AbituraufgabenAuf- und Entladen

Ladung: \(Q_0=C\cdot U_0=220\cdot10^{-6}\,\mathrm F\cdot300\,\mathrm V=6{,}6\cdot10^{-2}\,\mathrm C=66\,\mathrm{mC}\).

Anfangsstromstärke beim Entladen: Im ersten Moment liegt die volle Spannung \(U_0\) an der Blitzröhre, also \(\displaystyle I_0=\frac{U_0}{R_2}=\frac{300\,\mathrm V}{12\,\Omega}=25\,\mathrm A\). Dieser hohe Strom fließt nur für einen Augenblick — er nimmt sofort ab, weil die Kondensatorspannung mit jeder abfließenden Ladung sinkt.

Laden: \(\tau_1=R_1\,C=1500\,\Omega\cdot220\cdot10^{-6}\,\mathrm F=0{,}33\,\mathrm s\). Entladen: \(\tau_2=R_2\,C=12\,\Omega\cdot220\cdot10^{-6}\,\mathrm F=2{,}6\cdot10^{-3}\,\mathrm s=2{,}6\,\mathrm{ms}\).

Die Zeitkonstante ist das Tempomaß des Vorgangs: Nach der Zeit \(\tau\) ist die Spannung beim Entladen auf \(\frac1e\approx37\,\%\) des Anfangswerts gefallen, beim Laden auf \(63\,\%\) der Quellenspannung gestiegen; nach etwa \(5\tau\) ist der Vorgang praktisch abgeschlossen. Sie hängt nur von \(R\) und \(C\) ab, nicht von der Spannung.

Begründung: Die Kapazität ist in beiden Fällen dieselbe, die Widerstände unterscheiden sich aber um den Faktor \(\frac{1500}{12}\approx125\). Genau um diesen Faktor ist \(\tau_2\) kleiner als \(\tau_1\): Der Blitz ist nach \(5\tau_2\approx13\,\mathrm{ms}\) vorbei, das Nachladen dauert etwa \(5\tau_1\approx1{,}7\,\mathrm s\). Der kleine Widerstand der Blitzröhre lässt die Ladung schnell abfließen, der große Ladewiderstand begrenzt den Ladestrom.

Spannung nach \(5{,}0\,\mathrm{ms}\): \(\displaystyle U=U_0\,e^{-\frac{t}{\tau_2}}=300\,\mathrm V\cdot e^{-\frac{5{,}0\,\mathrm{ms}}{2{,}64\,\mathrm{ms}}}=300\,\mathrm V\cdot e^{-1{,}89}=300\,\mathrm V\cdot0{,}151\approx45\,\mathrm V\).

Zeit bis \(10\,\mathrm V\): Aus \(U=U_0\,e^{-t/\tau_2}\) folgt \(\displaystyle t=\tau_2\cdot\ln\frac{U_0}{U}=2{,}64\,\mathrm{ms}\cdot\ln\frac{300\,\mathrm V}{10\,\mathrm V}=2{,}64\,\mathrm{ms}\cdot3{,}40\approx9{,}0\,\mathrm{ms}\). (Mit dem gerundeten Wert \(\tau_2=2{,}6\,\mathrm{ms}\) ergeben sich \(44\,\mathrm V\) und \(8{,}8\,\mathrm{ms}\) — beides ist zu akzeptieren.)

Ladevorgang: \(\displaystyle \frac{U(t)}{U_0}=1-e^{-\frac{t}{\tau_1}}=1-e^{-\frac{1{,}5\,\mathrm s}{0{,}33\,\mathrm s}}=1-e^{-4{,}5}=1-0{,}011=0{,}989\).

Nach \(1{,}5\,\mathrm s\) ist der Kondensator also auf rund \(99\,\%\) der Quellenspannung aufgeladen (\(U\approx297\,\mathrm V\)). Die Herstellerangabe ist damit gerechtfertigt: \(1{,}5\,\mathrm s\) entsprechen etwa \(4{,}5\,\tau_1\), der Ladevorgang ist praktisch abgeschlossen.

Diagramm: \(t\)-Achse waagerecht (0 bis 60 s), \(U_C\)-Achse senkrecht (0 bis 9 V), sieben Messpunkte, verbunden durch eine glatte, nach rechts flacher werdende Kurve.

