Elektronen in der Röntgenröhre
AFB IIn einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer geheizten Kathode freigesetzt und im Vakuum zur Anode hin beschleunigt (Material M1). Zwischen Kathode und Anode liegt die Spannung \(U = 60\,\mathrm{kV}\). Beim Auftreffen auf die Anode entsteht Röntgenstrahlung. Ein Elektron trägt die Ladung \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
Die Elektronen durchlaufen zwischen Kathode und Anode die volle Spannung von 60 kV. Die dabei aufgenommene Energie geben sie beim Aufprall auf die Anode wieder ab — größtenteils als Wärme, zu einem kleinen Teil als Röntgenstrahlung.
- Geben Sie die Definitionsgleichung der elektrischen Spannung an und benennen Sie alle darin auftretenden Größen mit ihren Einheiten.
- Berechnen Sie die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen der Spannung aufnimmt, in Joule und in Elektronenvolt.
- Begründen Sie, dass sich die Energie eines Elektrons in Elektronenvolt ohne Rechnung direkt an der Spannung ablesen lässt.
- Im Betrieb fließt in der Röhre die Stromstärke \(I = 10\,\mathrm{mA}\). Berechnen Sie die Energie, die alle Elektronen zusammen in einer Sekunde auf die Anode übertragen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\displaystyle U=\frac{W}{q}\). Dabei ist \(U\) die elektrische Spannung mit der Einheit Volt (V), \(W\) die beim Verschieben der Ladung umgesetzte Energie in Joule (J) und \(q\) die verschobene Ladung in Coulomb (C). Es gilt \(1\,\mathrm V=1\,\mathrm{\frac{J}{C}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umrechnung: \(U=6{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm V\). Ansatz: \(W=e\cdot U=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 6{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm V\). Ergebnis: \(W=9{,}6\cdot 10^{-15}\,\mathrm J\). In Elektronenvolt: \(\displaystyle W=\frac{9{,}6\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm{\frac{J}{eV}}}=6{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{eV}=60\,\mathrm{keV}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein Elektronenvolt ist als die Energie festgelegt, die ein Teilchen mit der Elementarladung \(e\) beim Durchlaufen der Spannung \(1\,\mathrm V\) aufnimmt: \(1\,\mathrm{eV}=e\cdot 1\,\mathrm V\). Für das Elektron gilt \(W=e\cdot U\). Teilt man beide Seiten durch \(e\cdot 1\,\mathrm V\), bleibt \(\frac{W}{1\,\mathrm{eV}}=\frac{U}{1\,\mathrm V}\): Der Zahlenwert der Energie in eV ist gleich dem Zahlenwert der Spannung in V. Bei 60 kV sind das 60 keV — ohne Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ladung in einer Sekunde: \(Q=I\cdot t=0{,}010\,\mathrm A\cdot 1\,\mathrm s=0{,}010\,\mathrm C\). Energie: \(W=Q\cdot U=0{,}010\,\mathrm C\cdot 6{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm V=600\,\mathrm J\). Jede Sekunde treffen also 600 J auf die Anode — der weitaus größte Teil davon wird zu Wärme, weshalb Röntgenröhren aufwendig gekühlt werden müssen.
Energie eines E-Bike-Akkus
AFB IIDer Akku eines E-Bikes (Material M1) trägt auf seinem Typenschild die Angaben aus Material M2. Die „Kapazität“ ist dort in der Einheit Amperestunde (Ah) angegeben: 1 Ah ist die Ladung, die bei einer Stromstärke von 1 A in einer Stunde fließt. Vereinfachend wird angenommen, dass die Spannung des Akkus während der gesamten Entladung konstant 36 V beträgt.
Im Fachhandel wird ein zweiter Akku B angeboten, der mit einer Nennspannung von \(48\,\mathrm V\) und einer Kapazität von \(7{,}5\,\mathrm{Ah}\) beworben wird.
