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Auf- und Entladen

Ein Kondensator lädt und entlädt sich nicht schlagartig, sondern exponentiell. Wie schnell, bestimmt allein die Zeitkonstante τ = R·C.

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Warum der Strom beim Laden nachlässt

Ein Kondensator lädt sich nie schlagartig auf: Er hängt immer an einem Widerstand — einem eingebauten oder dem der Zuleitungen — und der begrenzt den Strom. Deshalb braucht jeder Lade- und Entladevorgang Zeit.

  • Quelle:Liefert die konstante Spannung \(U_0\), auf die geladen werden soll.
  • Widerstand R:Begrenzt den Strom — er bestimmt zusammen mit \(C\) das Tempo.
  • Kondensator C:Nimmt die Ladung auf; mit jeder angekommenen Ladung wächst \(U_C\).
  • Umschalter:Eine Stellung lädt über die Quelle, die andere entlädt über denselben Widerstand.
Der Lade- und Entladekreis
1 2 Umschalter I(t) Stellung 1 — Laden: Quelle, R und C in Reihe Stellung 2 — Entladen: C entlädt sich über denselben R

Derselbe Widerstand \(R\) begrenzt beide Vorgänge. In Stellung 1 liegen Quelle, \(R\) und \(C\) in Reihe — der Kondensator lädt sich auf. In Stellung 2 ist die Quelle abgetrennt und \(C\) entlädt sich über \(R\). Weil \(R\) und \(C\) unverändert bleiben, laufen beide Vorgänge gleich schnell ab.

In jedem Augenblick teilt sich die Quellenspannung auf: \(U_0=U_R+U_C\). Am Anfang ist der Kondensator leer, die volle Spannung liegt am Widerstand — der Strom \(I=\dfrac{U_R}{R}\) ist maximal. Je mehr Ladung ankommt, desto größer wird \(U_C\) und desto weniger bleibt für \(U_R\). Der Strom bremst sich also selbst aus, und genau daraus entsteht die e-Funktion.

Die Spannungsbilanz \(U_0=U_R+U_C\) ist der Kern der Selbstbremsung — in einem einzigen Standbild lässt sie sich aber schlecht zeigen. Mit fortschreitender Zeit gehen die beiden Anteile ineinander über, während der Strom versiegt.

Spannungsbilanz beim Laden

Die Zeit ist in Vielfachen der Zeitkonstanten \(\tau\) angegeben — dadurch gilt das Bild für jede Kombination aus \(R\) und \(C\). Die beiden farbigen Anteile ergeben zusammen immer die volle Quellenspannung.

Der Ladekreis C +++ −−− UR = 10,0 V UC = 0,0 V I = 100 % von I0 Wie sich U₀ aufteilt U0 0 UR UC U₀ = UR + UC 0τ2τ3τ4τ5τ Zeit
Zeitpunkt
0,00 τ
UR am Widerstand
10,0 V
UC am Kondensator
0,0 V
Strom I / I₀
100 %

Gezeigt ist der Ladevorgang. Beim Entladen ist die Quelle abgetrennt: Dann treibt allein der Kondensator den Strom, und es gilt \(U_R=U_C\) — beide Spannungen fallen gemeinsam auf null. Der Strom folgt in beiden Fällen derselben e-Funktion.

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Der exponentielle Verlauf und τ = R·C

Beim Entladen sinkt die Spannung von \(U_0\) ausgehend immer langsamer gegen null, beim Laden steigt sie von null gegen \(U_0\). Der Anfang ist steil, das Ende fast waagerecht — weil anfangs viel Strom fließt und später kaum noch.

Formel

Entladen / Laden

Entladen:  \(U(t)=U_0\,e^{-\frac{t}{RC}}\)
Laden:  \(U(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)\)
\(U(t)\): Spannung am Kondensator zur Zeit \(t\), \([U]=\mathrm V\); \(U_0\): Quellenspannung bzw. Anfangsspannung; \(t\): Zeit seit dem Umschalten, \([t]=\mathrm s\).
Laden und Entladen im direkten Vergleich
Laden U0 0,63·U0 0 τ t U Nach einem τ sind 63 % erreicht. Entladen U0 0,37·U0 0 τ t U Nach einem τ sind noch 37 % übrig.

Beide Kurven sind spiegelbildlich zueinander: Was beim Entladen abgebaut wird, wird beim Laden aufgebaut. Die Zeitkonstante \(\tau\) ist in beiden Fällen dieselbe — sie legt nur fest, wie weit man auf der Zeitachse nach rechts gehen muss.

Das Produkt \(\tau=R\cdot C\) hat die Einheit Sekunde (\([\tau]=\mathrm{s}\)) und ist das Maß für das Tempo: Nach \(\tau\) ist die Entladespannung auf \(\tfrac{1}{e}\approx37\%\) gefallen (beim Laden auf \(63\%\) gestiegen).