Beschreibung: Die Spannung beginnt bei \(9{,}0\,\mathrm V\) und fällt zunächst steil ab — in den ersten \(10\,\mathrm s\) um mehr als \(3\,\mathrm V\). Mit wachsender Zeit wird die Kurve immer flacher; zwischen \(50\,\mathrm s\) und \(60\,\mathrm s\) sinkt die Spannung nur noch um \(0{,}4\,\mathrm V\). Die Kurve nähert sich der Zeitachse an, ohne sie im Messbereich zu erreichen. Es handelt sich um eine monoton fallende Kurve mit abnehmender Steigung.

Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte (jeweils \(\Delta t=10\,\mathrm s\)): \(\frac{5{,}9}{9{,}0}=0{,}66\); \(\frac{3{,}8}{5{,}9}=0{,}64\); \(\frac{2{,}5}{3{,}8}=0{,}66\); \(\frac{1{,}6}{2{,}5}=0{,}64\); \(\frac{1{,}1}{1{,}6}=0{,}69\); \(\frac{0{,}70}{1{,}1}=0{,}64\).

Innerhalb der Ablesegenauigkeit ist der Quotient konstant (\(\approx0{,}65\)): In gleichen Zeitspannen fällt die Spannung stets auf denselben Bruchteil — das ist genau die Eigenschaft einer Exponentialfunktion \(U(t)=U_0\,e^{-t/\tau}\), denn \(\frac{U(t+\Delta t)}{U(t)}=e^{-\Delta t/\tau}\) hängt nicht von \(t\) ab. Bei einem linearen Abfall wäre dagegen die Differenz konstant; die Differenzen betragen hier aber \(3{,}1\,\mathrm V\), \(2{,}1\,\mathrm V\), \(1{,}3\,\mathrm V\), … und nehmen ab.

Weg über die Halbwertszeit: \(4{,}5\,\mathrm V\) liegen zwischen \(5{,}9\,\mathrm V\) (10 s) und \(3{,}8\,\mathrm V\) (20 s); lineare Interpolation liefert \(t_{1/2}\approx10\,\mathrm s+\frac{5{,}9-4{,}5}{5{,}9-3{,}8}\cdot10\,\mathrm s\approx17\,\mathrm s\). Daraus \(\displaystyle\tau=\frac{t_{1/2}}{\ln2}=\frac{17\,\mathrm s}{0{,}693}\approx24\,\mathrm s\).

Kontrolle über den 37-%-Wert: \(0{,}37\cdot9{,}0\,\mathrm V=3{,}3\,\mathrm V\) werden zwischen \(20\,\mathrm s\) und \(30\,\mathrm s\) erreicht, etwa bei \(t\approx24\,\mathrm s\). Rechnerisch mit dem Messwert bei \(30\,\mathrm s\): \(\tau=\frac{30\,\mathrm s}{\ln(9{,}0/2{,}5)}=\frac{30\,\mathrm s}{1{,}28}=23\,\mathrm s\).

Kapazität: \(\displaystyle C=\frac{\tau}{R}=\frac{24\,\mathrm s}{47\,000\,\Omega}=5{,}1\cdot10^{-4}\,\mathrm F\approx0{,}5\,\mathrm{mF}\). Wegen der Ableseungenauigkeit sind Werte zwischen \(0{,}47\,\mathrm{mF}\) und \(0{,}53\,\mathrm{mF}\) zu akzeptieren; der Kondensator hat den Nennwert \(500\,\mathrm{\mu F}\).

Mit \(\tau\approx23{,}5\,\mathrm s\): \(\displaystyle t=\tau\cdot\ln\frac{U_0}{U}=23{,}5\,\mathrm s\cdot\ln\frac{9{,}0\,\mathrm V}{0{,}10\,\mathrm V}=23{,}5\,\mathrm s\cdot4{,}50\approx1{,}1\cdot10^{2}\,\mathrm s\). Nach knapp zwei Minuten (etwa \(4{,}5\,\tau\)) ist die Spannung unter \(0{,}10\,\mathrm V\) gesunken.

