Energieniveaus: Balmer-Formel

Erklärung — Balmers Formel und das Termschema

Balmers Fund von 1885

Johann Jakob Balmer, Lehrer in Basel, kannte nur vier gemessene Wellenlängen des Wasserstoffs — und suchte darin ein Muster:

Die Messwerte:\(656{,}3\,\text{nm}\) (rot), \(486{,}1\,\text{nm}\) (blaugrün), \(434{,}0\,\text{nm}\) (violett) und \(410{,}2\,\text{nm}\).
Sein Ergebnis:\(\lambda=G\cdot\dfrac{m^2}{m^2-4}\) mit \(G=364{,}6\,\text{nm}\) und \(m=3,4,5,6\) — vier Zahlen aus einer einzigen Konstanten.
Der Haken:Balmer hatte keine physikalische Erklärung. Warum ausgerechnet diese Formel gilt, blieb fast 30 Jahre lang offen.

Die moderne Schreibweise

Heute schreibt man Balmers Formel mit den Kehrwerten — dann wird der Bau der Serie sofort sichtbar:

Balmer-Formel:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(n=3,4,5,\dots\)
Rydberg-Konstante:\(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\) — eine gemessene Naturkonstante des Wasserstoffatoms.
Seriengrenze:Für \(n\to\infty\) verschwindet \(\tfrac{1}{n^2}\); es bleibt \(\tfrac{1}{\lambda}=\tfrac{R_H}{4}\), also \(\lambda\approx365\,\text{nm}\).

Der Anschluss ans Termschema

Erst die Energieniveaus erklären, warum Balmers Formel funktioniert — beide Wege führen zur selben Zahl:

Verallgemeinerung:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\). Balmer ist einfach der Fall \(n_\text{tief}=2\).
Brücke zur Energie:\(R_H\cdot h c=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\cdot1240\,\text{eV⋅nm}=13{,}6\,\text{eV}\) — genau die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.
Deutung:Balmers \(m\) ist die Hauptquantenzahl \(n\), und seine Konstante \(G\) ist die Seriengrenze. Er hatte das Termschema gefunden, ohne es zu wissen.

Links siehst du, wo die Linie im Spektrum landet, rechts stehen die beiden Rechenwege nebeneinander: einmal über die Balmer-Formel, einmal über das Termschema. Beide müssen dasselbe liefern.

gewählte Linieübrige SerieSeriengrenze 365 nm

Startniveau n (Ziel ist immer n = 2)

n = 3

Die H-alpha-Linie: der kleinste Sprung der Serie, deshalb die längste Welle und die rote Farbe.

Klammer \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\)	–
\(1/\lambda\) nach Balmer	–
\(\lambda\) nach Balmer	–
\(\lambda\) über \(\Delta E\)	–
Farbe	–

Balmer-Formel und ihre Verallgemeinerung

\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\qquad \dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\qquad R_H\,hc=13{,}6\,\text{eV}\)

\(\lambda\) ist die Wellenlänge der Spektrallinie, \(n\) das Startniveau (bei Balmer \(n\ge3\)), \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\) die Rydberg-Konstante. Achtung: Die Formel liefert \(\tfrac{1}{\lambda}\) in \(\tfrac{1}{\text{m}}\) — für Nanometer muss man den Kehrwert noch mit \(10^{9}\) multiplizieren.

So berechnest du eine Balmer-Linie

Welche Wellenlänge hat die Linie mit dem Startniveau \(n=5\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtKlammer ausrechnen: \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{25}=0{,}2500-0{,}0400=0{,}2100\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeMultipliziere mit \(R_H\) und bilde am Ende den Kehrwert.

Schritt 3 — jetzt du\(\tfrac{1}{\lambda}=1{,}097\cdot10^{7}\cdot0{,}2100=2{,}304\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\text{m}}\), also \(\lambda=4{,}34\cdot10^{-7}\,\text{m}=434\,\text{nm}\) — violett.

So prüfst du das Ergebnis am Termschema

Liefert der Weg über die Energieniveaus dieselbe Wellenlänge?

Schritt 1 — komplett vorgemachtEnergien: \(E_5=-\tfrac{13{,}6}{25}=-0{,}544\,\text{eV}\), \(E_2=-\tfrac{13{,}6}{4}=-3{,}40\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeBilde \(\Delta E\) und rechne mit \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta E}\) um.

Schritt 3 — jetzt du\(\Delta E=2{,}856\,\text{eV}\) und \(\lambda=\tfrac{1240}{2{,}856}\approx434\,\text{nm}\) — identisch. Beide Formeln beschreiben dieselbe Physik.

Allgemeine Hinweise

Der Kehrwert wird vergessen

Die Formel liefert \(\tfrac{1}{\lambda}\), nicht \(\lambda\). Wer den letzten Schritt überspringt, erhält Zahlen im Millionenbereich statt einiger hundert Nanometer.

Einheiten von \(R_H\)

\(R_H\) ist in \(\tfrac{1}{\text{m}}\) angegeben. Das Ergebnis \(\lambda\) kommt daher in Metern heraus — für Nanometer noch mit \(10^{9}\) multiplizieren.

Immer die kleinere Zahl zuerst

In der Klammer steht \(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\). Weil \(n_\text{tief}\lt n_\text{hoch}\), ist der erste Bruch der größere — die Klammer bleibt positiv.

Vertiefung

In den folgenden Angeboten kannst du eigene Werte einsetzen und die Balmer-Serie mit anderen Serien vergleichen. Achte darauf, wie die Linien zur Seriengrenze hin immer enger zusammenrücken.