Beim Fahren fließt Ladung vom Akku durch den Motor zurück zum Akku. Jedes Coulomb, das den Motor durchläuft, setzt dabei die Energie um, die der Spannung entspricht.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Nennspannung | 36 V |
| Kapazität | 10 Ah |
| gespeicherte Energie | 360 Wh |
| Masse | 2,8 kg |
Wattstunde (Wh) ist eine Energieeinheit: 1 Wh ist die Energie, die bei einer Leistung von 1 W in einer Stunde umgesetzt wird — also \(1\,\mathrm{Wh}=1\,\mathrm{W}\cdot 3600\,\mathrm{s}=3600\,\mathrm J\).
- Erläutern Sie, dass die Angabe „10 Ah“ eine elektrische Ladung beschreibt, und berechnen Sie diese Ladung in Coulomb.
- Berechnen Sie die im Akku A gespeicherte Energie in Joule und zeigen Sie, dass das Ergebnis mit der Angabe „360 Wh“ auf dem Typenschild übereinstimmt.
- Der Motor könnte diese Energie im Idealfall vollständig in Höhenenergie umsetzen. Berechnen Sie, um welche Höhe ein Radfahrer samt E-Bike (Gesamtmasse \(m=100\,\mathrm{kg}\)) damit angehoben werden könnte, und begründen Sie, warum die tatsächlich erreichbare Höhe kleiner ist. Rechnen Sie mit \(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).
- Ein Kunde meint, der Akku B speichere wegen der höheren Spannung mehr Energie als Akku A. Entscheiden Sie rechnerisch, ob er recht hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Eine Amperestunde ist das Produkt aus Stromstärke und Zeit: \(1\,\mathrm{Ah}=1\,\mathrm A\cdot 1\,\mathrm h\). Nach \(Q=I\cdot t\) ist ein solches Produkt eine Ladung; die Einheit Amperesekunde ist genau das Coulomb (\(1\,\mathrm C=1\,\mathrm{A\,s}\)). Rechnung: \(Q=10\,\mathrm A\cdot 3600\,\mathrm s=3{,}6\cdot 10^{4}\,\mathrm C\). Der Akku kann also 36 000 C durch den Motor treiben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(W=Q\cdot U=3{,}6\cdot 10^{4}\,\mathrm C\cdot 36\,\mathrm V\). Ergebnis: \(W=1{,}296\cdot 10^{6}\,\mathrm J\approx 1{,}3\,\mathrm{MJ}\). Vergleich mit dem Typenschild: \(360\,\mathrm{Wh}=360\cdot 3600\,\mathrm J=1{,}296\cdot 10^{6}\,\mathrm J\) — beide Werte stimmen exakt überein. Die Wattstunden-Angabe ist also nichts anderes als \(U\cdot Q\) in der Einheit \(\mathrm{V\cdot Ah}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(W=m\cdot g\cdot h\), also \(\displaystyle h=\frac{W}{m\cdot g}=\frac{1{,}296\cdot 10^{6}\,\mathrm J}{100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}}\approx 1{,}3\cdot 10^{3}\,\mathrm m\). Idealisiert könnte der Akku Fahrer und Rad rund 1,3 km hoch heben.
Begründung: Die Energie des Akkus wird nicht vollständig zu Höhenenergie. Im Motor, in den Leitungen und in der Steuerung wird ein Teil der Energie durch den Stromfluss in Wärme umgesetzt; beim Fahren gehen weitere Anteile durch Rollreibung und Luftwiderstand als Wärme an die Umgebung. Die real gewinnbare Höhe ist deshalb deutlich kleiner.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Akku B: Ladung \(Q_\text{B}=7{,}5\,\mathrm A\cdot 3600\,\mathrm s=2{,}7\cdot 10^{4}\,\mathrm C\); Energie \(W_\text{B}=Q_\text{B}\cdot U_\text{B}=2{,}7\cdot 10^{4}\,\mathrm C\cdot 48\,\mathrm V=1{,}296\cdot 10^{6}\,\mathrm J\). Das ist exakt dieselbe Energie wie bei Akku A (ebenfalls 360 Wh). Der Kunde hat nicht recht: Die höhere Spannung wird durch die kleinere Ladung genau ausgeglichen, denn in \(W=Q\cdot U\) zählt nur das Produkt beider Größen. Ein Akku mit höherer Spannung speichert nur dann mehr Energie, wenn seine Ladung nicht entsprechend kleiner ist.