Erläuterung: Der Faktor \(e^{-t/\tau}\) wird mit wachsendem \(t\) zwar beliebig klein, aber niemals null — eine Potenz von \(e\) ist stets positiv. Physikalisch: Je kleiner die Spannung, desto kleiner der Entladestrom \(I=\frac{U_C}{R}\), desto langsamer fließt die restliche Ladung ab. Der Vorgang bremst sich selbst aus. Für die Praxis gilt der Kondensator nach etwa \(5\tau\) (hier rund \(2\,\mathrm{min}\)) als entladen, weil die Restspannung dann unter \(1\,\%\) liegt.

Beschreibung: Die Stromstärke beginnt bei \(t=0\) mit ihrem größten Wert \(I_0=2{,}0\,\mathrm{mA}\) und nimmt monoton ab — anfangs steil (in der ersten Sekunde um etwa \(0{,}8\,\mathrm{mA}\)), später immer flacher. Nach \(6\,\mathrm s\) beträgt sie nur noch etwa \(0{,}1\,\mathrm{mA}\), nach \(10\,\mathrm s\) ist sie im Diagramm kaum noch von null zu unterscheiden. Der Graph nähert sich der Zeitachse an, ohne sie zu erreichen.

Erklärung: Zu jedem Zeitpunkt teilt sich die Quellenspannung auf Widerstand und Kondensator auf: \(U_0=U_R+U_C\). Den Strom durch den Widerstand bestimmt allein \(U_R\), denn \(I=\frac{U_R}{R}\). Zu Beginn ist der Kondensator ungeladen, \(U_C=0\), also liegt die volle Spannung am Widerstand und der Strom ist maximal. Jede ankommende Ladung erhöht \(U_C=\frac{Q}{C}\); weil \(U_0\) fest ist, bleibt für den Widerstand entsprechend weniger übrig: \(U_R=U_0-U_C\) sinkt, und mit ihr der Strom. Der Vorgang bremst sich selbst — je mehr Ladung schon da ist, desto langsamer kommt weitere hinzu.

Widerstand: Bei \(t=0\) gilt \(U_C=0\), also \(U_R=U_0\) und \(\displaystyle R=\frac{U_0}{I_0}=\frac{10\,\mathrm V}{2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm A}=5{,}0\,\mathrm{k\Omega}\).

Zeitkonstante: Nach \(\tau\) ist die Stromstärke auf \(\frac1e\cdot I_0\approx0{,}37\cdot2{,}0\,\mathrm{mA}=0{,}74\,\mathrm{mA}\) gefallen. Aus dem Diagramm: Dieser Wert wird bei \(t\approx2{,}0\,\mathrm s\) erreicht, also \(\tau\approx2{,}0\,\mathrm s\). (Alternativ über die Halbwertszeit: \(1{,}0\,\mathrm{mA}\) bei \(t\approx1{,}4\,\mathrm s\), \(\tau=\frac{1{,}4\,\mathrm s}{\ln2}\approx2{,}0\,\mathrm s\).)

Kapazität: \(\displaystyle C=\frac{\tau}{R}=\frac{2{,}0\,\mathrm s}{5000\,\Omega}=4{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm F=400\,\mathrm{\mu F}\). Ablesewerte für \(\tau\) zwischen \(1{,}8\,\mathrm s\) und \(2{,}2\,\mathrm s\) sind zu akzeptieren.

Weg 1 (Ladeformel): \(\displaystyle U_C=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=10\,\mathrm V\cdot\left(1-e^{-\frac{3{,}0\,\mathrm s}{2{,}0\,\mathrm s}}\right)=10\,\mathrm V\cdot(1-0{,}223)=7{,}8\,\mathrm V\).

Weg 2 (Spannungsbilanz): Stromstärke bei \(3{,}0\,\mathrm s\): \(I=I_0\,e^{-1{,}5}=2{,}0\,\mathrm{mA}\cdot0{,}223=0{,}45\,\mathrm{mA}\) (im Diagramm ablesbar). Spannung am Widerstand: \(U_R=R\cdot I=5000\,\Omega\cdot0{,}45\cdot10^{-3}\,\mathrm A=2{,}2\,\mathrm V\). Damit \(U_C=U_0-U_R=10\,\mathrm V-2{,}2\,\mathrm V=7{,}8\,\mathrm V\).

Beide Wege stimmen überein — der zweite benutzt nur das Diagramm, das ohmsche Gesetz und die Spannungsbilanz, nicht die Ladeformel.

