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AbituraufgabenQuantisierung der Gesamtenergie

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Licht aus einer Wasserstoff-Gasentladungsröhre

AFB II

In einer Gasentladungsröhre wird verdünnter Wasserstoff durch Elektronenstöße zum Leuchten gebracht. Betrachtet man das ausgesandte Licht durch ein Gitter, so sieht man kein durchgehendes Farbband, sondern einzelne scharfe farbige Linien. Material M1 zeigt die Energieniveaus des Wasserstoffatoms. Rechnen Sie mit \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).

M1Energieniveauschema des Wasserstoffatoms
E in eVIonisierungsgrenze E = 0 (Elektron frei)n = 1−13,60 eVn = 2−3,40 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVÜbergang 4 → 2Übergang 3 → 2Wasserstoff — die fünf untersten Niveaus
  1. Geben Sie die Beziehung zwischen der Energie eines ausgesandten Photons und den beteiligten Energieniveaus an und erläutern Sie, was das negative Vorzeichen der Niveauenergien bedeutet.
  2. Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang von \(n=4\) auf \(n=2\) ausgesandt wird.
  3. Ein Photon der Energie \(E_\text{Ph}=2{,}0\,\mathrm{eV}\) trifft auf ein Wasserstoffatom, dessen Elektron sich im Zustand \(n=2\) befindet. Entscheiden Sie begründet, ob dieses Photon absorbiert wird.
  4. Erklären Sie, warum das Leuchten der Röhre ein Linienspektrum und kein lückenloses Farbband ergibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Photon nimmt genau die Energie mit, die das Atom beim Sprung verliert. Nenne dazu beide beteiligten Niveaus. Der Nullpunkt der Energieskala ist so gewählt, dass ein gerade freies Elektron die Energie \(E=0\) hat.„Geben Sie an“ verlangt nur die Beziehung selbst — eine Herleitung ist nicht gefordert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Lies \(E_4\) und \(E_2\) aus M1 ab und bilde die Differenz. Achte auf das doppelte Minuszeichen. Für die Wellenlänge hilft \(\lambda=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{\Delta E}\) — \(\Delta E\) in eV eingesetzt, \(\lambda\) kommt in nm heraus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe alle Sprünge, die von \(n=2\) aus nach oben führen: \(2\to3\), \(2\to4\), \(2\to5\). Vergleiche die zugehörigen Energiedifferenzen mit \(2{,}0\,\mathrm{eV}\).„Entscheiden“ verlangt eine klare Festlegung — und die Abwägung, die dazu geführt hat.
Hinweis zu Aufgabe d)
Überlege, welches Spektrum entstünde, wenn das Elektron jede beliebige Energie annehmen dürfte. Welche Energiedifferenzen wären dann möglich?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Beim Übergang von einem höheren Niveau \(n\) auf ein tieferes Niveau \(m\) gilt \(\Delta E = E_n - E_m = h\,f = \dfrac{h\,c}{\lambda}\). Das Photon trägt also genau die Differenz der beiden Niveauenergien.

Alle Niveauenergien sind negativ, weil das Elektron im Atom gebunden ist: Man müsste Energie zuführen, um es zu entfernen. Der Nullpunkt \(E_\infty = 0\) entspricht dem gerade freien Elektron (Ionisierungsgrenze); ein Niveau von \(-3{,}40\,\mathrm{eV}\) bedeutet, dass \(3{,}40\,\mathrm{eV}\) zur Ionisierung nötig sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ablesen: \(E_4=-0{,}85\,\mathrm{eV}\), \(E_2=-3{,}40\,\mathrm{eV}\).

Ansatz: \(\Delta E = E_4 - E_2 = -0{,}85\,\mathrm{eV} - (-3{,}40\,\mathrm{eV}) = 2{,}55\,\mathrm{eV}\).

