Erklärung — Kurve lesen und linearisieren
Die Form der Zerfallskurve
Eine Exponentialfunktion mit Basis \(\tfrac12\) hat eine ganz charakteristische Gestalt. Drei Merkmale machen sie aus:
- Immer fallend, immer flacher:Am Anfang sinkt \(N\) schnell, dann immer langsamer — weil jeweils nur noch die Hälfte des immer kleineren Bestands wegfällt.
- Gleicher Faktor in gleichen Schritten:Zu jedem festen Zeitschritt \(T_{1/2}\) gehört Multiplikation mit \(\tfrac12\) — nicht das Abziehen einer festen Zahl. \(600\to300\to150\to75\).
- Asymptote:Die Kurve nähert sich der Zeitachse an, erreicht sie aber im Modell nie. \(N\) wird immer kleiner, aber nie exakt null.
\(N_0\) und \(T_{1/2}\) aus dem Graphen ablesen
Der Graph verrät die beiden wichtigsten Größen direkt — ganz ohne Formel:
- \(N_0\) ablesen:Dort, wo die Kurve die \(N\)-Achse schneidet (bei \(t=0\)), steht der Anfangswert \(N_0\).
- \(T_{1/2}\) ablesen:Suche auf der \(N\)-Achse den halben Anfangswert \(N_0/2\), gehe waagerecht bis zur Kurve und von dort senkrecht nach unten — die abgelesene Zeit ist die Halbwertszeit \(T_{1/2}\).
Anfangswert \(N_0\) und Halbwertszeit \(T_{1/2}\) bestimmen die Zerfallskurve; der Ablesepunkt zeigt \(N(t)\) an der gewählten Zeit. In der halblogarithmischen Darstellung wird aus derselben Kurve eine Gerade.
Lineare Achsen: Die Kurve fällt immer flacher — nach jeder Halbwertszeit halbiert sich N. Sie nähert sich der t-Achse, erreicht sie aber nie.
| Ablesung N(t) | – |
| Halbwertszeiten n = t/T | – |
| Rest (½)^n | – |
| Zerfallskonstante λ = ln2/T | – |
\(N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\qquad\Longrightarrow\qquad N\big(t+T_{1/2}\big)=\dfrac{1}{2}\,N(t)\)
Links die Funktion selbst: \(N_0\) legt den Startwert fest, \(T_{1/2}\) die Geschwindigkeit des Abfalls. Rechts die entscheidende Eigenschaft: Ein Zeitschritt um eine Halbwertszeit bedeutet immer Multiplikation mit \(\tfrac12\) — egal, an welcher Stelle der Kurve man startet. Genau das macht die Abnahme exponentiell und nicht linear.
Halblogarithmische Darstellung — aus der Kurve wird eine Gerade
Schreibt man das Zerfallsgesetz mit der \(e\)-Funktion, \(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}\) mit \(\lambda=\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\), und logarithmiert beide Seiten, so wird aus dem Produkt eine Summe:
\(\ln N = \ln N_0 - \lambda\,t\)
Das ist die Gleichung einer Geraden der Form \(y = b + m\cdot t\): Trägt man \(\ln N\) (oder \(N\) auf einer logarithmischen Achse) gegen \(t\) auf, erhält man eine fallende Gerade. Ihr Achsenabschnitt ist \(\ln N_0\), ihre Steigung ist \(m=-\lambda=-\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\). Je steiler die Gerade fällt, desto kürzer ist die Halbwertszeit.
So liest du \(T_{1/2}\) aus dem Graphen ab
Nur der Graph ist gegeben — keine Zahlenwerte. Stelle im Applet \(N_0=800\), \(T_{1/2}=5\,\mathrm{d}\) ein und prüfe jeden Schritt.
So wird aus der Kurve eine Gerade
Die halblogarithmische Darstellung ist der Trick, mit dem man \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) besonders leicht bestimmt.
Allgemeine Hinweise
\(N_0\) steht bei t = 0
Der Schnittpunkt der Kurve mit der \(N\)-Achse ist immer der Anfangswert \(N_0\). Von dort startest du jede Ablesung.
Halbieren, nicht abziehen
Prüfe bei jeder Kurve: Geht \(N\) in gleichen Zeitschritten auf die Hälfte (×\(\tfrac12\))? Dann ist sie exponentiell. Konstante Differenzen ergäben eine Gerade.
Gerade heißt exponentiell
Wird eine Messkurve in halblogarithmischer Auftragung zur Geraden, ist der Vorgang exponentiell. Die Steigung \(-\lambda\) liefert direkt die Halbwertszeit.
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