Bedeutung der Fläche: Die Stromstärke ist die pro Zeit transportierte Ladung, \(I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\). In einem kleinen Zeitabschnitt fließt also die Ladung \(\Delta Q=I\cdot\Delta t\) — das ist die Fläche eines schmalen Streifens unter dem Graphen. Die gesamte Fläche zwischen Graph und Zeitachse ist daher die insgesamt auf den Kondensator geflossene Ladung \(Q\). Als Einheit passt \(\mathrm{mA}\cdot\mathrm s=\mathrm{mC}\).

Kästchenzählung: Ein Kästchen entspricht \(1\,\mathrm s\cdot0{,}5\,\mathrm{mA}=0{,}5\,\mathrm{mC}\). Unter der Kurve liegen etwa \(8\) Kästchen (Streifen von \(1\,\mathrm s\) Breite: rund \(1{,}6+1{,}0+0{,}6+0{,}35+0{,}2+0{,}15+0{,}1\) mA, Rest vernachlässigbar — Summe \(\approx4{,}0\,\mathrm{mA\cdot s}\)). Ergebnis: \(Q\approx4\,\mathrm{mC}\); Werte zwischen \(3{,}5\,\mathrm{mC}\) und \(4{,}5\,\mathrm{mC}\) sind zu akzeptieren.

Vergleich: Am Ende des Ladevorgangs trägt der Kondensator \(Q=C\cdot U_0=4{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm F\cdot10\,\mathrm V=4{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm C=4{,}0\,\mathrm{mC}\). Die Fläche unter dem Graphen liefert also genau die Ladung, die nach \(C=\frac{Q}{U}\) auf dem Kondensator sitzen muss — die Werte aus b) sind in sich stimmig. (Rechnerisch gilt für die Gesamtfläche \(Q=I_0\cdot\tau=2{,}0\,\mathrm{mA}\cdot2{,}0\,\mathrm s=4{,}0\,\mathrm{mC}\).)

Ansatz mit der Ladeformel: \(U_C(t_\text{S})=U_0\left(1-e^{-t_\text{S}/\tau}\right)\overset{!}{=}\tfrac23\,U_0\). Division durch \(U_0\): \(1-e^{-t_\text{S}/\tau}=\tfrac23\), also \(e^{-t_\text{S}/\tau}=\tfrac13\).

Logarithmieren: \(-\dfrac{t_\text{S}}{\tau}=\ln\tfrac13=-\ln3\), damit \(t_\text{S}=\tau\cdot\ln3\approx1{,}10\,\tau\).

Die Quellenspannung \(U_0\) hat sich beim Dividieren herausgekürzt: Weil die Schwelle als Bruchteil von \(U_0\) festgelegt ist, hängt die Schaltzeit nur von \(\tau=R\,C\) ab — die Schaltung reagiert nicht auf Schwankungen der Versorgungsspannung.

Zeitkonstante: \(\displaystyle\tau=\frac{t_\text{S}}{\ln3}=\frac{5{,}0\,\mathrm s}{1{,}099}=4{,}55\,\mathrm s\). Widerstand: \(\displaystyle R=\frac{\tau}{C}=\frac{4{,}55\,\mathrm s}{100\cdot10^{-6}\,\mathrm F}=4{,}55\cdot10^{4}\,\Omega\approx46\,\mathrm{k\Omega}\).

Anfangsstromstärke: \(\displaystyle I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{12\,\mathrm V}{4{,}55\cdot10^{4}\,\Omega}=2{,}6\cdot10^{-4}\,\mathrm A=0{,}26\,\mathrm{mA}\).

Wegen \(t_\text{S}=R\,C\ln3\) ist die Schaltzeit proportional zur Kapazität. Bei \(C_\text{min}=80\,\mathrm{\mu F}\): \(t_\text{S,min}=0{,}8\cdot5{,}0\,\mathrm s=4{,}0\,\mathrm s\); bei \(C_\text{max}=120\,\mathrm{\mu F}\): \(t_\text{S,max}=1{,}2\cdot5{,}0\,\mathrm s=6{,}0\,\mathrm s\). Die tatsächliche Verzögerung liegt also zwischen \(4{,}0\,\mathrm s\) und \(6{,}0\,\mathrm s\).

