Die Spannenergie berechnet man mit E = ½ · D · s². Dabei ist D die in N/m und s die Strecke aus der Lage heraus. Beim Einsetzen wird s zuerst . Setzt man Spannenergie und Lageenergie gleich, so lässt sich die nicht wegkürzen.
Alle vier Begriffe stehen weiter oben im Erklärtext.
2
Der Rechenweg in der richtigen Reihenfolge
AFB I
Eine Springerin fällt aus der Höhe h auf das Trampolin. Gesucht ist, wie weit sich das Tuch durchbiegt. Bringe die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1Lageenergie oben berechnen: Epot = m · g · h
2Energieerhaltung ansetzen: Espann = Epot
3Formel einsetzen: ½ · D · s² = E
4Nach s umstellen: s = √(2 · E : D)
5Zahlen einsetzen und Ergebnis mit der Einheit m angeben
Dieser Vierschritt passt auf fast jede Aufgabe zum Energieerhaltungssatz: Erst die bekannte Energie ausrechnen, dann gleichsetzen, dann die zweite Formel einsetzen, zuletzt umstellen. Wer zuerst umstellt und dann einsetzt, verrechnet sich seltener.
3
Die gespannte Feder
AFB I
Eine Feder mit der Federkonstante D = 200 N/m wird um 0,30 m zusammengedrückt. Welche Spannenergie speichert sie?
Setze in E = ½ · D · s² ein.
0,30² = 0,09 und 0,5 · 200 · 0,09 = 9.
Quadriere zuerst die 0,30 m.
4
Größe, Formel und Einheit verbinden
AFB I
Verbinde jede Größe mit dem, was zu ihr gehört.
Klicke links eine Größe an und dann rechts das Passende — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei Stolpersteine stecken hier drin: Die Federhärte D hat die Einheit N/m — sie sagt, welche Kraft nötig ist, um die Feder um einen Meter zu dehnen. Und die Auslenkung s muss immer in Metern eingesetzt werden; 20 cm sind 0,20 m, nicht 20.
Achte darauf, wo ein Quadrat steht und wo nicht.
5
Stimmt das über Federn und Trampoline?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie richtig oder falsch ist.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 4
Achte darauf, in welcher Formel die Masse überhaupt vorkommt.
6
Kreuztabelle zum Trampolinsprung
AFB I
Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage für diese Phase zutrifft.
Es können mehrere Kreuze pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.
Stelle
Epot maximal
Ekin maximal
Espann maximal
Espann = 0
Phase 1 — höchster Punkt am Anfang
Phase 2 — kurz vor dem Auftreffen auf das Tuch
Phase 3 — tiefster Punkt, Tuch ganz durchgedrückt
Phase 4 — kurz nach dem Verlassen des Tuchs
Phase 5 — höchster Punkt am Ende
Nur in Phase 3 ist die Spannenergie überhaupt vorhanden — dort steckt sogar die gesamte Energie im Tuch, während Epot und Ekin beide null sind. In allen anderen Phasen hat das Tuch seine Ruhelage, also Espann = 0. Die Phasen 2 und 4 sind übrigens spiegelgleich: gleiche Geschwindigkeit, nur andere Richtung.
7
Klick auf die richtige Phase
AFB I
Fünf Aufträge nacheinander — klicke jeweils die gesuchte Phase des Sprungs an.
Klicke die gesuchte Phase im Bild an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Im tiefsten Punkt steht die Springerin für einen winzigen Moment still: Ekin = 0. Die gesamte Energie steckt dann im gedehnten Tuch. Genau deshalb kann sie anschließend wieder genauso hoch springen — jedenfalls, solange keine Energie entwertet wird.
8
Schritt für Schritt: der Spielzeug-Hüpfer
AFB II
Ein Spielzeug-Hüpfer (30 g) hat eine Feder mit D = 800 N/m, die um 0,05 m zusammengedrückt wird. Reibung wird vernachlässigt.
Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Welche Spannenergie speichert die Feder in Joule?J
Mit welcher Geschwindigkeit hebt der Hüpfer ab? (in m/s)m/s
Wie hoch springt er? (in m)m
E = ½ · D · s², dann v = √(2 · E : m), dann h = E : (m · g).
0,05² = 0,0025 und 30 g sind 0,03 kg.
E = 0,5 · 800 · 0,0025 = 1 J; v = √(2 · 1 : 0,03) = √66,7 ≈ 8,2 m/s; h = 1 : (0,03 · 9,81) ≈ 3,4 m.
