AbituraufgabenMessung der Feldstärke

Die Feldstärke lässt sich nicht direkt messen. Man bringt eine bekannte Probeladung \(q\) an den gewünschten Ort im Feld und misst mit dem Kraftsensor den Betrag der Kraft \(F\), die das Feld auf sie ausübt. Die Feldstärke wird anschließend als Quotient \(\displaystyle E=\frac{F}{q}\) berechnet. Gemessen wird also nur die Kraft; die Ladung der Kugel muss vorher bestimmt worden sein.

Umrechnung: \(q=2{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm C\), \(F=1{,}10\cdot 10^{-2}\,\mathrm N\). Ansatz: \(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{1{,}10\cdot 10^{-2}\,\mathrm N}{2{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm C}\). Ergebnis: \(E=4{,}4\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\).

Anforderungen (drei davon): Die Ladung muss bekannt sein; sie soll klein im Betrag sein; sie soll klein in der Ausdehnung sein; sie ist üblicherweise positiv.

Erläuterung, z. B. zu „klein im Betrag“: Eine große Probeladung erzeugt ein eigenes Feld und verschiebt durch Influenz die Ladungen auf den Platten. Das Feld am Messort ist dann nicht mehr das ursprüngliche, sondern ein durch die Probe verändertes Feld — der Quotient \(\frac{F}{q}\) liefert nicht mehr die gesuchte Feldstärke. (Alternativ zu „klein in der Ausdehnung“: Eine ausgedehnte Probe mittelt über verschiedene Orte; zu „bekannt“: Ohne bekannten Wert von \(q\) kann der Quotient gar nicht gebildet werden; zu „positiv“: Bei negativer Ladung zeigt die Kraft entgegen der Feldrichtung, die Richtung von \(E\) müsste umgedreht werden.)

Quotienten in \(\mathrm{\frac{N}{C}}\): \(\frac{3{,}5\,\mathrm{mN}}{1{,}0\,\mathrm{\mu C}}=3500\); \(\frac{7{,}3}{2{,}0}=3650\); \(\frac{10{,}7}{3{,}0}\approx 3567\); \(\frac{14{,}5}{4{,}0}=3625\); \(\frac{17{,}9}{5{,}0}=3580\). Mittelwert: \(\displaystyle \bar E=\frac{3500+3650+3567+3625+3580}{5}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\approx 3584\,\mathrm{\frac{N}{C}}\approx 3{,}6\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Die größte Abweichung eines Einzelwertes vom Mittelwert beträgt rund 2 % (erste Messung).

Die Gerade verläuft durch den Ursprung und durch den Punkt \((5{,}0\,\mathrm{\mu C}\,|\,18{,}0\,\mathrm{mN})\). Steigung: \(\displaystyle E=\frac{\Delta F}{\Delta q}=\frac{18{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm N}{5{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm C}=3{,}6\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Vergleich: Beide Verfahren liefern im Rahmen der Messgenauigkeit dasselbe Ergebnis (Abweichung unter 1 %); die Ausgleichsgerade gewichtet die Messpunkte grafisch, der Mittelwert rechnerisch.

Ohne Ladung wirkt keine elektrische Kraft: Für \(q=0\) muss \(F=0\) gelten, der Ursprung ist also ein sicherer Punkt der Geraden. Liegen die Messpunkte auf einer Ursprungsgeraden, so ist der Quotient \(\frac{F}{q}\) für alle Messungen gleich — Kraft und Ladung sind zueinander proportional: Die doppelte Ladung erfährt die doppelte Kraft. Genau diese Proportionalität rechtfertigt es, den Quotienten als Kenngröße des Feldes (Feldstärke) zu definieren, unabhängig von der verwendeten Probeladung.

Richtig ist: Die letzte Messung liefert mit \(3580\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) einen Wert, der vom Mittelwert kaum abweicht. Dennoch ist die Auffassung nicht haltbar. Erstens konnte der Schüler nicht wissen, dass gerade diese Messung so gut trifft — die erste Messung weicht um über 2 % ab, und eine Einzelmessung enthält immer zufällige Fehler (Ablesen des Sensors, Reibung im Arm), die sich erst beim Mitteln teilweise aufheben. Zweitens zeigt nur die Messreihe, dass \(F\) tatsächlich proportional zu \(q\) ist — also dass die Probeladungen das Feld nicht merklich verändert haben und der Quotient überhaupt eine sinnvolle Feldgröße ist. Drittens lässt sich erst aus der Streuung mehrerer Werte abschätzen, wie genau das Ergebnis ist. Eine Einzelmessung liefert eine Zahl, eine Messreihe ein belastbares Ergebnis.

