Erklärung — das Elektron im Kasten
Was der Potenzialtopf modelliert
Wir vereinfachen das Atom radikal: Das Elektron sei in einem eindimensionalen Kasten der Breite \(L\) gefangen, mit unendlich hohen Wänden. Innen spürt es keine Kraft, hinaus kann es nicht.
- Undurchdringliche Wände:Am Rand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit null — die Wellenfunktion \(\psi\) muss dort verschwinden. Das erzwingt an beiden Wänden einen Knoten.
- Freie Bewegung innen:Zwischen den Wänden gibt es keine potenzielle Energie; die gesamte Energie ist kinetisch. Das macht die Rechnung einfach.
- Bewusst grob:Das echte Atom hat keine steilen Wände, sondern ein weiches Coulomb-Feld. Trotzdem fängt dieses Modell den Kern ein: Einsperren erzwingt Quantisierung.
Nur stehende Wellen passen
Weil \(\psi\) an beiden Wänden null sein muss, passt in den Topf nur eine Auswahl von Wellen — genau wie bei der Saite:
- Passbedingung:In die Breite \(L\) müssen ganzzahlig viele Halbwellen passen: \(L=n\cdot\tfrac{\lambda}{2}\), also \(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\) mit \(n=1,2,3,\dots\)
- Bäuche zählen:Zustand \(n\) hat genau \(n\) Bäuche und \(n-1\) Knoten im Inneren (plus die zwei an den Wänden).
- Kein Zwischenwert:Eine Welle mit \(\lambda=2{,}5\) Halbwellen lässt sich nicht mit Knoten an beiden Enden einspannen — sie ist verboten. Deshalb sind nur diskrete \(\lambda_n\) erlaubt.
Von der Wellenlänge zur Energiestufe
Jetzt verketten wir die drei Bausteine — und die Energiestufen fallen heraus:
- Impuls aus \(\lambda\):De Broglie liefert \(p_n=\dfrac{h}{\lambda_n}=\dfrac{n\,h}{2L}\). Größeres \(n\) → kürzere Welle → größerer Impuls.
- Energie aus \(p\):Einsetzen in \(E=\dfrac{p^2}{2m}\) ergibt \(E_n=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}\). Die Energie wächst mit \(n^2\).
- Nullpunktsenergie:Der tiefste Zustand ist \(n=1\), nicht \(n=0\). Das Elektron kann also nie ganz ruhen — es besitzt immer mindestens \(E_1>0\).
Das Elektron sitzt im Kasten der Breite \(L\). Beobachte, wie \(\lambda_n\) und \(E_n\) reagieren.
Zustand n=2: zwei Bäuche, ein Knoten in der Mitte. Die Welle passt genau in den Topf.
| Wellenlänge \(\lambda_n\) | – |
| Energie \(E_n\) | – |
| Grundenergie \(E_1\) | – |
| Bäuche | – |
\(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\qquad p_n=\dfrac{h}{\lambda_n}=\dfrac{n\,h}{2L}\qquad\Longrightarrow\qquad E_n=\dfrac{p_n^2}{2m}=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}\)
\(L\): Breite des Topfs, \(n=1,2,3,\dots\): Quantenzahl, \(h\): Planck-Konstante, \(m\): Elektronenmasse. Die Energie wächst mit \(n^2\) und fällt mit \(1/L^2\): Ein engerer Topf hebt alle Stufen an. Praktisch rechnet man für ein Elektron mit \(E_n\approx n^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\) — \(L\) in Nanometern eingesetzt, \(E_n\) direkt in eV.
So berechnest du die Energiestufen
Ein Elektron sitzt in einem Topf der Breite \(L=1\,\text{nm}\). Wie groß sind \(E_1\) und \(E_2\)?
So liest du die stehende Welle
Im Applet ist \(n=3\) und \(L=1{,}2\,\text{nm}\) eingestellt. Wie viele Bäuche und Knoten hat die Welle, und wie groß ist \(\lambda_3\)?
Allgemeine Hinweise
Saite als Eselsbrücke
Denk an die Gitarrensaite: An beiden Enden ein Knoten, dazwischen ganzzahlig viele Bäuche. Das gleiche Muster gilt für das Elektron im Topf.
n zählt die Bäuche
Die Quantenzahl \(n\) ist einfach die Zahl der Bäuche. \(n=1\) ist der Grundzustand mit einem einzigen Bauch — nicht null.
L unten, n oben
Im Nenner steht \(L^2\), im Zähler \(n^2\). Enger Topf → hohe Energien; breiter Topf → dicht liegende Stufen. Vorzeichen sind hier alle positiv.
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