9
Memory: Federn und Trampoline
AFB II
Finde die sieben Paare aus Begriff und Bedeutung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken.
Versuche: 0 von 14
Die letzte Karte ist der Schlüssel für alle Rückwärts-Aufgaben: Aus ½ · D · s² = E wird durch | · 2, | : D und Wurzelziehen s = √(2 · E : D).
10
Fehlersuche: das vergessene Quadrat
AFB II
Für D = 3000 N/m und s = 0,50 m notiert Tom: „E = 0,5 · 3000 · 0,50 = 750 J.“ Welche Aussagen treffen zu?
Mehrere Antworten sind richtig.
Bei s = 1 m ist s² = s, deshalb fällt der Fehler dort nicht auf.
Rechne 0,50² aus und vergleiche mit 0,50.
0,25 statt 0,50 — also genau die Hälfte. Nur bei s = 1 m sind beide Werte gleich.
11
Wertetabelle: Spannenergie einer Feder
AFB II
Eine Feder hat die Federhärte D = 800 N/m. Berechne die Spannenergie für die angegebenen Auslenkungen.
In jedes Feld gehört eine Zahl in Joule. Enter prüft.
Auslenkung s
0,05 m
0,10 m
0,20 m
0,30 m
0,40 m
Espann in J
Schau dir die Zahlenreihe an: 1 – 4 – 16 – 36 – 64. Doppelte Auslenkung (0,05 → 0,10 m) bedeutet die vierfache Energie, vierfache Auslenkung sogar die 16-fache. Das ist die Wirkung des Quadrats in ½ · D · s² — und der Grund, warum ein tief durchgedrücktes Trampolin so viel mehr hergibt.
Espann = ½ · 800 · s² = 400 · s². Bei s = 0,05 m also 400 · 0,0025.
Ordne jede Größe der Formel zu, mit der du sie berechnest.
Ziehe jede Situation in das passende Fach.
1½ · D · s²
2m · g · h
3½ · m · v²
Frage dich: Ist etwas gespannt, ist etwas oben, oder bewegt sich etwas?
Nur eine der drei Formeln enthält gar keine Masse.
13
Schätzen: das halb durchgedrückte Tuch
AFB II
Im tiefsten Punkt ist das Trampolintuch um 0,45 m durchgedrückt. Wie viel Prozent dieser maximalen Spannenergie stecken bereits im Tuch, wenn es erst um 0,225 m durchgebogen ist?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 %100 %
Die naheliegende Antwort „50 %“ ist falsch, weil s im Quadrat steht: (½)² = ¼, also nur 25 %. Umgekehrt heißt das: Die letzten Zentimeter Durchbiegung liefern mit Abstand am meisten Energie — zwischen halber und voller Durchbiegung stecken die restlichen 75 %.
Halbe Auslenkung eingesetzt: ½ · D · (0,5 · s)² — was passiert mit dem Faktor 0,5?
14
Herleitung Schritt für Schritt
AFB II
Eine Springerin (m = 40 kg) fällt aus h = 1,20 m auf ein Trampolin mit der Federhärte D = 4000 N/m. Gesucht ist die Durchbiegung s im tiefsten Punkt. (g = 9,81 N/kg)
Was gilt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Beachte, wie hier zwei Formeln miteinander verkettet werden: m · g · h liefert die Zahl, ½ · D · s² verbraucht sie. Genau dieses Muster — eine Energieform ausrechnen, gleichsetzen, die andere Formel umstellen — trägt durch die ganze Einheit.
15
Bauplan der Umformung
AFB II
Setze die Umformungskette von der Spannenergie-Formel bis zur fertigen Formel für s zusammen.
Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Bausteine im Vorrat sind die vier häufigsten Fehler: Wurzel vergessen, das ½ auf die falsche Seite gebracht, Zähler und Nenner vertauscht oder das Quadrat unterschlagen. Probe: Setze dein Ergebnis mit E = 180 J und D = 4000 N/m ein — heraus müssen 0,30 m kommen.
Der erste Schritt ist die unveränderte Formel für die Spannenergie.
Reihenfolge: erst | · 2, dann | : D, zuletzt die Wurzel.
16
Spannenergie, Lageenergie — oder beides?
AFB II
Ordne jede Aussage dem passenden Bereich zu.
Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Spannenergie
2 gilt für beide
3 nur Lageenergie
Der mittlere Bereich zeigt, warum man die beiden überhaupt gleichsetzen darf: Es sind zwei Formen derselben Größe, gemessen in derselben Einheit, und beide lassen sich vollständig ineinander umwandeln. Wichtig ist nur der Unterschied bei den Größen — die Masse steht in der Spannenergie-Formel gar nicht drin.
