Wellenlänge aus Energieniveau

Erklärung — von der Energiedifferenz zur Wellenlänge

Der Rechenweg in drei Schritten

Jede Spektrallinie lässt sich aus zwei Zahlen des Termschemas berechnen — mehr braucht man nicht:

1. Niveaus ablesen:Notiere \(E_\text{hoch}\) und \(E_\text{tief}\) mit Vorzeichen, so wie sie im Schema stehen.
2. Differenz bilden:\(\Delta E=E_\text{hoch}-E_\text{tief}\). Das Ergebnis ist stets positiv, denn das obere Niveau hat den kleineren Betrag.
3. Umrechnen:\(\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}\). Mit \(\Delta E\) in eV und \(\lambda\) in nm gilt kurz \(hc=1240\,\text{eV⋅nm}\).

Die Merkzahl 1240

Die Zahl \(1240\) ist keine Naturkonstante für sich, sondern nur eine bequeme Schreibweise:

Herkunft:\(h\cdot c=6{,}626\cdot10^{-34}\,\text{Js}\cdot 2{,}998\cdot10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}=1{,}986\cdot10^{-25}\,\text{Jm}\). Umgerechnet in eV und nm ergibt das \(1240\,\text{eV⋅nm}\).
Gültigkeit:Die Merkzahl gilt nur, wenn \(\Delta E\) in eV und \(\lambda\) in nm eingesetzt wird. In SI-Einheiten rechnet man mit \(\lambda=\tfrac{hc}{\Delta E}\) und \(1\,\text{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}\).
Rückwärts:Genauso oft ist die Wellenlänge gemessen und die Energie gesucht: \(\Delta E=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\lambda}\).

Wellenlänge, Frequenz, Farbe

Neben der Wellenlänge lässt sich sofort auch die Frequenz angeben — und damit die Lage im Spektrum:

Frequenz:\(f=\dfrac{c}{\lambda}\), also \(f=\dfrac{\Delta E}{h}\). Große Energie bedeutet hohe Frequenz und kurze Welle.
Sichtbares Fenster:Etwa \(380\,\text{nm}\) bis \(780\,\text{nm}\) — das entspricht \(3{,}26\,\text{eV}\) bis \(1{,}59\,\text{eV}\).
Außerhalb:Mehr als \(3{,}26\,\text{eV}\) ergibt Ultraviolett, weniger als \(1{,}59\,\text{eV}\) Infrarot — beides für das Auge unsichtbar.

Energiedifferenz \(\Delta E\) und Wellenlänge \(\lambda\) sind gekoppelt: Die Marke im Wellenlängenband folgt \(\Delta E\) — und umgekehrt. Je kleiner die Energie, desto schneller wächst die Wellenlänge.

UV (unter 380 nm)sichtbarIR (über 780 nm)

Energiedifferenz ΔE

2,55 eV

Wellenlänge λ

486 nm

Diese Energie fällt in das schmale sichtbare Fenster von etwa 380 nm bis 780 nm – die Linie hat eine erkennbare Farbe.

Energie \(\Delta E\)	–
Energie in Joule	–
Wellenlänge \(\lambda\)	–
Frequenz \(f\)	–
Bereich	–

Von der Energiedifferenz zur Wellenlänge

\(\Delta E=E_\text{hoch}-E_\text{tief}\qquad \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta E}\qquad f=\dfrac{c}{\lambda}\)

\(\Delta E\) ist die Energie des Photons (in eV), \(\lambda\) seine Wellenlänge (in nm) und \(f\) seine Frequenz. \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\text{Js}\) ist das Plancksche Wirkungsquantum, \(c=2{,}998\cdot10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) die Lichtgeschwindigkeit. Umrechnung: \(1\,\text{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}\).

So rechnest du vom Schema zur Farbe

Im Natriumatom liegt ein angeregtes Niveau bei \(E_\text{hoch}=-3{,}03\,\text{eV}\), der Grundzustand bei \(E_\text{tief}=-5{,}14\,\text{eV}\). Welche Wellenlänge hat die Linie?

Schritt 1 — komplett vorgemachtDifferenz bilden: \(\Delta E=-3{,}03\,\text{eV}-(-5{,}14\,\text{eV})=2{,}11\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeSetze \(\Delta E\) in \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta E}\) ein und vergleiche mit dem sichtbaren Fenster.

Schritt 3 — jetzt du\(\lambda=\tfrac{1240}{2{,}11}\approx 588\,\text{nm}\) — gelb. Das ist die bekannte Natrium-D-Linie der Straßenlaternen.

So rechnest du rückwärts

Eine Quecksilberlampe sendet eine kräftige Linie bei \(\lambda=254\,\text{nm}\) aus. Welche Energie hat ein solches Photon — in eV und in Joule?

Schritt 1 — komplett vorgemachtEnergie aus der Wellenlänge: \(\Delta E=\tfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{254\,\text{nm}}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeRechne den Bruch aus und multipliziere anschließend mit \(1{,}602\cdot10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}\).

Schritt 3 — jetzt du\(\Delta E\approx 4{,}88\,\text{eV}\), also \(4{,}88\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}\approx 7{,}8\cdot10^{-19}\,\text{J}\). Wegen \(254\,\text{nm}<380\,\text{nm}\) liegt die Linie im UV.

Allgemeine Hinweise

Die 1240 nur mit eV und nm

Die Merkzahl \(hc=1240\,\text{eV⋅nm}\) funktioniert ausschließlich in diesem Einheitenpaar. Wer Meter oder Joule einsetzt, landet um viele Zehnerpotenzen daneben.

Vorzeichen zuerst klären

Die Niveaus sind negativ, \(\Delta E\) ist positiv. Am sichersten rechnest du mit den Beträgen: \(\Delta E=|E_\text{tief}|-|E_\text{hoch}|\).

Ergebnis auf Plausibilität prüfen

Sichtbares Licht liegt zwischen \(1{,}6\,\text{eV}\) und \(3{,}3\,\text{eV}\). Kommt bei einer „grünen“ Linie \(12\,\text{eV}\) heraus, steckt fast immer ein Rechen- oder Einheitenfehler dahinter.

Vertiefung

Mit den folgenden Angeboten kannst du eigene Zahlenwerte durchspielen und deine Ergebnisse gegenprüfen. Achte besonders darauf, wie stark sich die Wellenlänge ändert, wenn \(\Delta E\) klein wird.