Von der Kraft zur Beschleunigung
Zwischen zwei parallelen Platten ist das Feld homogen: Eine Ladung spürt an jeder Stelle dieselbe Kraft. Und zu einer konstanten Kraft gehört nach \(F=m\,a\) zwingend eine konstante Beschleunigung — genau das macht die ganze Rechnung überschaubar.
- Feldkraft:Auf eine Ladung \(q\) wirkt \(F=q\,E\), im Plattenkondensator mit \(E=\dfrac{U}{d}\).
- Richtung:Auf eine positive Ladung längs der Feldlinien, auf ein Elektron entgegengesetzt — also stets zur Plusplatte hin.
- Betrag:Er ändert sich auf dem ganzen Weg nicht: weder der Ort noch die bereits erreichte Geschwindigkeit spielen eine Rolle.
- Analogie:Die Feldkraft \(q\,E\) übernimmt die Rolle der Gewichtskraft \(m\,g\).
Beschleunigung im homogenen Feld: Aus \(F=q\,E=m\,a\) folgt \(a=\dfrac{q\,E}{m}=\dfrac{q\,U}{m\,d}\). Diese Beschleunigung ist auf dem gesamten Weg konstant. Sie hängt von Feldstärke, Ladung und Masse ab — nicht von der bereits erreichten Geschwindigkeit.
Gleichmäßig beschleunigt — wie beim freien Fall
Steht \(a\) fest, liegt der gesamte Bewegungsablauf fest. Es gelten die Zeitgesetze des freien Falls aus der Ruhe — man ersetzt nur \(g\) durch \(a=\dfrac{q\,E}{m}\).
- Start aus der Ruhe:Das Teilchen beginnt an der Platte mit \(v=0\).
- Geschwindigkeit:Sie wächst proportional zur Zeit — nach doppelter Zeit ist sie doppelt so groß.
- Weg:Er wächst quadratisch — nach doppelter Zeit ist der Weg viermal so lang.
- Gleiche Zeitschritte:Die Wegstücke verhalten sich wie \(1:3:5:\dots\) — dasselbe Muster wie beim fallenden Stein.
Zeitgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe
Die drei Größen aus Phase 1 und 2 — Beschleunigung, Flugzeit und Endgeschwindigkeit — hängen sehr unterschiedlich von den Einstellungen ab. Im folgenden Applet legst du Spannung, Plattenabstand und Teilchensorte selbst fest. Ein Stroboskop markiert die Bahn in sechs gleichen Zeitabständen; achte darauf, wie die Punkte nach hinten immer weiter auseinanderrücken. Die Bewegung läuft in Zeitlupe — die angezeigten Zeiten sind die echten.
Spannung, Plattenabstand und Teilchensorte sind frei wählbar. „Start“ lässt das Teilchen aus der Ruhe los.
Das Teilchen ruht an der Startplatte.
Zwei Einstellungen lohnen den Versuch. Vergrößerst du nur den Plattenabstand \(d\), so sinkt die Beschleunigung und die Flugzeit wächst — die Endgeschwindigkeit bleibt aber exakt dieselbe. Wechselst du dagegen zum Proton, so sieht die Bahn unverändert aus, doch die Uhr zeigt rund das 43-Fache und die Endgeschwindigkeit fällt auf ein Dreiundvierzigstel. Beide Beobachtungen zusammen deuten darauf hin, dass nicht der Weg, sondern eine andere Größe die Endgeschwindigkeit festlegt — die nächste Phase nennt sie.
Der Energiesatz und die Endgeschwindigkeit
Durchläuft die Ladung \(q\) die Spannung \(U\), verrichtet das Feld an ihr die Arbeit \(W=q\,U\). Im Vakuum landet diese Arbeit vollständig in der Bewegungsenergie. Weder Plattenabstand noch Feldstärke tauchen auf: Ein langer Weg im schwachen Feld liefert dieselbe Energie wie ein kurzer im starken.
Energiesatz: Beim Durchlaufen der Spannung \(U\) gilt \(q\,U=\tfrac12 m v^{2}\). Daraus folgt die Endgeschwindigkeit \(v=\sqrt{\dfrac{2\,q\,U}{m}}\).
Endgeschwindigkeit eines Elektrons
Beschleunigung durch U = 500 V (\(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)).
| Spannung U | Endgeschwindigkeit v | im Vergleich zu 100 V |
|---|---|---|
| 100 V | 5,9 · 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | 1-fach |
| 400 V | 11,9 · 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | 2-fach |
| 900 V | 17,8 · 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | 3-fach |
| 1600 V | 23,7 · 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | 4-fach |
Die Energiebilanz an jeder Stelle
Der Energiesatz aus Abschnitt 3 vergleicht nur Anfang und Ende der Strecke. Fragt man dagegen, wie viel Energie das Teilchen unterwegs schon hat, braucht man beide Anteile getrennt: die Energie der Lage im Feld und die Energie der Bewegung. Ihre Summe ändert sich auf dem ganzen Weg nicht — genau das ist die Energiebilanz eines freien geladenen Körpers im Plattenkondensator.
