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Übungen: Balmers Zahlenspiel

Vierzehn Jahre vor dem ersten Atommodell fand ein Basler Lehrer eine Formel, die alle sichtbaren Wasserstofflinien auf eine einzige Zahl zurückführt.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungBalmers Zahlenspiel — Formel, Rydberg-Konstante und Serienaufbau nachlesen.
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Übungsaufgaben

1Die Balmer-Formel in WortenAFB I

Vervollständigen Sie die Beschreibung der Formel.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Balmer-Formel liefert nicht die Wellenlänge selbst, sondern ihren . Das Zielniveau ist bei allen Linien dieser Serie die Zahl . Die Konstante R mit dem Wert 1,097·10⁷ 1/m heißt -Konstante. Das kleinste erlaubte Startniveau ist , weil der Sprung sonst nach oben ginge. Für sehr große Startniveaus nähert sich die Wellenlänge einem festen Wert von 365 nm — der . Weil R in 1/m angegeben ist, kommt die Wellenlänge zunächst in heraus.

Zwei Details entscheiden über den Erfolg beim Rechnen: die 1/λ-Form und die Einheit von R. Beide zusammen erzeugen den häufigsten Fehler überhaupt — man rechnet die Klammer richtig aus, vergisst den Kehrwert und landet bei einer „Wellenlänge“ von zwei Millionen. Die Seriengrenze ist dabei ein guter Kontrollwert: Jede Balmer-Linie muss zwischen 365 nm und 656 nm liegen, nichts darüber, nichts darunter.
2Startniveau und Linie verbindenAFB I

Verbinden Sie jedes Startniveau mit der Wellenlänge seiner Balmer-Linie.

Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Die Reihenfolge ist streng monoton: Je höher das Startniveau, desto größer der Sprung, desto kürzer die Welle. Auffällig sind die Abstände: Von n = 3 auf n = 4 ändert sich die Wellenlänge um 170 nm, von n = 5 auf n = 6 nur noch um 24 nm. Genau das ist der Grund, warum sich die Linien am violetten Ende zur Seriengrenze hin drängen — dort liegen die Energieniveaus so dicht beieinander, dass man sie kaum noch trennen kann.
3Eine Balmer-Linie berechnenAFB II

Berechnen Sie die Wellenlänge der Balmer-Linie mit dem Startniveau \(n=6\). Es gilt \(\tfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).

Berechnen Sie die Wellenlänge in Nanometern.

Klammer ausrechnen, mit R multiplizieren, Kehrwert bilden — und am Schluss in Nanometer umrechnen.
Die Klammer ergibt 0,2500 − 0,0278 = 0,2222; damit ist 1/λ = 2,438·10⁶ 1/m und λ = 4,10·10⁻⁷ m = 410 nm. Das ist Hδ, die vierte und schwächste der klassischen Balmer-Linien — genau eine der vier Wellenlängen, aus denen Balmer 1885 seine Formel erraten hat. Sie liegt schon so nah am violetten Rand des Sehbereichs, dass sie mit bloßem Auge nur schwer zu erkennen ist.
4Beide Rechenwege vergleichenAFB II

Für die Linie mit \(n=4\) soll die Wellenlänge auf zwei Wegen bestimmt werden: über die Balmer-Formel und über die Energieniveaus \(E_n=-\tfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\).

Rechnen Sie Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist die Klammer 1/4 − 1/4²?–
  2. Wie groß ist 1/λ in 10⁶ 1/m? (Klammer · 1,097·10⁷)10⁶ 1/m
  3. Welche Wellenlänge folgt daraus in nm?nm
  4. Und welches ΔE in eV gehört dazu? (13,6 eV · Klammer)eV
Der letzte Schritt ist die eigentliche Pointe: 13,6 eV · 0,1875 = 2,55 eV, und 1240/2,55 ergibt wieder 486 nm. Die Balmer-Formel und das Termschema sind also dieselbe Aussage in zwei Sprachen — verbunden durch RH·h·c = 13,6 eV. Balmer hatte die Zahlen; erst Bohr lieferte 1913 die Deutung, dass hinter der Klammer die Energieniveaus eines Atoms stecken.
5Eine unbekannte Linie einordnenAFB III

Ein Spektrometer misst an einer Wasserstofflampe eine Linie bei \(\lambda=1875\,\mathrm{nm}\).

Untersuchen Sie Schritt für Schritt, zu welchem Übergang sie gehört.

Spiele die Auswertung Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Die Auswertung folgt immer derselben Kette: Bereich → Serie → Kehrwert → Übergang → Kontrolle. Der entscheidende Schritt ist der zweite: Weil jede Serie ein festes Wellenlängenfenster hat (Lyman unter 122 nm, Balmer 365–656 nm, Paschen ab 821 nm), lässt sich das Zielniveau ohne jede Rechnung bestimmen. Erst danach lohnt der Griff zur Formel. Die gefundene Linie 4 → 3 mit 1875 nm ist übrigens die Paschen-α-Linie und wird in der Astronomie zur Vermessung von Sternatmosphären genutzt.
    6Aussagen zur Balmer-SerieAFB I

    Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

    Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
    Die rote Linie entsteht beim Sprung 3 → 2 (nach unten wird Licht abgegeben). RH · h · c = 13,6 eV ist die Ionisierungsenergie aus dem Grundzustand.
    7Stimmt's? — Serien im WasserstoffAFB I

    Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.

    Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
    Aussage 1 von 5

    Die Serien unterscheiden sich nur im unteren Niveau: 1 (Lyman), 2 (Balmer), 3 (Paschen).
    8Welche Serie?AFB II

    Ordnen Sie jeden Übergang im Wasserstoffatom seiner Serie zu.

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Lyman (Ende n = 1)
    2Balmer (Ende n = 2)
    3Paschen (Ende n = 3)
    Entscheidend ist allein das Niveau, auf dem der Sprung endet — nicht das, von dem er startet.
    9Balmer-Linien ordnenAFB II

    Ordnen Sie nach zunehmender Wellenlänge (oben die kürzeste).

    Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
    1Seriengrenze (n → ∞)
    26 → 2
    35 → 2
    44 → 2
    53 → 2
    Je höher das Startniveau, desto größer ΔW und desto kürzer die Wellenlänge. Alle Linien liegen zwischen 365 nm und 656 nm.
    10Linien einordnenAFB III

    Ein Spektrometer registriert Linien einer Wasserstofflampe. Kreuzen Sie an, was auf jede Linie zutrifft.

    Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
    WellenlängesichtbarBalmer-SerieLyman-Serie
    656 nm
    122 nm
    410 nm
    1875 nm
    103 nm
    397 nm
    1875 nm gehört zur Paschen-Serie (4 → 3), 122 nm und 103 nm sind Lyman-Linien (2 → 1, 3 → 1). Sichtbar sind beim Wasserstoff nur Balmer-Linien.
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