Spannung aus einer Energiemessung
AFB IIIn einem Schülerlabor soll die Spannung eines Netzgeräts bestimmt werden, dessen Anzeige defekt ist. Dazu wird eine Heizspirale in ein Gefäß mit Wasser getaucht und an das Netzgerät angeschlossen (Material M1). Aus Stromstärke und Messzeit wird die geflossene Ladung \(Q=I\cdot t\) bestimmt; aus der Erwärmung des Wassers ergibt sich die umgesetzte Energie \(W\). Die Messwerte sind in Material M2 zusammengestellt.
Die Spannung des Netzgeräts bleibt während des Versuchs konstant. Vom Netzgerät fließt Ladung durch die Heizspirale; die dort umgesetzte Energie erwärmt das Wasser.
| Messung | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(Q\) in C | 50 | 100 | 150 | 200 |
| \(W\) in J | 605 | 1190 | 1820 | 2380 |
Die Energie wurde aus Masse, Temperaturerhöhung und spezifischer Wärmekapazität des Wassers berechnet; Messunsicherheiten sind bereits enthalten.
- Begründen Sie mithilfe der Definition der Spannung, welcher Zusammenhang zwischen \(W\) und \(Q\) bei konstanter Spannung zu erwarten ist.
- Werten Sie die Messreihe aus Material M2 aus und ermitteln Sie daraus die Spannung des Netzgeräts.
- Mit diesem Netzgerät soll dem Wasser die Energie \(W=10\,\mathrm{kJ}\) zugeführt werden; das Strommessgerät zeigt dabei konstant \(I=1{,}5\,\mathrm A\). Berechnen Sie die dafür nötige Messzeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus der Definition \(U=\frac{W}{Q}\) folgt \(W=U\cdot Q\). Bei konstanter Spannung ist \(U\) ein fester Faktor, die Energie ist also proportional zur geflossenen Ladung: doppelte Ladung, doppelte Energie. Im \(Q\)-\(W\)-Diagramm liegen die Messpunkte auf einer Ursprungsgeraden, deren Steigung gleich der Spannung \(U\) ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Quotienten \(\frac{W}{Q}\): \(\frac{605}{50}=12{,}1\,\mathrm{\frac{J}{C}}\), \(\frac{1190}{100}=11{,}9\,\mathrm{\frac{J}{C}}\), \(\frac{1820}{150}\approx 12{,}1\,\mathrm{\frac{J}{C}}\), \(\frac{2380}{200}=11{,}9\,\mathrm{\frac{J}{C}}\). Die Quotienten sind im Rahmen der Messgenauigkeit konstant (Abweichung etwa 1 %) — die Erwartung aus a) wird bestätigt.
Mittelwert: \(U\approx 12{,}0\,\mathrm{\frac{J}{C}}=12{,}0\,\mathrm V\). Gleichwertig: Die Ausgleichsgerade durch den Ursprung hat die Steigung \(\approx 12\,\mathrm{\frac{J}{C}}\). Das Netzgerät liefert eine Spannung von rund 12 V.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nötige Ladung: \(\displaystyle Q=\frac{W}{U}=\frac{1{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm J}{12\,\mathrm V}\approx 833\,\mathrm C\). Messzeit: \(\displaystyle t=\frac{Q}{I}=\frac{833\,\mathrm C}{1{,}5\,\mathrm A}\approx 556\,\mathrm s\approx 9{,}3\,\mathrm{min}\). Nach gut neun Minuten sind 10 kJ zugeführt.
