Elektronenkanone im Oszilloskop
AFB IIn der Bildröhre eines Oszilloskops erzeugt eine Elektronenkanone den Elektronenstrahl. Aus einer geheizten Katode treten Elektronen praktisch mit der Geschwindigkeit null aus. Zwischen Katode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung \(U = 1{,}5\,\mathrm{kV}\) an; der Abstand der beiden Elektroden beträgt \(d = 3{,}0\,\mathrm{cm}\) (Material M1). Das Feld zwischen Katode und Anode kann als homogen angesehen werden, die Röhre ist evakuiert.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
Die Feldlinien verlaufen von der positiven Anode zur negativen Katode. Das Elektron bewegt sich entgegen der Feldrichtung — auf die Anode zu — und verlässt die Kanone durch das Loch in der Anode.
- Begründen Sie anhand von Material M1, dass die Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden, und berechnen Sie den Betrag der Kraft auf ein Elektron sowie seine Beschleunigung.
- Berechnen Sie mithilfe des Energiesatzes die Geschwindigkeit, mit der ein Elektron die Anode erreicht.
- Berechnen Sie die Zeit, die ein Elektron für den Weg von der Katode zur Anode benötigt, und zeigen Sie, dass sich mit dieser Zeit die Geschwindigkeit aus Teilaufgabe b) bestätigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In M1 zeigen die Feldlinien von der Anode zur Katode, die Feldrichtung ist also nach links gerichtet. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt; das Elektron ist negativ geladen, die Kraft wirkt daher entgegen der Feldrichtung — nach rechts, zur Anode hin. Die Elektronen werden folglich zur Anode beschleunigt.
Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{1500\,\mathrm V}{0{,}030\,\mathrm m}=5{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Kraft: \(F=e\,E=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 5{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}=8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Beschleunigung: \(\displaystyle a=\frac{F}{m_\text{e}}=\frac{8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}=8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Diese Beschleunigung ist auf dem gesamten Weg konstant, weil das Feld homogen ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Energiesatz: \(e\,U=\tfrac12 m_\text{e} v^{2}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}\). Einsetzen: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1500\,\mathrm V}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=\sqrt{5{,}27\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m^{2}}{s^{2}}}}\). Ergebnis: \(v=2{,}3\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) (rund 8 % der Lichtgeschwindigkeit).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(d=\tfrac12 a t^{2}\), also \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}030\,\mathrm m}{8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}}=2{,}6\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=2{,}6\,\mathrm{ns}\).
Kontrolle: \(v=a\,t=8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot 2{,}6\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=2{,}3\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Der kinematische Weg liefert dieselbe Endgeschwindigkeit wie der Energiesatz — beide Beschreibungen derselben Bewegung stimmen überein.
Protonen aus der Ionenquelle
AFB IIIn einer Ionenquelle werden Protonen erzeugt und anschließend zwischen zwei parallelen Platten aus der Ruhe beschleunigt. Eine Simulation der Bewegung liefert das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm in Material M1. Nach \(t = 0{,}50\,\mathrm{\mu s}\) erreicht das Proton die zweite Platte mit \(v = 4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{p} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Der Graph beginnt im Ursprung und endet im markierten Punkt P, in dem das Proton die zweite Platte erreicht.
- Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen in Material M1 und erklären Sie mithilfe der Feldkraft, warum die Bewegung des Protons gleichmäßig beschleunigt ist.
- Ermitteln Sie aus Material M1 die Beschleunigung des Protons und berechnen Sie daraus die Feldstärke zwischen den Platten.
- Berechnen Sie den Abstand der beiden Platten und die zwischen ihnen anliegende Spannung.
- Weisen Sie nach, dass sich die Spannung aus Teilaufgabe c) auch ohne Kenntnis des Plattenabstands direkt aus der Endgeschwindigkeit ergibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Graph ist eine Ursprungsgerade: Die Geschwindigkeit wächst proportional zur Zeit von \(0\) bis \(4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) bei \(t=0{,}50\,\mathrm{\mu s}\) (Punkt P), die Steigung ist konstant.