Die Kraft wirkt zur Düse hin (in M1 nach links). Begründung: Die Feldlinien verlaufen von der positiv influenzierten Werkstückoberfläche zur negativ geladenen Düse; die Pfeile in M1 zeigen zur Düse. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt. Da die verwendete Probeladung positiv ist, stimmt die Kraftrichtung mit der Feldrichtung überein — sie zeigt also zur Düse.

Umrechnung: \(q=8{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm C\), \(F_1=4{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm N\). Ansatz: \(\displaystyle E_1=\frac{F_1}{q}=\frac{4{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm N}{8{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm C}\). Ergebnis: \(E_1=5{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\).

Ansatz und Einsetzen: \(\displaystyle E_2=\frac{F_2}{q}=\frac{9{,}6\cdot 10^{-5}\,\mathrm N}{8{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm C}=1{,}2\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Die Feldstärke an \(\mathrm P_2\) ist also 2,4-mal so groß wie an \(\mathrm P_1\). Erläuterung: Das Feld zwischen Düse und Werkstück ist nicht homogen. In M1 laufen die Feldlinien zur Düsenspitze hin zusammen; dort liegen sie dichter als vor der breiten Werkstückfläche. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke — je enger die Linien, desto größer \(E\). Deshalb misst die Technikerin nahe der Spitze die größere Kraft auf dieselbe Probeladung.

Erwartung bei unverändertem Feld: \(F=E_2\cdot q'=1{,}2\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\cdot 8{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm C=9{,}6\cdot 10^{-4}\,\mathrm N=0{,}96\,\mathrm{mN}\), also die zehnfache Kraft; der Quotient \(\frac{F}{q}\) bliebe gleich. Begründung der Unsicherheit: Die zehnfach größere Probeladung erzeugt ein entsprechend stärkeres eigenes Feld. Sie verschiebt durch Influenz Ladungen auf der nahen Düsenspitze und auf dem Werkstück und beult die Feldlinien in ihrer Umgebung aus. Am Messort herrscht dann nicht mehr das ursprüngliche Feld, sondern ein von der Probe verändertes — die gemessene Kraft enthält einen zusätzlichen Anteil, der nicht vom Feld der Anlage stammt. Der Quotient \(\frac{F}{q}\) liefert damit nicht mehr die gesuchte Feldstärke \(E_2\), sondern einen verfälschten Wert. Eine Probeladung muss klein im Betrag sein, damit sie das Feld nur abtastet und nicht verändert.

Quotienten in \(\mathrm{\frac{N}{C}}\): \(\frac{1{,}5}{0{,}50}=3000\); \(\frac{3{,}0}{1{,}0}=3000\); \(\frac{6{,}0}{2{,}0}=3000\); \(\frac{15{,}5}{5{,}0}=3100\); \(\frac{33{,}0}{10}=3300\); \(\frac{74{,}0}{20}=3700\). Beschreibung: Für kleine Probeladungen bis etwa \(2\,\mathrm{\mu C}\) ist der Quotient konstant \(3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) — Kraft und Ladung sind proportional. Ab etwa \(5\,\mathrm{\mu C}\) wächst der Quotient zunehmend an; bei \(20\,\mathrm{\mu C}\) liegt er bereits rund 23 % über dem Anfangswert. Die Kraft steigt also stärker als proportional zur Ladung.

Die positive Probeladung zieht die frei beweglichen Elektronen der darunterliegenden Metallplatte an: Durch Influenz sammeln sich direkt unter der Probe zusätzliche negative Ladungen (M2 rechts), während die Platte weiter weg entsprechend weniger negativ ist. Zwischen der Probe und dieser Ladungsanhäufung wirkt eine zusätzliche anziehende Kraft. Sie zeigt nach unten zur Platte — also in dieselbe Richtung wie die Kraft des Kondensatorfeldes auf die positive Probe. Der Sensor misst die Summe beider Anteile, die gemessene Kraft ist deshalb größer als \(E\cdot q\). Da die influenzierte Ladungsmenge mit \(q\) wächst, nimmt dieser Zusatzanteil überproportional zu, und der Quotient \(\frac{F}{q}\) steigt. Zugleich zeigen die ausgebeulten Feldlinien in M2, dass das Feld am Messort nicht mehr das ursprüngliche homogene Feld ist: Die Probe hat das Feld verändert, das sie messen soll.

Die Gruppe sollte \(E = 3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) angeben. Begründung: Das ungestörte Feld ist das Feld ohne Probeladung. Ihm kommen die Messungen mit den kleinsten Ladungen am nächsten. Dass sie das Feld noch nicht merklich verändert haben, erkennt man daran, dass ihr Quotient für \(0{,}50\,\mathrm{\mu C}\), \(1{,}0\,\mathrm{\mu C}\) und \(2{,}0\,\mathrm{\mu C}\) konstant ist — Kraft und Ladung sind hier proportional, wie es die Definition der Feldstärke voraussetzt. Die drei großen Ladungen liefern systematisch zu hohe Werte und dürfen nicht in einen Mittelwert eingehen; ein Mittelwert über alle sechs Werte (\(\approx 3180\,\mathrm{\frac{N}{C}}\)) wäre verfälscht.

