Spektrallinien eines Atoms berechnen
AFB IIMaterial M1 zeigt das Energieniveauschema eines Atoms X mit vier gebundenen Zuständen. Zwischen je zwei Niveaus ist ein Übergang möglich; beim Sprung nach unten wird die Energiedifferenz vollständig als Photon abgegeben. Rechnen Sie mit \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\) und \(1\,\mathrm{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{J}\); der sichtbare Bereich reicht von etwa \(380\,\mathrm{nm}\) bis \(780\,\mathrm{nm}\).
- Berechnen Sie Energie und Wellenlänge des Photons für den in M1 eingezeichneten Übergang \(4\to 1\). Geben Sie die Energie zusätzlich in Joule an.
- Bestimmen Sie, welcher der insgesamt sechs möglichen Übergänge eine Linie im sichtbaren Bereich erzeugt.
- Berechnen Sie die Energie, die nötig ist, um das Atom aus dem Zustand \(n=2\) zu ionisieren, sowie die zugehörige Grenzwellenlänge.
- Begründen Sie, warum die drei Übergänge mit dem Zielniveau \(n=1\) sämtlich im Ultravioletten liegen, ohne jede einzelne Wellenlänge auszurechnen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Niveauwerte aus M1: \(E_4=-1{,}70\,\mathrm{eV}\), \(E_1=-10{,}40\,\mathrm{eV}\).
Ansatz: \(\Delta E=E_4-E_1=-1{,}70\,\mathrm{eV}-(-10{,}40\,\mathrm{eV})=8{,}70\,\mathrm{eV}\).
Wellenlänge: \(\lambda=\dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{8{,}70\,\mathrm{eV}}\approx 143\,\mathrm{nm}\).
In Joule: \(8{,}70\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{J}\approx 1{,}39\cdot10^{-18}\,\mathrm{J}\).
Mit \(143\,\mathrm{nm}\ll 380\,\mathrm{nm}\) liegt die Linie deutlich im Ultravioletten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die sechs Differenzen und die zugehörigen Wellenlängen:
\(2\to1{:}\ 4{,}60\,\mathrm{eV}\ (270\,\mathrm{nm})\); \(3\to1{:}\ 7{,}30\,\mathrm{eV}\ (170\,\mathrm{nm})\); \(4\to1{:}\ 8{,}70\,\mathrm{eV}\ (143\,\mathrm{nm})\); \(3\to2{:}\ 2{,}70\,\mathrm{eV}\ (459\,\mathrm{nm})\); \(4\to2{:}\ 4{,}10\,\mathrm{eV}\ (302\,\mathrm{nm})\); \(4\to3{:}\ 1{,}40\,\mathrm{eV}\ (886\,\mathrm{nm})\).
Nur \(3\to2\) mit \(459\,\mathrm{nm}\) liegt im Fenster von \(380\,\mathrm{nm}\) bis \(780\,\mathrm{nm}\) — die Linie erscheint blau. \(4\to3\) liegt bereits im Infraroten, alle übrigen im Ultravioletten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ionisieren aus \(n=2\) bedeutet, das Elektron von \(E_2=-5{,}80\,\mathrm{eV}\) auf \(E=0\) zu heben.
Erforderliche Energie: \(\Delta E=0-(-5{,}80\,\mathrm{eV})=5{,}80\,\mathrm{eV}\).
Grenzwellenlänge: \(\lambda=\dfrac{1240}{5{,}80}\,\mathrm{nm}\approx 214\,\mathrm{nm}\).
Photonen mit \(\lambda\le 214\,\mathrm{nm}\) können das angeregte Atom also ionisieren; längerwelliges Licht reicht dafür nicht aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der kleinstmögliche Sprung mit Zielniveau \(n=1\) ist \(2\to1\). Er liefert bereits \(\Delta E=4{,}60\,\mathrm{eV}\) und damit \(\lambda=\tfrac{1240}{4{,}60}\,\mathrm{nm}\approx 270\,\mathrm{nm}\).
Für sichtbares Licht wären höchstens \(\tfrac{1240}{380}\approx 3{,}26\,\mathrm{eV}\) zulässig — die \(4{,}60\,\mathrm{eV}\) liegen deutlich darüber.
Alle weiteren Übergänge auf \(n=1\) starten von noch höheren Niveaus und besitzen daher eine noch größere Energiedifferenz. Wegen \(\lambda=\tfrac{hc}{\Delta E}\) wird ihre Wellenlänge damit noch kleiner.
Fazit: Da schon der günstigste Fall das sichtbare Fenster verfehlt und alle anderen ihn übertreffen, liegt die gesamte Serie im UV. Ausschlaggebend ist die große Lücke zwischen \(n=1\) und allen übrigen Niveaus.