Erklärung: Zwischen den parallelen Platten ist das Feld homogen, die Feldstärke \(E\) ist also an jeder Stelle gleich. Damit wirkt auf das Proton überall dieselbe Kraft \(F=e\,E\). Nach \(F=m\,a\) gehört zu einer konstanten Kraft eine konstante Beschleunigung — die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt, und genau das zeigt sich im linearen \(v\)-\(t\)-Verlauf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beschleunigung aus der Steigung: \(\displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s}=8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\).
Kraft: \(F=m_\text{p}\,a=1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot 8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}=1{,}34\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{F}{e}=\frac{1{,}34\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=8{,}4\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Plattenabstand: \(d=\tfrac12 a t^{2}=\tfrac12\cdot 8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot\left(0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\right)^{2}=0{,}10\,\mathrm m=10\,\mathrm{cm}\).
Spannung: \(U=E\cdot d=8{,}4\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\cdot 0{,}10\,\mathrm m\approx 8{,}4\cdot 10^{2}\,\mathrm V\) (mit ungerundeten Zwischenwerten: \(835\,\mathrm V\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Energiesatz: \(e\,U=\tfrac12 m_\text{p} v^{2}\), also \(\displaystyle U=\frac{m_\text{p}\,v^{2}}{2e}=\frac{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot\left(4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^{2}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=835\,\mathrm V\).
Das ist derselbe Wert wie in c). Der Plattenabstand geht nicht ein: Die Endgeschwindigkeit wird allein durch die durchlaufene Spannung festgelegt — ein langer Weg im schwachen Feld liefert dieselbe Energie wie ein kurzer im starken.
Elektronen im Gegenfeld
AFB IIElektronen treten mit der kinetischen Energie \(E_\text{kin,0} = 300\,\mathrm{eV}\) durch ein Gitter in ein Gegenfeld ein (Material M1). Zwischen dem Gitter und der Gegenplatte liegt die Spannung \(U_\text{G} = 400\,\mathrm V\) an, der Abstand beträgt \(d = 2{,}0\,\mathrm{cm}\). Das Feld ist homogen, die Anordnung ist evakuiert.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\); \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J\).
Die Elektronen kommen von links und passieren das positiv geladene Gitter. Was hinter dem Gitter mit ihnen geschieht, ist Gegenstand der Aufgabe.
- Begründen Sie anhand von Material M1, dass die Elektronen hinter dem Gitter abgebremst werden, und erläutern Sie mit der Energiebilanz, wie sich die Energie der Elektronen dabei umverteilt.
- Berechnen Sie die Eintrittsgeschwindigkeit der Elektronen und ermitteln Sie den Abstand vom Gitter, an dem sie umkehren.
- Die Gegenspannung wird auf \(U_\text{G}=250\,\mathrm V\) verringert. Entscheiden Sie begründet, ob die Elektronen nun die Gegenplatte erreichen, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Auftreffgeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In M1 verlaufen die Feldlinien vom positiven Gitter zur negativen Gegenplatte, die Feldrichtung zeigt also nach rechts — in Bewegungsrichtung der Elektronen. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt; auf die negativ geladenen Elektronen wirkt die Kraft daher entgegen der Feldrichtung, also nach links, entgegen ihrer Bewegung. Die Elektronen werden abgebremst.
