Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDas Elektron als stehende Welle — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Die Annahmen des KastenmodellsAFB I
Wählen Sie alle Aussagen aus, die zum eindimensionalen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden gehören.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die beiden falschen Zeilen markieren genau die Stellen, an denen das Modell absichtlich hart ist. „Unendlich hoch“ heißt: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb ist exakt null, es gibt kein Entweichen — anders als bei einem realen, endlich tiefen Topf. Und der tiefste Zustand ist n = 1, nicht n = 0: Ein Zustand ohne jeden Bauch hätte überall ψ = 0, das Elektron wäre nirgends. Genau daraus folgt die Nullpunktsenergie E1 > 0 — ein eingesperrtes Elektron kann nie ruhen.
2Größen und ihre AusdrückeAFB I
Finden Sie zu jeder Größe des Kastenmodells den passenden Ausdruck.
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.
Die sechs Karten bilden genau die Kette der Herleitung ab: Aus der Passbedingung folgt λn, daraus über de Broglie der Impuls, daraus über E = p²/(2m) die Energie. Präge dir die Stellung von n und L ein: n steht bei λ im Nenner, bei p und E im Zähler. Die beiden letzten Karten sind die schnellste Kontrolle am Bild — wer im Applet drei Bäuche zählt, weiß sofort, dass n = 3 und damit E = 9·E1 gilt.
3Was passiert bei größerem n?AFB I
Die Topfbreite \(L\) bleibt fest, die Quantenzahl \(n\) wird erhöht.
Ordnen Sie jede Größe dem Bereich zu, der ihr Verhalten beschreibt.Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 wird größer
2 wird kleiner
3 bleibt unverändert
Nur eine einzige Größe schrumpft: die Wellenlänge, weil bei festem L immer mehr Halbwellen hineingequetscht werden müssen. Alles, was von λ abhängt, läuft deshalb gegenläufig — kürzere Welle bedeutet größeren Impuls und größere Energie. Die letzten beiden Karten sind bewusst gesetzt: L und m sind Vorgaben des Aufbaus, keine Ergebnisse. Wer sie mitwandern lässt, verwechselt die Variablen der Formel mit ihren Konstanten.
4Die Energieformel zusammenbauenAFB II
Setzen Sie die Energieformel des Potenzialtopfs aus den Bausteinen zusammen.
Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — sie wandern dann in den Bauplan. Ein Klick auf einen gesetzten Baustein legt ihn zurück.
Die Quadrate sind der Kern: n und h stehen quadriert im Zähler, L quadriert im Nenner. Beides folgt zwangsläufig aus E = p²/(2m) mit pn = nh/(2L) — beim Quadrieren wird aus dem Faktor 2 im Nenner eine 4, zusammen mit der 2 aus 2m ergibt das die 8. Wer nur nh statt (nh)² einsetzt, bekommt eine Energie, die linear mit n wächst — dann lägen die Stufen gleichmäßig, und der charakteristische Unterschied zum Wasserstoffatom verschwände.
5Das Wievielfache der Grundenergie?AFB II
Für den Potenzialtopf gilt \(E_n=n^2\cdot E_1\).
Stellen Sie im Raster ein, das Wievielfache von \(E_1\) die Energie \(E_5\) beträgt.Jede Zelle steht für einen Zahlenwert. Klicke Zellen an oder aus, bis die Summe genau dem Zielwert entspricht.
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Ziel: 25 mal E1
E5 = 5²·E1 = 25·E1. Das quadratische Wachstum ist dramatisch: Zwischen n = 1 und n = 5 liegt der Faktor 25, zwischen n = 4 und n = 5 allein schon 25 − 16 = 9 Grundenergien. Genau darin liegt der auffälligste Unterschied zum Wasserstoffatom, dessen Stufen nach oben immer dichter zusammenrücken. Beim Topf ziehen sie sich immer weiter auseinander.
