Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Exponentialfunktion des Zerfalls — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Gerade oder Kurve?AFB I
Kreuzen Sie an, welche Merkmale zur linearen und welche zur exponentiellen Abnahme gehören.
Klicke jede Zelle an, die zutrifft. Leer lassen heißt „trifft nicht zu“.
| Abnahmeart | gleiche Differenz je Zeitschritt | gleicher Faktor je Zeitschritt | erreicht die Null nach endlicher Zeit | wird halblogarithmisch zur Geraden |
|---|---|---|---|---|
| lineare Abnahme | ||||
| exponentielle Abnahme (Zerfall) |
Die ganze Unterscheidung hängt an einem Wort: abziehen oder multiplizieren. Zieht man in jedem Zeitschritt dieselbe Zahl ab, entsteht eine Gerade, die irgendwann die Null trifft. Multipliziert man dagegen in jedem Schritt mit ½, bleibt immer ein Rest — die Kurve nähert sich der Zeitachse nur an. Prüfe bei einer Wertetabelle also nie die Differenzen, sondern immer die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.
2Den Graphen in Worte fassenAFB I
Vervollständigen Sie die Anleitung zum Ablesen einer Zerfallskurve.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Dort, wo die Kurve die N-Achse schneidet, also bei t = 0, steht der . Sucht man auf der N-Achse den halben Anfangswert, geht waagerecht bis zur Kurve und von dort senkrecht nach unten, so liest man auf der t-Achse die ab. In jedem weiteren Zeitschritt dieser Länge wird der Bestand mit dem Faktor multipliziert — er sinkt also nicht um einen . Genau deshalb wird die Kurve immer und nähert sich der t-Achse als , ohne sie je zu erreichen.
Die Anleitung besteht aus zwei Bewegungen: waagerecht zur Kurve, dann senkrecht nach unten. Wer das umdreht, landet bei einem Zeitwert, der nichts bedeutet. Und die letzte Lücke ist die inhaltlich wichtigste: Weil immer nur die Hälfte des Restes verschwindet, wird der Rest kleiner und kleiner, aber nie null.
3Was klickst du wo an?AFB I
Bestimmen Sie für jede Ablesefrage das passende Element des Graphen.
Es erscheint eine Frage. Klicke das Element im Schema an, das dazu passt — dann kommt die nächste Frage.
Jede Graphenauswertung folgt derselben Reihenfolge: erst N₀ am Schnittpunkt mit der N-Achse, dann die Marke bei N₀/2, dann waagerecht zur Kurve und senkrecht hinunter zum Fußpunkt — dort steht T½. Der weit rechts liegende Kurvenast ist kein Nebendetail, sondern die Kernaussage des Modells: Er nähert sich der t-Achse beliebig dicht an, berührt sie aber nie.
4Wie viele sind zerfallen?AFB II
Eine Probe enthält zu Beginn \(N_0=1600\) Kerne. Betrachtet werden die ersten vier Halbwertszeiten.
Stellen Sie die Gesamtzahl der bis dahin zerfallenen Kerne aus den Beiträgen der einzelnen Halbwertszeiten zusammen.Jede Zelle steht für die Zahl der Kerne, die in einer bestimmten Halbwertszeit zerfällt. Schalte genau die Zellen auf 1, deren Summe das Ziel ergibt.
0
Ziel: 1500 Kerne
In der ersten Halbwertszeit zerfällt die Hälfte von 1600, also 800 Kerne. In der zweiten aber nur noch die Hälfte des Restes: 400. Danach 200 und 100 — zusammen 1500 zerfallene Kerne, 100 sind übrig. Der typische Fehler ist 4 · 800: Wer den Beitrag der ersten Halbwertszeit einfach vervierfacht, käme auf 3200 und damit auf doppelt so viele Kerne, wie überhaupt vorhanden waren.
5Aus dem Graphen zur ZerfallskonstanteAFB II
Aus einer Zerfallskurve liest man ab: Bei \(t=0\) ist \(N_0=600\), bei \(t=12\,\mathrm d\) ist \(N=150\).