Energiebilanz: Beim Eintritt besitzen die Elektronen nur Bewegungsenergie \(E_\text{kin,0}\). Auf dem Weg gegen die Feldkraft verrichtet das Elektron Arbeit gegen das Feld; seine Bewegungsenergie nimmt ab, seine Lageenergie im Feld \(E_\text{pot}=e\,E\,s\) nimmt im gleichen Maß zu. Die Summe \(E_\text{kin}+E_\text{pot}=E_\text{kin,0}\) bleibt konstant. Ist die Bewegungsenergie vollständig in Lageenergie umgewandelt, kehrt das Elektron um und wird zurück zum Gitter beschleunigt, das es mit der Eintrittsgeschwindigkeit wieder verlässt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Eintrittsenergie: \(E_\text{kin,0}=300\,\mathrm{eV}=300\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J=4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J\). Geschwindigkeit: \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,E_\text{kin,0}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=1{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U_\text{G}}{d}=\frac{400\,\mathrm V}{0{,}020\,\mathrm m}=2{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Umkehrpunkt: \(e\,E\,s_\text{u}=E_\text{kin,0}\), also \(\displaystyle s_\text{u}=\frac{E_\text{kin,0}}{e\,E}=\frac{4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}=0{,}015\,\mathrm m=1{,}5\,\mathrm{cm}\). (Gleichwertig: \(300\,\mathrm V\) von \(400\,\mathrm V\) entsprechen \(\tfrac34\) des Abstands.) Die Elektronen kehren \(1{,}5\,\mathrm{cm}\) hinter dem Gitter um, \(0{,}5\,\mathrm{cm}\) vor der Gegenplatte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bis zur Gegenplatte müssen die Elektronen jetzt nur noch \(250\,\mathrm V\) gegen das Feld durchlaufen, dafür wird die Energie \(e\cdot 250\,\mathrm V=250\,\mathrm{eV}\) benötigt. Die Eintrittsenergie \(300\,\mathrm{eV}\) ist größer — die Elektronen erreichen die Gegenplatte, es bleibt die Restenergie \(E_\text{kin}=300\,\mathrm{eV}-250\,\mathrm{eV}=50\,\mathrm{eV}=8{,}0\cdot 10^{-18}\,\mathrm J\).
Auftreffgeschwindigkeit: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}0\cdot 10^{-18}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=4{,}2\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Das ist deutlich weniger als die Hälfte von \(v_0\), obwohl nur ein Sechstel der Energie übrig ist: Wegen des Quadrats in \(\tfrac12 m v^{2}\) sinkt die Geschwindigkeit nur auf \(\sqrt{\tfrac16}\approx 41\,\%\).
Röntgenröhre im Schullabor
AFB IIIn einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer geheizten Katode im Vakuum auf eine Anode beschleunigt (Material M1). Beim Aufprall entsteht Röntgenstrahlung; der weitaus größte Teil der Elektronenenergie wird jedoch in der Anode in Wärme umgesetzt. Die Röhre wird mit der Beschleunigungsspannung \(U = 12\,\mathrm{kV}\) betrieben, der Abstand von Katode und Anode beträgt \(d = 2{,}0\,\mathrm{cm}\); das Feld dazwischen wird als homogen angenommen. Durch die Röhre fließt die Stromstärke \(I = 1{,}0\,\mathrm{mA}\).
Rechnen Sie nicht-relativistisch mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) und \(m_\text{p} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Die Elektronen starten an der Katode aus der Ruhe und treffen auf die schräg gestellte Anode. Die Feldlinien zeigen von der Anode zur Katode.
- Berechnen Sie die kinetische Energie eines Elektrons beim Auftreffen auf die Anode in Elektronenvolt und in Joule sowie seine Auftreffgeschwindigkeit.
- Berechnen Sie die Beschleunigung der Elektronen und die Zeit, die sie von der Katode bis zur Anode benötigen.
- Ermitteln Sie die Anzahl der Elektronen, die pro Sekunde auf die Anode treffen, und die Leistung, die dort ankommt. Erläutern Sie damit, warum die Anode gekühlt werden muss.
- Ein Praktikant vermutet: „Würde man statt Elektronen Protonen mit derselben Spannung beschleunigen, träfen sie mit derselben Geschwindigkeit auf — schließlich tragen beide den gleichen Ladungsbetrag.“ Beurteilen Sie diese Vermutung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Energie: \(E_\text{kin}=e\,U=12\,\mathrm{keV}=12000\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J=1{,}9\cdot 10^{-15}\,\mathrm J\).
Geschwindigkeit: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,E_\text{kin}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=6{,}5\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) — etwa ein Fünftel der Lichtgeschwindigkeit; die nicht-relativistische Rechnung ist hier noch eine brauchbare Näherung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{12000\,\mathrm V}{0{,}020\,\mathrm m}=6{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Beschleunigung: \(\displaystyle a=\frac{e\,E}{m_\text{e}}=\frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 6{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}=1{,}1\cdot 10^{17}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\).