Aussage 1 (Lena): Der richtige Kern: Bei großer Kraft fällt der Ablesefehler des Sensors weniger ins Gewicht. Bei \(q=0{,}50\,\mathrm{\mu C}\) bedeutet \(0{,}1\,\mathrm{mN}\) Unsicherheit bei \(1{,}5\,\mathrm{mN}\) rund 7 %, bei \(q=20\,\mathrm{\mu C}\) und \(74\,\mathrm{mN}\) nur noch etwa 0,1 %. Der Schluss ist dennoch falsch: Die Messreihe aus Aufgabe 4 zeigt, dass große Probeladungen durch Influenz das Feld verändern und der Quotient dann systematisch zu groß ausfällt (\(3700\) statt \(3000\,\mathrm{\frac{N}{C}}\), also rund 23 % Fehler). Dieser Fehler ist weit größer als der eingesparte Ablesefehler — und eine einzige Messung kann ihn nicht einmal aufdecken, weil man ohne Vergleichswert nicht erkennt, dass das Feld gestört ist.

Aussage 2 (Tarek): Die Voraussetzung ist richtig: Jede Probeladung erzeugt ein eigenes Feld und beeinflusst die Ladungsverteilung auf den Platten; eine Messung ganz ohne Rückwirkung gibt es nicht. Die Schlussfolgerung ist aber falsch. Die Störung wird mit kleiner werdender Ladung immer geringer, und die Messreihe zeigt, dass sie bei kleinen Ladungen unterhalb der Messgenauigkeit liegt: Der Quotient ist dort konstant. Die Feldstärke lässt sich also so genau bestimmen, wie es der Sensor erlaubt. Dass jede Messung eine endliche Genauigkeit hat, gilt für alle physikalischen Größen und macht sie nicht „unmessbar“.

Aufbau: Kleine, positiv geladene Probekugel mit bekannter Ladung an einem starren, isolierenden Arm mit Kraftsensor; die Kugel wird mittig zwischen den Platten und nicht in Plattennähe positioniert, damit Influenzeffekte an der nahen Platte klein bleiben (vgl. Aufgabe 4). Durchführung: Messreihe mit schrittweise wachsender Probeladung an derselben Stelle, jede Messung mehrfach wiederholt. Auswertung: Für jede Ladung den Quotienten \(\frac{F}{q}\) bilden bzw. die Messpunkte in ein \(F\)-\(q\)-Diagramm eintragen. Der Bereich, in dem der Quotient konstant ist (die Punkte auf einer Ursprungsgeraden liegen), ist der Bereich ungestörten Feldes. Innerhalb dieses Bereichs werden bevorzugt die größten Ladungen verwendet — sie liefern die größten Kräfte und damit den kleinsten relativen Ablesefehler, ohne das Feld zu stören. Die Feldstärke ergibt sich als Mittelwert dieser Quotienten oder als Steigung der Ausgleichsgeraden durch den Ursprung; gerundet wird erst zum Schluss, und aus der Streuung wird die Unsicherheit abgeschätzt. Begründung: So werden beide Anliegen aus M1 verbunden: große Kraft für geringe Ablesefehler (Lena) und Kontrolle der Rückwirkung der Probe auf das Feld (Tarek).

Der Vorschlag ist physikalisch zulässig, ändert am Messprinzip aber nichts Wesentliches. Der Betrag der Kraft ist bei gleich großer Ladung derselbe, denn \(|F|=E\cdot|q|\); der Quotient \(\frac{|F|}{|q|}\) liefert also dieselbe Feldstärke. Nur die Richtung kehrt sich um: Die Kraft auf die negative Kugel zeigt entgegen der Feldrichtung, hier nach oben zur positiven Platte. Bei der Auswertung muss man deshalb beachten, dass die Feldrichtung als Kraftrichtung auf eine positive Probeladung festgelegt ist — die gemessene Kraftrichtung ist der Feldrichtung entgegengesetzt. Ob der Arm „entlastet“ wird, spielt für das Ergebnis keine Rolle: Der Sensor misst Zug und Druck gleichermaßen. Ein echter Vorteil ergibt sich nicht; auch der Influenz-Effekt aus Aufgabe 4 tritt bei negativer Ladung ebenso auf (dann sammeln sich positive Ladungen auf der nahen Platte). Fazit: möglich, aber ohne Gewinn — die übliche positive Probeladung vermeidet Vorzeichenfehler.