Sechs Nuklide im Vergleich
AFB IIEin Nuklid ist durch die Zahl seiner Protonen und Neutronen eindeutig festgelegt. Aus \(Z\) und \(A\) lassen sich alle weiteren kennzeichnenden Größen berechnen (Material M1).
| Nuklid | \(Z\) | \(A\) | bekannt aus … |
|---|---|---|---|
| \({}^{12}_{\ 6}\mathrm{C}\) | 6 | 12 | stabiler Kohlenstoff |
| \({}^{13}_{\ 6}\mathrm{C}\) | 6 | 13 | stabiler Kohlenstoff |
| \({}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}\) | 6 | 14 | Altersbestimmung |
| \({}^{14}_{\ 7}\mathrm{N}\) | 7 | 14 | Luftstickstoff |
| \({}^{40}_{19}\mathrm{K}\) | 19 | 40 | natürliche Radioaktivität des Körpers |
| \({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\) | 55 | 137 | Reaktorunfälle |
Konstanten: \(u=1{,}6605\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\), \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\).
- Berechnen Sie für \({}^{40}_{19}\mathrm{K}\) und \({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\) jeweils die Neutronenzahl \(N\), die Kernladung \(Q\) und näherungsweise die Kernmasse \(m\).
- Ordnen Sie aus M1 je ein Paar von Isotopen, von Isobaren und von Isotonen zu und beschreiben Sie, wie die drei Paare jeweils auf der Nuklidkarte liegen.
- \({}^{12}\mathrm{C}\) ist stabil, \({}^{14}\mathrm{C}\) dagegen radioaktiv. Erklären Sie, warum sich die beiden Nuklide chemisch dennoch nicht voneinander trennen lassen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\({}^{40}_{19}\mathrm{K}\):
\(N=A-Z=40-19=21\)
\(Q=Z\cdot e=19\cdot 1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}=3{,}04\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\)
\(m\approx A\cdot u=40\cdot 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}=6{,}64\cdot10^{-26}\ \mathrm{kg}\)
\({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\):
\(N=137-55=82\)
\(Q=55\cdot 1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}=8{,}81\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\)
\(m\approx 137\cdot 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}=2{,}27\cdot10^{-25}\ \mathrm{kg}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Isotope: \({}^{12}_{\ 6}\mathrm{C}\) und \({}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}\) (auch \({}^{13}\mathrm{C}\)) — gleiches \(Z=6\), verschiedenes \(N\). Auf der Nuklidkarte liegen sie in derselben waagerechten Zeile.
Isobare: \({}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}\) und \({}^{14}_{\ 7}\mathrm{N}\) — gleiches \(A=14\), verschiedenes \(Z\). Sie liegen auf einer Diagonalen (eine Zeile höher, eine Spalte weiter links).
Isotone: \({}^{13}_{\ 6}\mathrm{C}\) mit \(N=7\) und \({}^{14}_{\ 7}\mathrm{N}\) mit \(N=7\) — gleiches \(N\), verschiedenes \(Z\). Sie liegen in derselben senkrechten Spalte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das chemische Verhalten eines Atoms wird ausschließlich von seiner Elektronenhülle bestimmt — genauer von der Zahl und Anordnung der Außenelektronen. Im neutralen Atom ist die Elektronenzahl gleich der Protonenzahl \(Z\). Beide Nuklide haben \(Z=6\), also sechs Elektronen in identischer Anordnung; sie bilden dieselben Bindungen und gehen dieselben Reaktionen ein. Ein \({}^{14}\mathrm{C}\)-Atom wird deshalb von einer Pflanze genauso eingebaut wie ein \({}^{12}\mathrm{C}\)-Atom — die Grundlage der C-14-Methode.
Der Unterschied liegt allein im Kern: \({}^{14}\mathrm{C}\) hat zwei Neutronen mehr, ist also etwas schwerer und — wegen des Neutronenüberschusses — instabil. Physikalisch sind die beiden Nuklide daher sehr wohl unterscheidbar: über ihre Masse (Massenspektrometer) oder über die \(\beta^-\)-Strahlung des \({}^{14}\mathrm{C}\).
Wie viele Kerne stecken in einem Milligramm?