Formel

Zeitkonstante

\(\tau=R\cdot C\)
\(R\): Widerstand, \([R]=\Omega\); \(C\): Kapazität, \([C]=\mathrm F\); \(\tau\): Zeitkonstante, \([\tau]=\mathrm s\). Zur Probe: \(1\,\Omega\cdot1\,\mathrm F=1\,\mathrm s\).
Merke

Die Zeitkonstante: \(\tau=R\cdot C\) ist das Tempomaß jedes Lade- und Entladevorgangs: nach \(\tau\) sind noch \(37\,\%\) übrig, nach \(5\,\tau\) ist er praktisch beendet. \(\tau\) hängt nur von R und C ab — nicht von der Anfangsspannung.

  • τ ist das Tempo:Großes \(\tau\) bedeutet langsam, kleines \(\tau\) schnell — unabhängig von \(U_0\).
  • Zwei Wege zum Ziel:\(\tau\) lässt sich über \(R\) oder über \(C\) einstellen; beide gehen als Faktor ein.
  • Auch der Strom:\(I(t)\) folgt derselben Zeitkonstante — mehr dazu in Abschnitt 3.
  • Kein sauberes Ende:Rechnerisch wird die Spannung nie exakt null bzw. nie exakt \(U_0\) — sie kommt nur beliebig nahe heran.
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Der Strom über die Zeit

Bisher stand die Spannung im Mittelpunkt. Im Experiment misst man aber meist die Stromstärke — und die verhält sich anders, als viele erwarten: Sie fällt bei beiden Vorgängen, beim Laden genauso wie beim Entladen. Am Anfang ist der Kondensator noch leer, die volle Spannung \(U_0\) liegt am Widerstand, und es fließt der größtmögliche Strom \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\). Danach nimmt er ab — nach genau derselben e-Funktion wie zuvor die Spannung.

Formel

Der t-I-Zusammenhang

\(I(t)=I_0\,e^{-\frac{t}{RC}}\qquad\text{mit}\qquad I_0=\dfrac{U_0}{R}\)
\(I_0\): Anfangsstromstärke, \([I]=\mathrm A\); \(\tau=R\,C\): Zeitkonstante, \([\tau]=\mathrm s\). Dieselbe Gleichung gilt für den Lade- und den Entladevorgang.
Die Stromstärke fällt in beiden Fällen
Laden I0 0,37·I0 0 I t τ Strom fließt zum Kondensator Entladen I0 0,37·I0 0 I t τ Strom fließt vom Kondensator weg Gleiche Kurvenform, gleiche Zeitkonstante — nur die Stromrichtung dreht sich um.

Beide Kurven starten bei \(I_0\) und fallen exponentiell. Nach \(\tau\) sind noch 37 % übrig — genau wie bei der Entladespannung. Der einzige Unterschied zwischen Laden und Entladen ist die Richtung, in der der Strom durch den Widerstand fließt.

  • Immer fallend:\(I(t)\) beginnt bei \(I_0\) und sinkt — auch beim Laden, obwohl \(U_C\) dabei steigt.
  • Start als Kurzschluss:Im ersten Moment ist \(U_C=0\), die ganze Spannung fällt an \(R\) ab: \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\).
  • Dieselbe Zeitkonstante:\(\tau=R\,C\) steuert Spannung und Strom gemeinsam; nach \(\tau\) sind \(37\,\%\) von \(I_0\) übrig.
  • Nur die Richtung dreht:Beim Entladen fließt der Strom rückwärts durch \(R\) — der Betrag folgt derselben e-Funktion.

Vom Bauteilwert zur Stromstärke

Laden über R = 2,0 kΩ auf U₀ = 12 V, Kapazität C = 500 µF.

Zeitkonstante\(\tau=R\,C=2000\,\Omega\cdot500\cdot10^{-6}\,\mathrm F=1{,}0\,\mathrm s\)
Anfangsstrom\(I_0=\dfrac{U_0}{R}=\dfrac{12\,\mathrm V}{2000\,\Omega}=6{,}0\,\mathrm{mA}\)
Strom nach τ\(I(\tau)=I_0\,e^{-1}=6{,}0\,\mathrm{mA}\cdot0{,}368\approx2{,}2\,\mathrm{mA}\)
Strom nach 3 s\(I(3\,\mathrm s)=6{,}0\,\mathrm{mA}\cdot e^{-3}\approx0{,}30\,\mathrm{mA}\)

Umgekehrt lässt sich aus einem gemessenen t-I-Diagramm die Schaltung zurückrechnen: Der Achsenabschnitt bei \(t=0\) liefert \(I_0\) und damit über \(R=\dfrac{U_0}{I_0}\) den Widerstand; die Zeit, nach der die Kurve auf 37 % gefallen ist, liefert \(\tau\) und damit \(C=\dfrac{\tau}{R}\). Genau das ist die übliche Auswertung im Praktikum.