Prüfe bei jeder Karte, ob die genannte Größe in beiden Formeln vorkommt.
17
Wie voll ist das Tuch gerade?
AFB II
Das Trampolintuch wird im tiefsten Punkt um 0,40 m durchgedrückt. Schätze für jede Situation, wie groß die Spannenergie im Vergleich zum Maximum ist. Stufe 1 = 0 %, Stufe 2 = 25 %, Stufe 3 = 50 %, Stufe 4 = 75 %, Stufe 5 = 100 %.
Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = Espann ist null5 = Espann ist maximal
Springerin ist noch in der Luft, das Tuch ist entspannt
Das Tuch ist um 0,20 m durchgedrückt
Das Tuch ist um 0,40 m durchgedrückt
Das Tuch ist um 0,28 m durchgedrückt
Die Springerin hat das Tuch gerade wieder verlassen
Die Zahlen folgen dem Quadrat: 0,20 m ist die halbe Auslenkung, das ergibt (½)² = 25 %. Für die Hälfte der Energie braucht es 0,40 · √0,5 ≈ 0,28 m — also deutlich mehr als die halbe Strecke. Merke: Auf den ersten Zentimetern nimmt das Tuch wenig Energie auf, auf den letzten sehr viel.
Setze in ½ · D · s² für s nacheinander 0,20 m und 0,40 m ein und vergleiche die Ergebnisse.
18
Trickaufgabe: das Katapult
AFB III
Ein Katapult schleudert einen Ball (200 g) waagerecht ab. Die Feder mit D = 500 N/m ist dafür um 0,40 m gespannt. Mit welcher Geschwindigkeit fliegt der Ball los? Runde auf eine ganze Zahl.
Berechne erst die Spannenergie, setze sie dann mit der Bewegungsenergie gleich.
E = 0,5 · 500 · 0,16 = 40 J, dann v = √(2 · 40 : 0,2).
200 g sind 0,2 kg — die Formel rechnet in Kilogramm.
v = √(80 : 0,2) = √400 = 20 m/s, also 72 km/h. Weil waagerecht geschossen wird, kommt keine Lageenergie ins Spiel.
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Fehlersuche in der Auswertung
AFB III
Eine Feder mit D = 200 N/m wird um 20 cm gedehnt. So wertet jemand das aus — klicke genau die falschen Zeilen an.
In dieser Auswertung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler kreisen um dasselbe Quadrat. Es sorgt dafür, dass die Energie überproportional wächst (Zeile 4) und niemals negativ wird (Zeile 6) — und wer es beim Einsetzen vergisst, landet wie in Zeile 2 um den Faktor 5 daneben. Kontrolle: 0,2² = 0,04, nicht 0,2.
Rechne Zeile 2 selbst nach, bevor du weiterliest.
½ · 200 · 0,04 = 4 J. Bei 0,4 m: ½ · 200 · 0,16 = 16 J — also viermal so viel.
20
Korrigiere die Trampolin-Rechnung
AFB III
Ein Trampolin (D = 4000 N/m) wird von einer Springerin (m = 50 kg) um s = 0,30 m durchgedrückt. Klicke die falschen Zeilen an und trage die richtigen Werte ein. (g = 9,81 N/kg)
Eine Zeile anklicken heißt „diese Aussage ist falsch“. Drei der sechs Zeilen stimmen.
richtige Spannenergie in J:
richtige Höhe in m:
richtige Geschwindigkeit in m/s:
richtige Spannenergie in J:
richtige Kraft in N:
richtige Restenergie in J:
Die drei Fehler sind typische Kurzschlüsse. Zeile 2 verwechselt Energie mit Höhe: Aus 180 = 50 · 9,81 · h folgt h = 180 : 490,5 ≈ 0,37 m. Zeile 4 vergisst wieder das Quadrat — doppelte Auslenkung heißt vierfache Energie, also 720 J. Zeile 6 zieht 20 Einheiten statt 20 % ab: 0,80 · 180 = 144 J. Beachte auch, dass Zeile 3 stimmt, obwohl dort die Masse auftaucht — hier ist die Energie und nicht die Höhe gegeben, deshalb kürzt sich m nicht weg.
Prüfe jede Zeile mit einer eigenen Rechnung nach, bevor du sie stehen lässt.
Zeile 2: h = E : (m · g) = 180 : (50 · 9,81). Zeile 4: 0,60² = 0,36 → ½ · 4000 · 0,36. Zeile 6: 80 % von 180.
