Die Elektronenquelle einer Röntgenröhre
AFB IIIn einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer Glühkathode gelöst und anschließend zur Anode hin beschleunigt. Der Heizkreis der Kathode und der Beschleunigungskreis sind voneinander unabhängig einstellbar. Für die folgenden Teilaufgaben gilt die Beschleunigungsspannung \(U_\text{B}=4{,}0\,\mathrm{kV}\); durch die Röhre fließt dabei der Strom \(I=1{,}6\,\mathrm{mA}\).
Rechnen Sie mit \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\). Die Gewichtskraft der Elektronen und ihre Austrittsgeschwindigkeit werden vernachlässigt.
- Erklären Sie, warum aus einem stark erhitzten Metall Elektronen austreten, aus demselben Metall bei Zimmertemperatur dagegen nicht.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen auf die Anode treffen, sowie die Anzahl der Elektronen, die dabei je Sekunde die Röhre durchqueren.
- Begründen Sie, warum die Stromstärke bei weiter steigender Beschleunigungsspannung nicht beliebig zunimmt, und beurteilen Sie die Aussage: „Um den Röhrenstrom zu verdoppeln, muss man die Beschleunigungsspannung verdoppeln.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Elektronen im Metall sind zwar frei beweglich, werden an der Oberfläche aber von den positiven Atomrümpfen zurückgehalten. Um auszutreten, muss ein Elektron mindestens die materialabhängige Austrittsarbeit \(W_\text{A}\) (Größenordnung einige Elektronenvolt) aufbringen. Bei Zimmertemperatur ist die mittlere thermische Energie der Elektronen um Größenordnungen kleiner, sodass praktisch kein Elektron austritt. Beim starken Erhitzen wächst die ungeordnete Wärmebewegung so stark an, dass ein Teil der Elektronen eine Energie oberhalb von \(W_\text{A}\) besitzt und die Oberfläche verlässt — der glühelektrische Effekt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Geschwindigkeit: Aus \(e\,U_\text{B}=\tfrac12 m v^{2}\) folgt \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\cdot4000\,\mathrm V}{9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=3{,}8\cdot10^{7}\,\mathrm{\frac ms}\) (rund 13 % der Lichtgeschwindigkeit; eine relativistische Rechnung ist hier noch nicht nötig).
Anzahl: In einer Sekunde fließt die Ladung \(Q=I\,t=1{,}6\cdot10^{-3}\,\mathrm A\cdot1\,\mathrm s=1{,}6\cdot10^{-3}\,\mathrm C\). Mit der Elementarladung folgt \(\displaystyle N=\frac{Q}{e}=\frac{1{,}6\cdot10^{-3}\,\mathrm C}{1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C}=1{,}0\cdot10^{16}\) Elektronen je Sekunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Beschleunigungsspannung saugt die vor der Kathode stehende Raumladungswolke ab. Ist die Spannung so groß, dass alle aus der Kathode austretenden Elektronen sofort zur Anode gelangen, kann eine weitere Erhöhung die Stromstärke nicht mehr steigern: Es fließt der Sättigungsstrom. Die Zahl der je Sekunde verfügbaren Elektronen wird allein von der Temperatur der Kathode bestimmt.
Die Aussage ist daher nicht haltbar. Eine höhere Beschleunigungsspannung erhöht die Energie der einzelnen Elektronen, nicht ihre Anzahl; im Sättigungsbereich bleibt der Strom praktisch konstant. Um den Röhrenstrom zu verdoppeln, muss die Heizung verstärkt, also die Kathodentemperatur erhöht werden. (Zutreffend wäre die Aussage allenfalls im Anlaufbereich weit unterhalb der Sättigung.)
Austrittsenergien im Vergleich
AFB IFür Glühkathoden werden verschiedene Materialien verwendet. Die Tabelle nennt typische Austrittsenergien: Wolfram \(4{,}5\,\mathrm{eV}\), Cäsium \(1{,}9\,\mathrm{eV}\), Bariumoxid (als Schicht auf der Kathode) \(1{,}1\,\mathrm{eV}\). Es gilt \(1\,\mathrm{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm J\).
- Nennen Sie die Bedeutung der Austrittsenergie.
- Berechnen Sie die drei Austrittsenergien in Joule.
- Erläutern Sie, warum Kathoden mit Oxidschicht bei deutlich niedrigerer Temperatur betrieben werden können als reine Wolframkathoden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Austrittsenergie \(W_\text{A}\) ist die Mindestenergie, die ein Elektron aufbringen muss, um die Oberfläche eines Metalls zu verlassen. Sie ist eine Materialeigenschaft.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wolfram: \(4{,}5\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm J=7{,}2\cdot10^{-19}\,\mathrm J\); Cäsium: \(3{,}0\cdot10^{-19}\,\mathrm J\); Bariumoxid: \(1{,}8\cdot10^{-19}\,\mathrm J\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Je kleiner die Austrittsenergie, desto mehr Elektronen besitzen schon bei mäßiger Temperatur genug Wärmeenergie, um auszutreten. Bei Bariumoxid reicht deshalb eine viel geringere Temperatur für denselben Elektronenstrom. Die Kathode braucht weniger Heizleistung und hält länger.