Werten Sie die Ablesung Schritt für Schritt bis zur Zerfallskonstante \(\lambda\) aus.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Welcher Anteil des Anfangsbestands ist bei t = 12 d noch da? (N ÷ N₀)
- Wie vielen Halbwertszeiten entspricht dieser Anteil?T½
- Wie lang ist damit eine Halbwertszeit? (12 d ÷ n)d
- Wie groß ist λ = ln2 ÷ T½?1/d
Der Weg führt bewusst über den Anteil und nicht über die Differenz 600 − 150 = 450. Ein Viertel bedeutet zwei Halbierungen, also zwei Halbwertszeiten in 12 Tagen und damit T½ = 6 d. Erst ganz zum Schluss kommt λ ins Spiel: Es ist kein neuer Messwert, sondern nur eine andere Schreibweise derselben Information, denn λ = ln2/T½ ≈ 0,693/6 d ≈ 0,116 d−1.
6Die Geradengleichung bauenAFB II
Setzen Sie aus den Bausteinen die logarithmierte Form von \(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}\) zusammen.
Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an. Ein Klick auf einen gesetzten Baustein legt ihn zurück.
Logarithmieren macht aus dem Produkt eine Summe: Aus dem Faktor e−λt wird der Summand −λ·t. Damit liegt genau die Geradenform y = b + m·t vor, mit dem Achsenabschnitt b = ln N₀ und der Steigung m = −λ. Das Minuszeichen ist kein Schönheitsfehler, sondern die eigentliche Aussage: Die Gerade fällt, und ihre Steilheit ist die Zerfallskonstante.
7Fünf Geraden, fünf HalbwertszeitenAFB II
Ordnen Sie die halblogarithmisch aufgetragenen Geraden nach steigender Halbwertszeit (kürzeste oben).
Verschiebe die Zeilen mit den Pfeiltasten oder den Schaltflächen, bis die Reihenfolge stimmt.
1Gerade A — Steigung −0,69 pro Tag
2Gerade B — Steigung −0,23 pro Tag
3Gerade C — Steigung −0,069 pro Tag
4Gerade D — Steigung −0,0087 pro Tag
5Gerade E — Steigung −0,0023 pro Tag
Der Betrag der Steigung ist die Zerfallskonstante: |m| = λ. Wegen T½ = ln2/λ gehört zur steilsten Geraden die kürzeste Halbwertszeit — hier rund 1 d bei A gegenüber rund 300 d bei E. Der häufigste Denkfehler ist die umgekehrte Zuordnung („steil = lange haltbar“). Merke dir den Zusammenhang lieber als Kehrwert: Zehnmal flacher heißt zehnmal langlebiger.
8Zwischen zwei HalbwertszeitenAFB II
Betrachtet wird der Zeitpunkt \(t=3{,}5\,T_{1/2}\).
Schätzen Sie, wie viel Prozent des Anfangsbestands dann noch vorhanden sind.9Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler entstehen aus derselben Gewohnheit: Man denkt in Differenzen statt in Faktoren. Wer additiv denkt, erwartet ein Ende der Kurve, konstante Abnahmebeträge und „steil = lange“. Rechne bei jeder Zerfallsaufgabe deshalb zuerst den Quotienten N/N₀ aus — er zeigt sofort, wie viele Halbierungen stattgefunden haben, und lässt die additive Falle gar nicht erst zu.
10Halbwertszeit aus der SteigungAFB III
In halblogarithmischer Auftragung fällt die Messgerade von \(\ln N=13{,}0\) bei \(t=0\) auf \(\ln N=9{,}0\) bei \(t=20\,\mathrm a\).
Bestimmen Sie daraus die Halbwertszeit \(T_{1/2}\).Bestimme zuerst die Steigung, daraus λ, daraus T½. Trage nur die Zahl in Jahren ein (Dezimaltrennzeichen egal).
Die Steigung ist m = (9,0 − 13,0)/20 a = −0,20 a−1, also λ = 0,20 a−1. Daraus folgt T½ = ln2/λ = 0,693/0,20 ≈ 3,5 a. Zwei Stolpersteine lauern hier: Das Minuszeichen gehört zur Steigung, nicht zu λ — eine negative Zerfallskonstante gibt es nicht. Und der Faktor ln2 darf nicht entfallen: Der bloße Kehrwert 1/λ = 5,0 a ist die mittlere Lebensdauer, nicht die Halbwertszeit.