Wellenlänge: \(\lambda = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{2{,}55\,\mathrm{eV}} \approx 486\,\mathrm{nm}\) — eine blaugrüne Linie im sichtbaren Bereich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mögliche Sprünge von \(n=2\) aus: \(E_3-E_2 = -1{,}51-(-3{,}40)=1{,}89\,\mathrm{eV}\); \(E_4-E_2 = 2{,}55\,\mathrm{eV}\); \(E_5-E_2 = -0{,}54-(-3{,}40)=2{,}86\,\mathrm{eV}\).

Keine dieser Differenzen beträgt \(2{,}0\,\mathrm{eV}\). Zur Ionisierung aus \(n=2\) wären \(3{,}40\,\mathrm{eV}\) nötig — auch das reicht nicht. Das Photon wird nicht absorbiert; es läuft ungehindert am Atom vorbei. Eine teilweise Aufnahme der Energie gibt es nicht: Die Bedingung \(E_\text{Ph}=\Delta E\) ist scharf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Das Elektron kann nur ganz bestimmte, diskrete Energien besitzen. Damit sind auch nur ganz bestimmte Energiedifferenzen möglich, und weil \(\Delta E\) die Wellenlänge festlegt, tritt jede Farbe nur bei diesen wenigen Werten auf — man sieht scharfe Linien.

Dürfte das Elektron dagegen jede beliebige Energie annehmen (klassische Vorstellung), wären beliebige Differenzen möglich und das Spektrum wäre lückenlos. Das beobachtete Linienspektrum ist deshalb ein direkter experimenteller Beleg für die Quantisierung der Gesamtenergie in der Atomhülle.

2

Angeregter Wasserstoff in einer Sternatmosphäre

AFB III

In der äußeren Atmosphäre eines Sterns ist ein Teil der Wasserstoffatome so heiß, dass sich ihre Elektronen bereits im angeregten Zustand \(n=2\) befinden. Aus dem Sterninneren treffen ständig Photonen unterschiedlichster Energie auf diese Atome. Material M1 zeigt das Energieniveauschema, Material M2 zwei Aussagen aus einer Kursdiskussion.

M1Energieniveaus und Ionisierungsgrenze
E in eVIonisierungsgrenze E = 0 (Elektron frei)n = 1−13,60 eVn = 2−3,40 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVIonisierung aus n = 2Ionisierung eines angeregten Wasserstoffatoms
M2Zwei Aussagen aus dem Kurs
NNora„Ein Photon, dessen Energie zu keinem Übergang passt,kann von einem Atom niemals aufgenommen werden.“JJonas„Weil die Niveaus nach oben immer enger liegen, lässt sichein Atom aus n = 4 leichter ionisieren als aus n = 1.“
  1. Berechnen Sie die Energie, die mindestens nötig ist, um ein Wasserstoffatom aus dem Zustand \(n=2\) zu ionisieren, sowie die zugehörige Photonenwellenlänge.
  2. Ein Photon der Energie \(E_\text{Ph}=5{,}0\,\mathrm{eV}\) trifft auf ein solches Atom im Zustand \(n=2\). Erläutern Sie, was mit dem Photon und mit dem Elektron geschieht, und berechnen Sie die Energie, die dem Elektron danach bleibt.
  3. Beurteilen Sie die beiden Aussagen in Material M2.
  4. Ein Mitschüler schlägt vor, die Zahl der Energieniveaus eines unbekannten Gases einfach durch Abzählen der Linien im sichtbaren Bereich seines Spektrums zu bestimmen. Diskutieren Sie diesen Vorschlag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ionisierung heißt: Das Elektron wird bis zur Grenze \(E_\infty=0\) gehoben. Der Startwert steht in M1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche zuerst \(5{,}0\,\mathrm{eV}\) mit deinem Ergebnis aus a). Oberhalb der Ionisierungsgrenze gibt es keine getrennten Stufen mehr, sondern ein durchgehendes Band erlaubter Energien.„Erläutern“ verlangt, den Vorgang verständlich zu machen — nenne also auch, wohin die überschüssige Energie geht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe bei jeder Aussage getrennt: Stimmt das Ergebnis? Und stimmt die angegebene Begründung? Beides kann unabhängig voneinander richtig oder falsch sein. Für Jonas: Vergleiche die Beträge \(|E_1|\) und \(|E_4|\).„Beurteilen“ verlangt ein eigenständiges, fachlich begründetes Urteil — nicht nur ein „richtig“ oder „falsch“.
Hinweis zu Aufgabe d)
Überlege, wie viele verschiedene Übergänge zwischen \(N\) Niveaus überhaupt möglich sind und in welchen Spektralbereichen diese Linien liegen können.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(\Delta E_\text{ion} = E_\infty - E_2 = 0 - (-3{,}40\,\mathrm{eV}) = 3{,}40\,\mathrm{eV}\).