Elektronen für ein Leuchtstoff-Experiment
AFB IIIn einem Experiment sollen Elektronen auf einen Leuchtstoff treffen. Sie treten aus einer Glühkathode aus und werden mit \(U_\text{B}=250\,\mathrm V\) beschleunigt. Die Austrittsgeschwindigkeit wird vernachlässigt. Rechnen Sie mit \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
- Berechnen Sie die Energie eines Elektrons nach der Beschleunigung in eV und in Joule.
- Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Elektronen.
- Ermitteln Sie die Beschleunigungsspannung, bei der die Elektronen doppelt so schnell wären.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(W=250\,\mathrm{eV}=250\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm J=4{,}0\cdot10^{-17}\,\mathrm J\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(v=\sqrt{\dfrac{2\,e\,U_\text{B}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}0\cdot10^{-17}\,\mathrm J}{9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}}\approx9{,}4\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac ms}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wegen \(v\sim\sqrt{U_\text{B}}\) muss die Spannung vervierfacht werden: \(U_\text{B}=4\cdot250\,\mathrm V=1{,}0\,\mathrm{kV}\).
Die Kennlinie einer Röhrendiode
AFB IIAn einer Röhrendiode mit konstanter Heizung wurde der Anodenstrom \(I\) in Abhängigkeit von der Anodenspannung \(U_\text{A}\) gemessen:
\(U_\text{A}\) in V: 0 · 20 · 40 · 60 · 80 · 100 · 150 · 200
\(I\) in mA: 0 · 1,1 · 2,9 · 4,6 · 5,4 · 5,5 · 5,5 · 5,5
- Beschreiben Sie den Verlauf der Kennlinie und erklären Sie das Abflachen ab etwa 80 V.
- Bestimmen Sie die Anzahl der Elektronen, die im Sättigungsbereich je Sekunde aus der Kathode austreten.
- Skizzieren Sie qualitativ, wie sich die Kennlinie bei stärkerer Heizung ändert, und geben Sie an, welcher Strom bei umgepolter Spannung fließt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zunächst steigt der Strom mit der Spannung an, weil das Feld immer mehr Elektronen aus der Raumladungswolke absaugt. Ab etwa 80 V erreichen alle austretenden Elektronen die Anode; der Strom bleibt beim Sättigungsstrom von 5,5 mA konstant.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(N=\dfrac{5{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm A\cdot1\,\mathrm s}{1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C}\approx3{,}4\cdot10^{16}\) Elektronen je Sekunde.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bei stärkerer Heizung liegt der Sättigungsstrom höher, und die Sättigung wird erst bei größerer Spannung erreicht; der Anfang der Kurve verläuft ähnlich. Bei umgepolter Spannung fließt kein Strom, weil die kalte Anode keine Elektronen abgibt — die Röhre wirkt als Ventil.
Leistung an der Anode
AFB IIIEine Elektronenröhre wird mit \(U_\text{B}=3{,}0\,\mathrm{kV}\) im Sättigungsbereich betrieben; es fließt der Strom \(I=2{,}0\,\mathrm{mA}\). Die Elektronen geben ihre gesamte Energie beim Aufprall an die Anode ab. Rechnen Sie mit \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
- Berechnen Sie die Leistung, die an der Anode in Wärme umgesetzt wird.
- Zeigen Sie, dass sich dieselbe Leistung aus der Energie eines Elektrons und der Anzahl der Elektronen je Sekunde ergibt.
- Beurteilen Sie den Vorschlag: „Um die Anode weniger zu erwärmen, heizt man die Kathode stärker und lässt die Spannung gleich.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P=3000\,\mathrm V\cdot2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm A=6{,}0\,\mathrm W\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(N=\dfrac{I}{e}=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm A}{1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C}=1{,}25\cdot10^{16}\,\tfrac1{\mathrm s}\); \(W=e\,U_\text{B}=4{,}8\cdot10^{-16}\,\mathrm J\). Produkt: \(N\cdot W=1{,}25\cdot10^{16}\,\tfrac1{\mathrm s}\cdot4{,}8\cdot10^{-16}\,\mathrm J\)
\(\phantom{Produkt:}=6{,}0\,\mathrm W\) — derselbe Wert wie in a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Vorschlag ist falsch. Stärkere Heizung erhöht die Zahl der austretenden Elektronen und damit den Sättigungsstrom. Bei gleicher Spannung steigt so die Leistung \(P=U_\text{B}\cdot I\) — die Anode wird wärmer. Um sie zu entlasten, müsste man die Heizung verringern oder die Spannung senken.