- Lageenergie:Ein Körper mit der Ladung \(q\) im Abstand \(d-s\) von der Zielplatte besitzt die potentielle Energie \(E_{\mathrm{pot}}=q\,E\,(d-s)\).
- Bewegungsenergie:Dazu kommt die kinetische Energie \(E_{\mathrm{kin}}=\tfrac12 m v^{2}\), die am Start aus der Ruhe null ist.
- Bilanz:Das Feld erzeugt keine Energie, es schichtet nur um — die Summe beider Anteile bleibt konstant.
- „Frei“ heißt hier:Außer der Feldkraft wirkt nichts. Beim Elektron ist die Gewichtskraft rund \(10^{14}\)-mal kleiner als die Feldkraft und darf weggelassen werden.
Energiebilanz im Plattenkondensator
Setzt man \(s=d\) ein, verschwindet die Lageenergie und übrig bleibt \(q\,U=\tfrac12 m v^{2}\) — der Energiesatz aus Abschnitt 3 ist also der Sonderfall „ganze Strecke“ dieser Bilanz. Umgekehrt lässt sich jetzt auch der Fall behandeln, in dem ein Körper gegen die Feldkraft anläuft: Dann wächst \(E_{\mathrm{pot}}\) auf Kosten von \(E_{\mathrm{kin}}\), bis die Bewegungsenergie aufgebraucht ist.
Umkehrpunkt: Läuft ein geladener Körper mit der Anfangsenergie \(E_{\mathrm{kin},0}\) gegen die Feldkraft an, kommt er genau dort zum Stillstand, wo \(E_{\mathrm{pot}}=E_{\mathrm{kin},0}\) ist — bei \(s_{u}=\dfrac{E_{\mathrm{kin},0}}{q\,E}\). Danach wird er wieder zurückbeschleunigt und erreicht den Eintrittsort mit genau derselben Geschwindigkeit wie zuvor.
| Größe | Schwerefeld | homogenes elektrisches Feld |
|---|---|---|
| Kraft auf den Körper | \(F=m\,g\) | \(F=q\,E\) |
| Lageenergie | \(E_{\mathrm{pot}}=m\,g\,h\) | \(E_{\mathrm{pot}}=q\,E\,s\) |
| Bilanz | \(m\,g\,h+\tfrac12 m v^{2}=\text{konst.}\) | \(q\,E\,s+\tfrac12 m v^{2}=\text{konst.}\) |
| maßgebliche Größe | Höhenunterschied \(h\) | durchlaufene Spannung \(U\) |
| hängt ab von | Masse \(m\) | Ladung \(q\) — nicht von der Masse |
Energiebilanz an einer Zwischenstelle
Ein Elektron startet aus der Ruhe an der Minusplatte. Es gilt \(U=500\,\mathrm V\) und \(d=5{,}0\,\mathrm{cm}\); gesucht sind beide Energieanteile und die Geschwindigkeit nach \(s=2{,}0\,\mathrm{cm}\).
Im folgenden Applet lässt sich der Ort des Teilchens frei verschieben. Die beiden Energieanteile werden als ein einziger, immer gleich langer Balken dargestellt — sichtbar wandert nur die Grenze zwischen ihnen. Der Umschalter „gegen das Feld“ zeigt zusätzlich den Umkehrpunkt.
Das Teilchen bewegt sich zwischen den Platten, während sich die Energie zwischen Feld und Bewegung umverteilt. Die Summe bleibt dabei unverändert.
Das Teilchen ruht noch an der Startplatte: Die gesamte Energie steckt im Feld.
Zwei Beobachtungen lohnen den Vergleich. Erstens ändert der Wechsel zwischen Elektron und Proton die Energiewerte überhaupt nicht — beide tragen dieselbe Ladung, also dieselbe Energie pro Volt; verschieden ist allein die Geschwindigkeit, weil dort die Masse eingeht. Zweitens liegt die Geschwindigkeit auf halber Strecke nicht bei der Hälfte des Endwerts, sondern beim \(\tfrac{1}{\sqrt2}\)-fachen, also bei rund 71 %: Halbe Energie bedeutet wegen des Quadrats in \(\tfrac12 m v^{2}\) eben nicht halbe Geschwindigkeit.
Allgemeine Hinweise
Der Abstand ändert v nicht
Ein größeres \(d\) senkt \(a=\dfrac{qU}{md}\) und verlängert die Flugzeit — die Endgeschwindigkeit bleibt exakt gleich, denn im Energiesatz \(qU=\tfrac12 mv^2\) taucht \(d\) gar nicht auf.
v wächst mit der Wurzel
Aus \(v=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}\) folgt: Vierfache Spannung gibt doppelte Geschwindigkeit, nicht vierfache.
Erst Meter, dann einsetzen
In \(E=\dfrac{U}{d}\) gehört \(d\) in Meter: \(5{,}0\,\mathrm{cm}=0{,}050\,\mathrm m\). Rechne \(a\) und \(t\) nur, wenn sie gefragt sind — für \(v\) genügt der Energiesatz.