Beurteilung: Die größtmögliche Abweichung vom Sollwert beträgt \(1{,}0\,\mathrm s\) — sie liegt gerade noch innerhalb der Toleranz. Für ein Treppenlicht ist die Schaltung damit geeignet, allerdings ohne Reserve: Kommen weitere Abweichungen hinzu (Toleranz des Widerstands, Erwärmung), kann die Grenze überschritten werden. Da der Widerstand einstellbar ist, lässt sich die Verzögerung jedoch nach dem Zusammenbau einmalig auf \(5{,}0\,\mathrm s\) abgleichen — dann spielt die Kapazitätstoleranz keine Rolle mehr. Mit diesem Abgleich ist die Schaltung uneingeschränkt geeignet.

Der Vorschlag scheitert an der Physik des Ladevorgangs: Nach \(U_C(t)=U_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) nähert sich die Kondensatorspannung dem Wert \(U_0\) nur an, erreicht ihn aber nie, denn \(e^{-t/\tau}\) wird niemals null. Rechnerisch: Die Bedingung \(e^{-t_\text{S}/\tau}=0\) hat keine Lösung, \(t_\text{S}\) wäre „unendlich“ — die Lampe ginge nie an. Außerdem ist die Schaltzeit dann nicht mehr unabhängig von \(U_0\): Bereits ein geringes Absinken der Versorgungsspannung unter den Schwellenwert würde das Schalten vollständig verhindern.

Auch eine Schwelle knapp unterhalb von \(U_0\) (etwa \(0{,}99\,U_0\)) wäre unbrauchbar: Dort verläuft die Ladekurve fast waagerecht, sodass winzige Schwankungen der Schwelle oder der Spannung zu großen Änderungen der Schaltzeit führen (\(0{,}99\,U_0\) wird bei \(t=\tau\ln100\approx4{,}6\,\tau\) erreicht, \(0{,}98\,U_0\) schon bei \(3{,}9\,\tau\)). Eine längere Verzögerung erhält man zuverlässig nur über \(\tau\), also durch einen größeren Widerstand oder eine größere Kapazität. Die Schwelle bei \(\tfrac23\,U_0\) liegt bewusst im steilen Teil der Kurve, wo die Schaltzeit gut definiert ist.

Nachweis für Kondensator 1: Erwartete Zeitkonstante \(\tau_1=R\,C_1=1{,}0\cdot10^{5}\,\Omega\cdot1{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm F=10\,\mathrm s\). Nach \(\tau\) muss die Spannung auf \(0{,}37\cdot8{,}0\,\mathrm V\approx3{,}0\,\mathrm V\) gefallen sein. Im Diagramm erreicht Kurve 1 den Wert \(3{,}0\,\mathrm V\) bei \(t\approx10\,\mathrm s\) — der Aufdruck passt. (Ebenso über die Halbwertszeit: \(4{,}0\,\mathrm V\) bei \(t\approx7\,\mathrm s\), \(\tau_1=\frac{7\,\mathrm s}{0{,}693}\approx10\,\mathrm s\).)

Kondensator 2: Kurve 2 erreicht \(3{,}0\,\mathrm V\) bei \(t\approx25\,\mathrm s\), also \(\tau_2\approx25\,\mathrm s\) (Halbwertszeit \(\approx17\,\mathrm s\)). Daraus \(\displaystyle C_2=\frac{\tau_2}{R}=\frac{25\,\mathrm s}{1{,}0\cdot10^{5}\,\Omega}=2{,}5\cdot10^{-4}\,\mathrm F=250\,\mathrm{\mu F}\). Ablesewerte zwischen \(230\,\mathrm{\mu F}\) und \(270\,\mathrm{\mu F}\) sind zu akzeptieren.

Aussage 1 (Lena) ist richtig, einschließlich der Begründung. Bei gleicher Spannung gilt \(Q=C\,U_0\): Kondensator 2 trägt mit \(Q_2=250\,\mathrm{\mu F}\cdot8{,}0\,\mathrm V=2{,}0\,\mathrm{mC}\) zu Beginn das 2,5-Fache der Ladung von Kondensator 1 (\(Q_1=0{,}80\,\mathrm{mC}\)). Der Anfangsstrom ist tatsächlich bei beiden gleich, denn \(I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{8{,}0\,\mathrm V}{1{,}0\cdot10^{5}\,\Omega}=80\,\mathrm{\mu A}\) hängt nur von Spannung und Widerstand ab, nicht von der Kapazität. Mehr Ladung bei gleichem Anfangsstrom bedeutet eine längere Entladung — das zeigt sich in \(\tau=RC\): Die Zeitkonstante wächst proportional zur Kapazität.