Wellenlänge: \(\lambda = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{3{,}40\,\mathrm{eV}} \approx 365\,\mathrm{nm}\) — knapp im Ultravioletten. Diese Wellenlänge ist zugleich die Grenze, an der sich die Linien der Serie mit Zielniveau \(n=2\) häufen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Wegen \(5{,}0\,\mathrm{eV} > 3{,}40\,\mathrm{eV}\) reicht die Photonenenergie zur Ionisierung aus. Das Photon wird vollständig absorbiert und das Elektron verlässt das Atom — es ist danach frei.

Energiebilanz: \(E_\text{kin} = E_\text{Ph} - \Delta E_\text{ion} = 5{,}0\,\mathrm{eV} - 3{,}40\,\mathrm{eV} = 1{,}60\,\mathrm{eV}\). Der Überschuss bleibt dem Elektron als kinetische Energie.

Wichtig: Anders als bei den Sprüngen zwischen den Niveaus muss die Energie hier nicht exakt passen. Oberhalb von \(E=0\) liegen die erlaubten Energien nicht mehr in Stufen, sondern kontinuierlich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nora: falsch — jedenfalls in dieser Allgemeinheit. Für Übergänge zwischen gebundenen Zuständen trifft sie zu: Dort muss die Photonenenergie exakt einer Niveaudifferenz entsprechen. Sobald die Energie aber über der Ionisierungsgrenze liegt, kann jede beliebige Energie aufgenommen werden — genau das zeigt Teilaufgabe b). Ihre Aussage übersieht das Kontinuum oberhalb \(E=0\).

Jonas: Ergebnis richtig, Begründung nicht tragfähig. Aus \(n=4\) sind nur \(0{,}85\,\mathrm{eV}\) nötig, aus \(n=1\) dagegen \(13{,}60\,\mathrm{eV}\) — die Ionisierung aus \(n=4\) gelingt also tatsächlich viel leichter. Entscheidend ist aber der Abstand des Niveaus zur Ionisierungsgrenze, nicht der Abstand der Niveaus untereinander. Dass die Niveaus nach oben enger liegen, ist dieselbe Beobachtung von der anderen Seite betrachtet, taugt aber nicht als Begründung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Vorschlag ist so nicht brauchbar.

Dagegen spricht: Aus \(N\) Niveaus lassen sich \(\frac{N(N-1)}{2}\) verschiedene Übergänge bilden — die Zahl der Linien ist also deutlich größer als die Zahl der Niveaus und wächst quadratisch. Zudem liegt nur ein kleiner Teil der Linien im sichtbaren Bereich: Beim Wasserstoff etwa liegen alle Sprünge auf \(n=1\) im UV und alle auf \(n=3\) und höher im Infraroten. Manche Linien sind außerdem so schwach oder liegen so dicht beieinander, dass ein einfaches Gitter sie nicht auflöst.

Dafür spricht: Die sichtbaren Linien sind leicht zugänglich und geben eine untere Schranke — es müssen mindestens so viele Niveaus vorhanden sein, dass alle beobachteten Linien möglich sind.

Ergebnis: Aus den sichtbaren Linien allein lässt sich die Zahl der Niveaus nicht bestimmen. Sinnvoll wäre, das Spektrum über den sichtbaren Bereich hinaus (UV und IR) aufzunehmen, die Linien zu Serien zu ordnen und daraus das Niveauschema zu rekonstruieren.