6Wie breit muss der Topf sein?AFB II
Für ein Elektron gilt \(E_n\approx n^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\). Gewünscht ist eine Grundenergie von \(E_1=0{,}094\,\mathrm{eV}\).
Stellen Sie ein, wie breit der Topf dafür sein muss.7Fünf Zustände nach Energie ordnenAFB II
Ordnen Sie die fünf Fälle nach zunehmender Energie (oben der kleinste Wert). Es gilt \(E_n\sim n^2/L^2\).
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1n = 1 im Topf mit L = 2,0 nm
2n = 2 im Topf mit L = 2,0 nm
3n = 1 im Topf mit L = 0,50 nm
4n = 3 im Topf mit L = 1,0 nm
5n = 2 im Topf mit L = 0,50 nm
Vergleiche nicht die Zahlen einzeln, sondern das Verhältnis n/L: Die Energie ist proportional zu (n/L)². Die Werte lauten 0,094 eV, 0,38 eV, 1,5 eV, 3,4 eV und 6,0 eV. Besonders lehrreich ist Zeile 3: Ein Grundzustand in einem engen Topf liegt energetisch weit über einem angeregten Zustand in einem weiten Topf. Die Quantenzahl allein sagt also nichts über die Energie — erst zusammen mit der Topfbreite.
8Vom Topf zum ausgesandten PhotonAFB II
Ein Elektron sitzt in einem Topf der Breite \(L=0{,}40\,\mathrm{nm}\) und springt von \(n=2\) auf \(n=1\). Rechnen Sie mit \(E_n\approx n^2\cdot\tfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\) und \(\lambda=\tfrac{1240\,\text{eV}\cdot\text{nm}}{\Delta E}\).
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Wellenlänge.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist E1? (0,376 eV ÷ 0,40²)eV
- Wie groß ist E2? (2² · E1)eV
- Wie groß ist die Sprungenergie ΔE = E2 − E1?eV
- Welche Wellenlänge hat das Photon? (1240 ÷ ΔE)nm
Beachte den dritten Schritt: ΔE ist nicht E2, sondern die Differenz — also 3·E1, weil 2² − 1² = 3 ist. Wer stattdessen E2 einsetzt, kommt auf 132 nm und liegt um ein Drittel daneben. Die 176 nm liegen tief im Ultraviolett: Ein Topf von nur 0,4 nm Breite spreizt die Stufen so weit, dass das Licht für unsere Augen unsichtbar wird. Sichtbares Licht bekäme man erst bei deutlich größerer Topfbreite.
9Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
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Alle drei Fehler entstehen dadurch, dass ein Quadrat übersehen wird. Merke dir die Formel deshalb als Bild statt als Buchstabenfolge: n² oben, L² unten. Daraus folgt beides zugleich — nach oben spreizen sich die Stufen auseinander, und halbiert man den Topf, steigt jede Stufe auf das Vierfache. Wer sich nur „größer“ und „kleiner“ merkt, ohne die Potenz, trifft in Klausuren regelmäßig die Richtung, aber nie den Faktor.
10Welcher Zustand liegt vor?AFB III
Eine Momentaufnahme der Wellenfunktion in einem Topf der Breite \(L\) zeigt Knoten an beiden Wänden, dazwischen drei Bäuche und zwei weitere Knoten.
Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum, um welchen Zustand es sich handelt.Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Baum erzwingt die richtige Reihenfolge: erst die Randbedingung, dann das Zählen. Wer sofort Bäuche zählt, übersieht, dass eine Welle mit einem Bauch direkt an der Wand im unendlich hohen Topf gar nicht existiert. Ist die Randbedingung erfüllt, ist die Auswertung mechanisch: n Bäuche, n−1 innere Knoten, λ = 2L/n und E = n²·E1. Aus einem einzigen Bild lassen sich damit alle vier Größen ablesen, ohne eine einzige Konstante einzusetzen.