Elektron und Helium-Ion im Beschleuniger
AFB IIIn einer Beschleunigungsstrecke liegt zwischen zwei parallelen Platten die Spannung \(U = 2{,}5\,\mathrm{kV}\) (Material M1). Durch Öffnungen in den Platten treten zwei verschiedene Teilchen ein: ein Elektron (Ladung \(-e\), Masse \(m_\text{e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\)) und ein zweifach positiv geladenes Helium-Ion \(\mathrm{He^{2+}}\) (Ladung \(+2e\), Masse \(m_\text{He}=6{,}6\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\)). Beide starten aus der Ruhe und durchlaufen die gesamte Spannung. Es gilt \(e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
Beide Teilchen durchlaufen dieselbe Spannung, aber in entgegengesetzter Richtung. Wo genau sie starten müssen, ergibt sich aus der Feldrichtung.
- Begründen Sie anhand von Material M1, dass das Elektron an Platte 1 und das Helium-Ion an Platte 2 starten muss, damit beide beschleunigt werden.
- Berechnen Sie für beide Teilchen die aufgenommene Energie in Joule und in Elektronenvolt.
- Erläutern Sie, warum die Energie des Helium-Ions in Elektronenvolt nicht mit dem Zahlenwert der Spannung übereinstimmt, obwohl das für das Elektron gilt.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der das Elektron die Platte 2 erreicht, und begründen Sie ohne Rechnung, dass das Helium-Ion trotz seiner größeren Energie deutlich langsamer ankommt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In M1 verlaufen die Feldlinien von der positiven Platte 2 zur negativen Platte 1; die Feldrichtung zeigt also nach links. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Ladung festgelegt: Auf das positive Helium-Ion wirkt die Kraft nach links, es muss daher an Platte 2 starten und bewegt sich zu Platte 1. Auf das negative Elektron wirkt die Kraft entgegen der Feldrichtung, also nach rechts; es muss an Platte 1 starten und bewegt sich zu Platte 2. In beiden Fällen bewegt sich das Teilchen in Richtung der Kraft, das Feld verrichtet Arbeit an ihm und es wird beschleunigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Elektron: \(W_\text{e}=e\cdot U=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm V=4{,}0\cdot 10^{-16}\,\mathrm J\); in Elektronenvolt: \(W_\text{e}=2{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{eV}=2{,}5\,\mathrm{keV}\). Helium-Ion: \(q=2e=3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\), also \(W_\text{He}=3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm V=8{,}0\cdot 10^{-16}\,\mathrm J\); in Elektronenvolt: \(W_\text{He}=5{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{eV}=5{,}0\,\mathrm{keV}\). Das Ion nimmt wegen seiner doppelten Ladung die doppelte Energie auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Allgemein gilt \(W=n\cdot e\cdot U\), wenn \(n\) die Ladungszahl ist. Da \(1\,\mathrm{eV}=e\cdot 1\,\mathrm V\), ergibt die Umrechnung \(\frac{W}{1\,\mathrm{eV}}=n\cdot\frac{U}{1\,\mathrm V}\): Der Zahlenwert der Energie in eV ist das \(n\)-fache des Zahlenwerts der Spannung in V. Nur für einfach geladene Teilchen (\(n=1\), wie beim Elektron) fallen beide Zahlenwerte zusammen. Beim Helium-Ion ist \(n=2\), deshalb 5000 eV statt 2500 eV — die Angabe „eV“ zählt Energie, nicht Spannung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Energieerhaltung: \(\frac12 m_\text{e} v^2=W_\text{e}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,W_\text{e}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{-16}\,\mathrm J}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}\approx 3{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Das Elektron erreicht rund 30 000 km/s, etwa ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit.
Begründung für das Helium-Ion: Nach \(v=\sqrt{\frac{2W}{m}}\) wächst die Geschwindigkeit mit der Energie, sinkt aber mit der Masse. Das Ion hat zwar die doppelte Energie, aber eine rund 7000-mal größere Masse als das Elektron. Der Faktor \(\frac{2}{7000}\) unter der Wurzel macht seine Geschwindigkeit etwa \(\sqrt{3500}\approx 60\)-mal kleiner — das Ion kommt mit nur rund \(5\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) an.