Flugzeit: \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}020\,\mathrm m}{1{,}05\cdot 10^{17}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}}=6{,}2\cdot 10^{-10}\,\mathrm s=0{,}62\,\mathrm{ns}\). Kontrolle über \(t=\frac{v}{a}=\frac{6{,}5\cdot 10^{7}}{1{,}05\cdot 10^{17}}\,\mathrm s=6{,}2\cdot 10^{-10}\,\mathrm s\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Anzahl pro Sekunde: \(\displaystyle N=\frac{I\cdot 1\,\mathrm s}{e}=\frac{1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm C}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=6{,}3\cdot 10^{15}\) Elektronen pro Sekunde.
Leistung: \(P=N\cdot E_\text{kin}=6{,}25\cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J=12\,\mathrm W\); gleichwertig \(P=U\cdot I=12000\,\mathrm V\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm A=12\,\mathrm W\).
Erläuterung: Nur ein Bruchteil dieser Leistung (typisch unter 1 %) wird zu Röntgenstrahlung; der Rest wird in dem winzigen Auftreffbereich der Anode in Wärme umgesetzt. Rund \(12\,\mathrm W\) auf einer Fläche von wenigen Quadratmillimetern würden das Anodenmaterial ohne Kühlung rasch zum Schmelzen bringen — deshalb bestehen Anoden aus hochschmelzenden Metallen und werden gekühlt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Richtig ist der Kern der Aussage: Ein Proton trägt denselben Ladungsbetrag \(e\), erfährt beim Durchlaufen von \(U\) dieselbe Arbeit \(e\,U\) und erhält deshalb dieselbe kinetische Energie \(12\,\mathrm{keV}\) wie ein Elektron.
Falsch ist der Schluss auf die Geschwindigkeit: Aus \(E_\text{kin}=\tfrac12 m v^{2}\) folgt \(v=\sqrt{\frac{2E_\text{kin}}{m}}\), und dort geht die Masse ein. Das Proton ist rund 1840-mal schwerer, seine Geschwindigkeit ist daher um den Faktor \(\sqrt{\frac{m_\text{p}}{m_\text{e}}}\approx 43\) kleiner: \(\displaystyle v_\text{p}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}=1{,}5\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) statt \(6{,}5\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Die Vermutung verwechselt gleiche Energie mit gleicher Geschwindigkeit; gleich ist nur die Energie.
Ein unbekanntes Ion
AFB IIIIn einem Versuch soll die Sorte eines einfach positiv geladenen Ions bestimmt werden. Das Ion startet aus der Ruhe an der positiven Platte eines Plattenkondensators mit \(U = 2{,}0\,\mathrm{kV}\) und \(d = 8{,}0\,\mathrm{cm}\) und wird zur Gegenplatte hin beschleunigt. Eine Stroboskopaufnahme hält seine Position alle \(\Delta t = 0{,}10\,\mathrm{\mu s}\) fest (Material M1, Messwerte in M2). Die Massen der infrage kommenden Ionen enthält Material M3.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
Die Feldlinien zeigen von der Startplatte zur Gegenplatte. Alle \(0{,}10\,\mathrm{\mu s}\) wird die Position des Ions festgehalten; der Maßstab darunter ist in Zentimetern geteilt.
| Aufnahme | Zeit \(t\) in µs | Weg \(s\) in cm |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0,10 | 0,30 |
| 2 | 0,20 | 1,20 |
| 3 | 0,30 | 2,70 |
| 4 | 0,40 | 4,80 |
| 5 | 0,50 | 7,50 |
| Ion | Masse in kg |
|---|---|
| Wasserstoff \(\mathrm{H^{+}}\) | \(1{,}67\cdot 10^{-27}\) |
| Deuterium \(\mathrm{D^{+}}\) | \(3{,}34\cdot 10^{-27}\) |
| Helium \(\mathrm{He^{+}}\) | \(6{,}64\cdot 10^{-27}\) |
| Lithium \(\mathrm{Li^{+}}\) | \(1{,}15\cdot 10^{-26}\) |
- Weisen Sie anhand der Messwerte in Material M2 nach, dass sich das Ion gleichmäßig beschleunigt bewegt.
- Ermitteln Sie die Beschleunigung des Ions und entscheiden Sie mithilfe von Material M3 begründet, um welche Ionensorte es sich handelt.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der das Ion die Gegenplatte erreicht, auf zwei voneinander unabhängigen Wegen.
