} = \frac{m_{22}}{m_{20}} = \frac{22\,u}{20\,u} = 1{,}1\)
Der Radius ist bei gleicher Geschwindigkeit und gleicher Ladung der Masse proportional.
Radien.
\(\displaystyle r_{20} = \frac{20\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}40\,\mathrm T} = \frac{4{,}98\cdot 10^{-21}}{6{,}4\cdot 10^{-20}}\,\mathrm m = 7{,}8\cdot 10^{-2}\,\mathrm m\)
\(\displaystyle r_{22} = 1{,}1\cdot 7{,}78\,\mathrm{cm} = 8{,}6\,\mathrm{cm}\)
Abstand der Auftrefforte. Jedes Ion trifft im Abstand \(2\,r\) vom Spalt auf, also ist
\(\displaystyle \Delta s = 2\,r_{22} - 2\,r_{20} = 2\cdot\left(8{,}56 - 7{,}78\right)\,\mathrm{cm} = 1{,}6\,\mathrm{cm}\)
Die beiden Spuren liegen also gut anderthalb Zentimeter auseinander — mit einem Detektorstreifen bequem zu trennen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz. Ein voller Umlauf ist der Kreisumfang \(2\pi\,r\), durchlaufen mit der konstanten Bahngeschwindigkeit \(v\):
\(\displaystyle T = \frac{2\pi\,r}{v} = \frac{2\pi}{v}\cdot\frac{m\,v}{q\,B} = \frac{2\pi\,m}{q\,B}\)
Neon-20:
\(\displaystyle T_{20} = \frac{2\pi\cdot 3{,}32\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}40\,\mathrm T} = \frac{2{,}09\cdot 10^{-25}}{6{,}4\cdot 10^{-20}}\,\mathrm s = 3{,}3\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\)
Neon-22: \(\displaystyle T_{22} = 1{,}1\cdot T_{20} = 3{,}6\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\).
Im Spektrometer wird nur ein halber Umlauf durchlaufen; die Flugzeiten betragen daher \(1{,}6\,\mathrm{\mu s}\) bzw. \(1{,}8\,\mathrm{\mu s}\).
Begründung der Unabhängigkeit. In \(T = \frac{2\pi\,m}{q\,B}\) kommt \(v\) nicht mehr vor: Beim Einsetzen von \(r = \frac{m\,v}{q\,B}\) kürzt sich die Geschwindigkeit heraus. Anschaulich: Ein doppelt so schnelles Ion läuft auf einem doppelt so großen Kreis, hat also den doppelten Weg zurückzulegen — beides hebt sich genau auf. Die Umlaufzeit hängt nur vom Verhältnis \(\frac{m}{q}\) und von \(B\) ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz. Aus \(r = \frac{m\,v}{q\,B}\) folgt \(m = \frac{r\,q\,B}{v}\). Mit \(m = A\cdot u\) ergibt sich für die Massenzahl
\(\displaystyle A = \frac{r_x\,q\,B}{u\,v}\)
\(\displaystyle A = \frac{0{,}082\,\mathrm m\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}40\,\mathrm T}{1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = \frac{5{,}25\cdot 10^{-21}}{2{,}49\cdot 10^{-22}} = 21{,}1\)
Kürzer über den Vergleich mit Neon-20, da \(r\sim m\sim A\):
\(\displaystyle A = 20\cdot\frac{8{,}2\,\mathrm{cm}}{7{,}78\,\mathrm{cm}} = 21{,}1\)
Massenzahlen sind ganzzahlig, also handelt es sich um Neon-21. Die Abweichung von \(0{,}1\) liegt innerhalb der Messgenauigkeit des Radius; die Spur ist schwach, weil dieses Isotop in natürlichem Neon nur zu einigen Promille vorkommt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Emre irrt. Die Flugzeit auf dem Halbkreis ist
\(\displaystyle t = \frac{T}{2} = \frac{\pi\,m}{q\,B}\)
Darin steht kein \(v\). Ein Neon-20-Ion braucht \(1{,}6\,\mathrm{\mu s}\) — ob es mit \(1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) oder mit \(1{,}65\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) eintritt, spielt keine Rolle. Das schnellere Ion legt zwar einen längeren Weg zurück, tut das aber genau um denselben Faktor schneller. Richtig an Emres Beobachtung ist nur, dass die Ankunftszeiten der beiden Isotope verschieden sind — das liegt jedoch an der Masse (\(1{,}6\,\mathrm{\mu s}\) gegenüber \(1{,}8\,\mathrm{\mu s}\)), nicht an der Geschwindigkeit.
Sophie hat recht. Ein Neon-20-Ion, das um \(10\,\%\) zu schnell ist (\(v' = 1{,}65\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)), läuft auf dem Radius
\(\displaystyle r' = \frac{3{,}32\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\cdot 1{,}65\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 0{,}40\,\mathrm T} = 8{,}6\cdot 10^{-2}\,\mathrm m\)
Das ist genau der Radius von Neon-22. Ein zu schnelles leichtes Ion trifft also an derselben Stelle auf wie ein langsameres schweres — aus dem Auftreffort allein lässt sich die Masse dann nicht mehr erschließen.
Folgerung. Der Radius \(r = \frac{m\,v}{q\,B}\) hängt von zwei unbekannten Größen ab, von \(m\) und von \(v\). Eine Messung liefert nur dann eine eindeutige Masse, wenn \(v\) vorher festgelegt ist. Da die Ionen die Quelle mit ganz unterschiedlichen Geschwindigkeiten verlassen, muss zwischen Quelle und Trennmagneten eine Einrichtung sitzen, die aus dem Strahl nur Ionen einer einzigen Geschwindigkeit herausgreift. Damit die Spuren getrennt bleiben, muss die zugelassene Geschwindigkeitsstreuung deutlich kleiner sein als der Massenunterschied der Isotope, hier also deutlich unter \(10\,\%\). Wie eine solche Geschwindigkeitsauswahl technisch aussieht, bleibt hier offen.