Aussage 2 (Tarek) ist falsch. Die Voraussetzung ist bereits unzutreffend: Der Strom im ersten Moment wird allein von \(U_0\) und \(R\) bestimmt und ist für beide Kondensatoren gleich groß, \(80\,\mathrm{\mu A}\) — die größere Ladung ändert daran nichts, sie fließt nur länger. Auch der Schluss widerspricht dem Diagramm: Die Kurve von Kondensator 2 ist am Anfang flacher, nicht steiler. Das erklärt sich so: Der gleiche Anfangsstrom trägt pro Sekunde dieselbe Ladung ab, bei Kondensator 2 senkt das die Spannung aber weniger, weil \(\Delta U=\frac{\Delta Q}{C}\) und \(C_2\) größer ist. Größere Kapazität heißt also flachere Entladekurve.

Aufbau: Quelle, Umschalter, bekannter Widerstand \(R\) und der Kondensator werden wie in Aufgabe 2 geschaltet; das Voltmeter liegt parallel zum Kondensator. In Stellung 1 wird der Kondensator auf \(U_0\) aufgeladen (warten, bis das Voltmeter einen konstanten Wert zeigt).

Durchführung: Beim Umschalten in Stellung 2 die Stoppuhr starten und die Zeit \(t_{1/2}\) stoppen, bei der das Voltmeter genau die halbe Anfangsspannung \(\tfrac12U_0\) anzeigt. Um Reaktionszeitfehler zu verringern, wird die Messung mehrfach wiederholt und der Mittelwert gebildet; \(R\) sollte so groß gewählt werden, dass \(t_{1/2}\) mehrere Sekunden beträgt. Ergänzend lässt sich die Zeit bis \(\tfrac14U_0\) stoppen — sie muss doppelt so groß sein, was das exponentielle Verhalten bestätigt.

Auswertung: Aus \(t_{1/2}=\tau\ln2\) und \(\tau=RC\) folgt \(\displaystyle C=\frac{t_{1/2}}{R\,\ln2}\). Alternativ: die Zeit bis \(0{,}37\,U_0\) stoppen, sie ist direkt \(\tau\), und \(C=\frac{\tau}{R}\). Bei mehreren Messungen mit verschiedenen Widerständen kann man \(t_{1/2}\) über \(R\) auftragen; die Steigung der Ursprungsgeraden ist \(C\ln2\).

Das Voltmeter liegt parallel zum Kondensator und damit parallel zum Entladewiderstand: Ein Teil der Ladung fließt über das Gerät ab. Wirksam ist der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung, \(\displaystyle R_\text{ges}=\frac{R\cdot R_\text{V}}{R+R_\text{V}}=\frac{100\,\mathrm{k\Omega}\cdot1000\,\mathrm{k\Omega}}{1100\,\mathrm{k\Omega}}\approx91\,\mathrm{k\Omega}\). Die Zeitkonstante ist deshalb um rund \(9\,\%\) kleiner als \(RC\), die gestoppte Zeit entsprechend kürzer.

Beurteilung: Rechnet man mit dem Nennwert \(R=100\,\mathrm{k\Omega}\), ergibt sich \(C=\frac{\tau}{R}\) um etwa \(9\,\%\) zu klein — ein systematischer Fehler, der sich durch Wiederholen der Messung nicht verringert.

Verringern des Einflusses: Entweder rechnet man mit \(R_\text{ges}\) statt mit \(R\) (der Fehler lässt sich also korrigieren), oder man wählt den Entladewiderstand deutlich kleiner als \(R_\text{V}\) — bei \(R=10\,\mathrm{k\Omega}\) beträgt die Abweichung nur noch \(1\,\%\); dann wird allerdings \(\tau\) kürzer und die Stoppuhrmessung ungenauer, sodass ein Kompromiss nötig ist. Am besten ist ein Voltmeter mit möglichst hohem Innenwiderstand.