- Der Versuch soll auch zweifach geladene Helium-Ionen \(\mathrm{He^{2+}}\) nachweisen. Beurteilen Sie, ob sich mit dieser Anordnung ein \(\mathrm{He^{2+}}\)-Ion von einem einfach geladenen Deuterium-Ion \(\mathrm{D^{+}}\) unterscheiden lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe gilt \(s=\tfrac12 a t^{2}\), der Weg wächst also quadratisch mit der Zeit: Der Quotient \(\frac{s}{t^{2}}\) muss konstant sein. Prüfung mit M2: \(\frac{0{,}30}{0{,}10^{2}}=30\), \(\frac{1{,}20}{0{,}20^{2}}=30\), \(\frac{2{,}70}{0{,}30^{2}}=30\), \(\frac{4{,}80}{0{,}40^{2}}=30\), \(\frac{7{,}50}{0{,}50^{2}}=30\) (jeweils in \(\mathrm{\frac{cm}{\mu s^{2}}}\)). Der Quotient ist für alle Messwerte gleich — die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt.
Gleichwertig: Die Wegstücke in den fünf gleichen Zeitabschnitten betragen \(0{,}30\), \(0{,}90\), \(1{,}50\), \(2{,}10\) und \(2{,}70\,\mathrm{cm}\) und verhalten sich wie \(1:3:5:7:9\) — das charakteristische Muster der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beschleunigung, z. B. aus dem letzten Messpunkt: \(\displaystyle a=\frac{2s}{t^{2}}=\frac{2\cdot 0{,}075\,\mathrm m}{\left(0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\right)^{2}}=6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\).
Feldkraft: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{2000\,\mathrm V}{0{,}080\,\mathrm m}=2{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(F=e\,E=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}=4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Masse: \(\displaystyle m=\frac{F}{a}=\frac{4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}=6{,}7\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Entscheidung: Der Wert stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit der Masse von \(\mathrm{He^{+}}\) (\(6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\)) überein; \(\mathrm{D^{+}}\) wäre nur halb, \(\mathrm{Li^{+}}\) fast doppelt so schwer und \(\mathrm{H^{+}}\) viermal leichter. Es handelt sich um ein Helium-Ion \(\mathrm{He^{+}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Weg 1 (Kinematik): Flugzeit \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}080\,\mathrm m}{6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}}=5{,}2\cdot 10^{-7}\,\mathrm s\); Endgeschwindigkeit \(v=a\,t=6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot 5{,}16\cdot 10^{-7}\,\mathrm s=3{,}1\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Weg 2 (Energiesatz): \(e\,U=\tfrac12 m v^{2}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2000\,\mathrm V}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}=3{,}1\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Beide Wege stimmen überein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Anordnung registriert nur die Bewegung des Ions, also seine Beschleunigung \(a=\frac{q\,E}{m}\) — und damit nur den Quotienten \(\frac{q}{m}\), nicht Ladung und Masse getrennt.
Für \(\mathrm{He^{2+}}\): \(\displaystyle a=\frac{2e\,E}{m_\text{He}}=\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}=1{,}20\cdot 10^{12}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Für \(\mathrm{D^{+}}\): \(\displaystyle a=\frac{e\,E}{m_\text{D}}=\frac{4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{3{,}34\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}=1{,}20\cdot 10^{12}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Beide Ionen haben (bis auf Abweichungen weit unterhalb der Messgenauigkeit) dasselbe Verhältnis \(\frac{q}{m}\), dieselbe Beschleunigung und daher identische Stroboskopaufnahmen. Auch der Energiesatz hilft nicht: \(\mathrm{He^{2+}}\) erhält zwar die doppelte Energie \(2e\,U\), hat aber auch die doppelte Masse — \(v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\) ist für beide gleich (\(4{,}4\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)).
Urteil: Mit dieser Anordnung lassen sich \(\mathrm{He^{2+}}\) und \(\mathrm{D^{+}}\) nicht unterscheiden. Dazu müsste eine Größe gemessen werden, die Ladung oder Masse getrennt erfasst — etwa die beim Auftreffen abgegebene Energie (\(4\,\mathrm{keV}\) gegenüber \(2\,\mathrm{keV}\)) oder die transportierte Ladung.