Das Spektrum einer Quecksilberlampe auswerten
AFB IIIAn einer Quecksilberdampflampe werden sechs Spektrallinien gemessen (M2, M3). Die Lampe wird mit einer Gasentladung betrieben; beschleunigte Elektronen regen die Quecksilberatome durch Stöße an. Aus dem Franck-Hertz-Versuch ist für Quecksilber eine Anregungsenergie von \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) bekannt. Rechnen Sie mit \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\); sichtbares Licht reicht von etwa \(380\,\mathrm{nm}\) bis \(780\,\mathrm{nm}\).
| Linie | Wellenlänge λ in nm | relative Helligkeit |
|---|---|---|
| 1 | 254 | sehr stark |
| 2 | 365 | stark |
| 3 | 405 | mittel |
| 4 | 436 | stark |
| 5 | 546 | sehr stark |
| 6 | 579 | stark |
- Berechnen Sie die Photonenenergien der Linien 1 und 5 und bestimmen Sie, welche der sechs Linien mit bloßem Auge sichtbar sind.
- Werten Sie aus Sie den Zusammenhang zwischen der Photonenenergie der Linie 1 und dem aus dem Franck-Hertz-Versuch bekannten Wert.
- Entwickeln Sie aus den Energien der Linien 4, 5 und 6 eine Aussage darüber, wie eng die beteiligten Energieniveaus beieinanderliegen müssen.
- Ein Schüler behauptet: „Erhöht man die Betriebsspannung der Lampe, so verschieben sich alle Linien zu kleineren Wellenlängen, weil die Elektronen mehr Energie mitbringen.“ Beurteilen Sie diese Behauptung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Linie 1: \(\Delta E=\dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{254\,\mathrm{nm}}\approx 4{,}88\,\mathrm{eV}\).
Linie 5: \(\Delta E=\dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{546\,\mathrm{nm}}\approx 2{,}27\,\mathrm{eV}\).
Sichtbar sind die Linien mit \(380\,\mathrm{nm}\le\lambda\le 780\,\mathrm{nm}\): das sind Linie 3 (405 nm, violett), Linie 4 (436 nm, blau), Linie 5 (546 nm, grün) und Linie 6 (579 nm, gelb). Die Linien 1 (254 nm) und 2 (365 nm) liegen im Ultravioletten und bleiben unsichtbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Photonenenergie der Linie 1 beträgt \(4{,}88\,\mathrm{eV}\) und stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit der Anregungsenergie \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) aus dem Franck-Hertz-Versuch überein.
Beide Experimente messen also dieselbe Größe auf ganz verschiedenen Wegen: Im Franck-Hertz-Versuch wird die Energie beim Stoß aufgenommen und äußert sich als Einbruch der Stromstärke; hier wird dieselbe Energie beim Rücksprung wieder abgegeben und äußert sich als Spektrallinie.
Das ist ein starkes Argument für die Quantisierung: Die \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) sind keine Eigenschaft des Messverfahrens, sondern eine Eigenschaft des Quecksilberatoms selbst.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Energien: Linie 4: \(\tfrac{1240}{436}\approx 2{,}84\,\mathrm{eV}\); Linie 5: \(2{,}27\,\mathrm{eV}\); Linie 6: \(\tfrac{1240}{579}\approx 2{,}14\,\mathrm{eV}\).
Differenzen: \(2{,}84-2{,}27=0{,}57\,\mathrm{eV}\) und \(2{,}27-2{,}14=0{,}13\,\mathrm{eV}\).
Besonders die letzten beiden Linien unterscheiden sich um nur \(0{,}13\,\mathrm{eV}\) — das sind knapp \(6\,\%\) ihrer eigenen Energie. Die beteiligten Energieniveaus liegen also sehr dicht beieinander, obwohl die Linien im Spektrum als klar getrennte Farben erscheinen.
Folgerung: Das Termschema des Quecksilbers besitzt im oberen Bereich eng benachbarte Niveaus. Ein Spektrometer kann Energieunterschiede von einigen Hundertstel Elektronenvolt sichtbar machen und ist damit wesentlich feiner als der Franck-Hertz-Versuch, dessen Minima nur auf etwa \(0{,}1\,\mathrm{V}\) genau ablesbar sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist falsch.
Die Wellenlänge einer Emissionslinie ist durch die Differenz zweier Energieniveaus des Atoms festgelegt: \(\lambda=\tfrac{hc}{E_\text{hoch}-E_\text{tief}}\). Diese Niveaus sind Eigenschaften des Quecksilberatoms und ändern sich nicht, wenn man von außen die Spannung erhöht.
Eine höhere Betriebsspannung wirkt sich anders aus: Die stoßenden Elektronen können höher liegende Zustände erreichen. Dadurch treten zusätzliche Linien auf, und die vorhandenen werden heller, weil pro Sekunde mehr Atome angeregt werden. Die Lage der bereits vorhandenen Linien bleibt jedoch exakt gleich.
Der Denkfehler besteht darin, die Energie der Elektronen mit der Energie der Photonen gleichzusetzen. Überschüssige Stoßenergie bleibt als kinetische Energie beim Elektron und wird nicht als Licht abgestrahlt — genau das zeigt schon der Franck-Hertz-Versuch, bei dem die Anregung stets in festen Portionen von \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) erfolgt.
Urteil: Die Aussage verwechselt Intensität und Linienzahl mit Linienlage. Richtig ist: Mehr Spannung liefert mehr und hellere Linien, aber keine verschobenen.