Spannung und Stromstärke gehorchen derselben Zeitkonstanten — im Diagramm sieht man das am besten nebeneinander. Der Messcursor zeigt zu einem beliebigen Zeitpunkt, was an \(R\), \(C\) und \(U_0\) wirklich anliegt.

Lade- und Entladekurve

Die Zeitachse passt sich automatisch an: Sie reicht immer bis \(5\tau\), damit der ganze Vorgang sichtbar bleibt. Die gestrichelte Marke sitzt bei \(\tau\), der rote Cursor lässt sich frei verschieben, und die orange Kurve ist die Stromstärke mit eigener Achse rechts.

U in V I in mA t 02,55,07,510,0 00,51,01,52,0 0τ2τ3τ4τ5τ 0 s2,0 s4,0 s6,0 s8,0 s10,0 s nach τ noch 37 % t = 0 s · U = 10,0 V U(t)I(t)
τ = R · C
2,0 s
Zeitpunkt t
0 s
U am Kondensator
10,0 V
Anteil von U₀
100 %
Stromstärke I
1,00 mA

Modell: Zuleitungen und Messgerät gelten als widerstandsfrei, der Kondensator als verlustfrei. In der Praxis entlädt sich ein realer Kondensator auch ohne angeschlossenen Widerstand langsam von selbst — über seinen Isolationswiderstand. Beachte außerdem: \(U(t)\) und \(I(t)\) haben verschiedene Einheiten und deshalb zwei getrennte Achsen; dass beide Kurven beim Entladen aufeinanderliegen, ist eine Folge der gleichen Zeitkonstanten, nicht der gleichen Größe.

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Von τ zur Halbwertszeit

37 % sind keine runde Marke. Häufig fragt man deshalb nach der Halbwertszeit \(t_{1/2}\). Man setzt in \(U(t)=U_0e^{-\frac{t}{\tau}}\) den halben Wert ein: Nach Kürzen von \(U_0\) bleibt \(\tfrac12=e^{-\frac{t}{\tau}}\), Logarithmieren liefert \(-\ln 2=-\dfrac{t}{\tau}\).

Formel

Halbwertszeit

\(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\approx 0{,}69\cdot\tau\)
\(t_{1/2}\): Zeit bis zur halben Spannung, \(\tau=R\,C\): Zeitkonstante
Jede Halbwertszeit halbiert erneut
U t U0U0/2U0/4U0/8 t1/22·t1/23·t1/2 gleich lange Abschnitte — jedes Mal die Hälfte t1/2 = τ · ln 2 ≈ 0,69 · τ

Die Halbwertszeit ist immer gleich lang — egal, von welchem Wert aus man startet. Genau das ist die Eigenart der e-Funktion: Aus \(U_0\) wird \(U_0/2\), daraus \(U_0/4\), daraus \(U_0/8\). Deshalb erreicht die Spannung rechnerisch nie exakt null.

Zeitkonstante und Halbwertszeit

Entladung über R = 10 kΩ und C = 100 µF.

Zeitkonstante\(\tau=R\,C=10^{4}\cdot10^{-4}=1{,}0\,\mathrm s\)
Halbe Spannung\(t_{1/2}=\tau\cdot\ln2\approx0{,}69\,\mathrm s\)
Nach τ\(U(\tau)=U_0\cdot e^{-1}\approx0{,}37\,U_0\)

Soll umgekehrt die Zeit gesucht werden, stellt man dieselbe Gleichung um: aus \(U=U_0e^{-\frac{t}{\tau}}\) folgt \(t=\tau\cdot\ln\dfrac{U_0}{U}\). Der Bruch steht dabei immer „groß durch klein“ — sonst wird das Ergebnis negativ und damit unsinnig.

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Allgemeine Hinweise

Auch beim Laden fällt I

\(I(t)=I_0e^{-t/RC}\) gilt für beide Vorgänge: Der Strom sinkt auch beim Laden, obwohl \(U_C\) dabei steigt. Nur die Stromrichtung durch \(R\) unterscheidet Laden und Entladen.

τ nur in Grundeinheiten

\(\tau=R\,C\) verlangt Ohm und Farad: \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\cdot1000\,\mu\mathrm F=4{,}7\,\mathrm s\). Wer \(\mathrm{k\Omega}\) und \(\mu\mathrm F\) direkt multipliziert, verfehlt das Ergebnis um Zehnerpotenzen.

37 Prozent und 63 Prozent

Nach einem \(\tau\) sind beim Entladen noch \(37\,\%\) übrig, beim Laden schon \(63\,\%\) erreicht — und \(\tau\) hängt nur von \(R\) und \(C\) ab, nie von \(U_0\).

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