AFB IIIBei der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl wurde unter anderem \({}^{90}_{38}\mathrm{Sr}\) freigesetzt. In einem Forschungslabor liegt eine Probe von \(1{,}0\ \mathrm{mg}\) reinem \({}^{90}\mathrm{Sr}\) vor. Rechnen Sie mit \(u=1{,}6605\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\) und \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\).
- Berechnen Sie mithilfe der Näherung \(m_{\text{Kern}}\approx A\cdot u\) die Anzahl der \({}^{90}\mathrm{Sr}\)-Kerne in der Probe.
- Berechnen Sie die Gesamtladung aller Kerne der Probe und erklären Sie, warum die Probe im Labor trotzdem elektrisch neutral ist.
- Eine Schülerin liest, dass ein Proton die Masse \(1{,}00728\ u\) und ein Neutron die Masse \(1{,}00866\ u\) besitzt, und schließt daraus: „Die Formel \(m\approx A\cdot u\) ist falsch, denn ein Kern aus 90 Nukleonen wiegt mehr als \(90\ u\).“ Beurteilen Sie diese Aussage und bewerten Sie, ob die Näherung in a) zulässig war.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m_{\text{Probe}}=1{,}0\ \mathrm{mg}=1{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{kg}\).
Masse eines Kerns: \(m_{\text{Kern}}\approx 90\cdot 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}=1{,}494\cdot10^{-25}\ \mathrm{kg}\).
\(N=\dfrac{m_{\text{Probe}}}{m_{\text{Kern}}}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{kg}}{1{,}494\cdot10^{-25}\ \mathrm{kg}}\approx 6{,}7\cdot10^{18}\) Kerne.
Schon ein einziges Milligramm enthält also rund sieben Trillionen Kerne — deshalb ist der statistische Charakter des Zerfallsgesetzes in der Praxis nie störend.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ladung eines Kerns: \(Q_1=Z\cdot e=38\cdot 1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}=6{,}09\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\).
\(Q_{\text{ges}}=N\cdot Q_1=6{,}7\cdot10^{18}\cdot 6{,}09\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\approx 41\ \mathrm{C}\).
Das ist eine gewaltige Ladung — zum Vergleich: Bei einem Blitz fließen typischerweise einige Coulomb. Die Probe ist trotzdem neutral, weil jeder Kern von genau \(Z=38\) Hüllenelektronen umgeben ist. Deren Gesamtladung beträgt \(-41\ \mathrm{C}\) und hebt die Kernladung exakt auf. Nach außen wirkt die Probe deshalb ungeladen — messbar wird die Kernladung erst, wenn man Kerne und Elektronen trennt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Rechnung der Schülerin ist zuzustimmen, ihrer Schlussfolgerung nicht.
Zur Rechnung: \({}^{90}\mathrm{Sr}\) besteht aus 38 Protonen und 52 Neutronen. Die Summe der Einzelmassen beträgt \(38\cdot 1{,}00728\ u + 52\cdot 1{,}00866\ u = 38{,}277\ u + 52{,}450\ u = 90{,}73\ u\) — tatsächlich mehr als \(90\ u\), also rund 0,8 % Abweichung.
Zur Schlussfolgerung: Der Kern wiegt aber gerade nicht so viel wie die Summe seiner Bausteine. Wegen des Massendefekts ist er stets etwas leichter; die im Kern steckende Bindungsenergie fehlt nach \(E=mc^2\) als Masse. Der reale Wert liegt bei etwa \(89{,}9\ u\) und damit sehr nahe an \(A\cdot u\). Die beiden Effekte — Nukleonen etwas schwerer als \(u\), Massendefekt — wirken gegeneinander und heben sich weitgehend auf. Genau deshalb ist \(m\approx A\cdot u\) eine so brauchbare Näherung.
Bewertung der Näherung in a): Selbst wenn man die volle Abweichung von 0,8 % ansetzte, änderte sich die Kernzahl von \(6{,}7\cdot10^{18}\) nur in der zweiten Ziffer. Für eine Angabe mit zwei signifikanten Stellen ist die Näherung also zulässig; die Aussage „\(m=A\cdot u\) gilt exakt“ wäre dagegen falsch — die Massenzahl \(A\) ist eine Anzahl, keine Masse.