Zwei Aussagen über die Spannung
AFB IIIIn einer Lerngruppe wird über die Bedeutung der Spannung \(U=\frac{W}{q}\) diskutiert. Zwei Schüler äußern die in Material M1 wiedergegebenen Aussagen. Zur Einordnung: Eine handelsübliche 9-V-Blockbatterie kann etwa \(Q=1800\,\mathrm C\) Ladung abgeben; Hochspannungsleitungen führen gegenüber dem Erdboden Spannungen von \(110\,\mathrm{kV}\) und mehr.
Beide Aussagen stützen sich auf die Einheit Volt — und ziehen daraus jeweils einen falschen Schluss.
- Beurteilen Sie beide Aussagen aus Material M1 physikalisch.
- Erklären Sie mithilfe der Definitionsgleichung, was die Angabe „1,5 V“ auf einer Batterie über die Energieumsetzung in einem angeschlossenen Gerät aussagt.
- Eine Mitschülerin schlägt vor, auf Batterien künftig statt der Spannung die gespeicherte Energie in Joule aufzudrucken — „das ist doch die Größe, die wirklich zählt“. Diskutieren Sie diesen Vorschlag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aussage 1 ist falsch. Die Angabe 9 V bedeutet nach \(U=\frac{W}{q}\): Jedes Coulomb, das die Batterie durchläuft, setzt 9 J um — \(1\,\mathrm V=1\,\mathrm{\frac{J}{C}}\). Die gespeicherte Energie ergibt sich erst aus \(W=Q\cdot U\) mit der Ladung, die die Batterie insgesamt liefern kann: \(W=1800\,\mathrm C\cdot 9\,\mathrm V\approx 1{,}6\cdot 10^{4}\,\mathrm J\). Die Spannung allein sagt nichts über die gespeicherte Energie; eine große und eine kleine 9-V-Batterie haben dieselbe Spannung, aber verschieden viel Energie.
Aussage 2 ist falsch. Eine Spannung bezieht sich immer auf zwei Punkte. Die 110 kV liegen zwischen der Leitung und dem Erdboden. Der Vogel berührt aber mit beiden Füßen denselben Leiter; zwischen seinen Füßen liegt praktisch keine Spannung (nur der winzige Anteil, der längs des Leiters abfällt). Nach \(W=q\cdot U\) wird an der Ladung, die durch den Vogel fließen könnte, deshalb so gut wie keine Energie umgesetzt. Gefährlich wird es erst, wenn ein Tier gleichzeitig Leitung und Mast oder zwei Leitungen berührt — dann liegt die volle Spannung an seinem Körper.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nach \(U=\frac{W}{q}\) gibt die Spannung die Energie pro Ladung an. „1,5 V“ heißt: Jedes Coulomb Ladung, das von einem Pol durch das Gerät zum anderen Pol fließt, setzt im Gerät die Energie \(W=q\cdot U=1\,\mathrm C\cdot 1{,}5\,\mathrm V=1{,}5\,\mathrm J\) um — zwei Coulomb 3 J, allgemein \(W=Q\cdot 1{,}5\,\mathrm V\). Die Angabe legt also fest, wie viel Energie das Gerät je durchgesetzter Ladung erhält, unabhängig davon, wie lange die Batterie durchhält.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für den Vorschlag spricht: Die Energie ist tatsächlich die Größe, die bestimmt, wie lange ein Gerät betrieben werden kann; bei Akkus ist sie in Wattstunden ohnehin schon aufgedruckt und für Käufer gut vergleichbar. Dagegen spricht: Ein Gerät ist für eine bestimmte Spannung gebaut — eine 1,5-V-Zelle und ein 9-V-Block können ähnlich viel Energie enthalten und sind trotzdem nicht austauschbar; ohne Spannungsangabe wäre nicht erkennbar, ob die Batterie überhaupt passt oder das Gerät beschädigt. Außerdem hängt die Energie von Spannung und Ladung ab (\(W=Q\cdot U\)); aus der Energie allein lässt sich keine der beiden Größen zurückgewinnen, aus Spannung und Kapazität dagegen die Energie. Fazit: Die Spannung darf nicht ersetzt, höchstens ergänzt werden — sinnvoll ist die Kombination aus Spannung und gespeicherter Ladung bzw. Energie, wie sie bei Akkus üblich ist.