Beim freien Fall wird in umgewandelt. In die Formel setzt man immer den zwischen Anfangs- und Endzustand ein. Die aus beiden Energieformen bleibt während des ganzen Falls gleich.
Blick zurück auf den Energiespeicher-Balken im Applet.
2
Der Wasserfall
AFB I
Wasser stürzt an einem Wasserfall 25 m in die Tiefe. Mit welcher Geschwindigkeit trifft es unten auf? (g = 9,81 N/kg, Luftwiderstand vernachlässigt) Runde auf eine Nachkommastelle.
Setze in v = √(2 · g · h) ein.
2 · 9,81 · 25 = 490,5 — davon die Wurzel.
Die Masse des Wassers wird nicht gebraucht.
3
Stimmt das über den freien Fall?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie richtig oder falsch ist.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 4
Unterscheide sauber zwischen Energie und Geschwindigkeit.
4
Schritt für Schritt: der Blumentopf
AFB II
Ein Blumentopf (2,5 kg) fällt von einem Balkon in 9 m Höhe. Reibung wird vernachlässigt. Arbeite dich Schritt für Schritt vor.
Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Welche Lageenergie hat der Topf oben in Joule?J
Mit welcher Geschwindigkeit schlägt er auf? (in m/s)m/s
Wie viel ist das in km/h?km/h
E = m · g · h, dann v = √(2 · g · h), dann · 3,6.
2,5 · 9,81 · 9 für den ersten Schritt.
v = √(2 · 9,81 · 9) = √176,58 ≈ 13,3 m/s, und 13,3 · 3,6 ≈ 47,8 km/h — so schnell wie ein Auto in der Stadt.
5
Fehlersuche: der halbierte Wert
AFB II
Ein Mitschüler rechnet: „Die Kapsel ist unten 46,5 m/s schnell. Nach 55 m sind es also 23,2 m/s.“ Welche Aussagen treffen zu?
Mehrere Antworten sind richtig.
Wegen des v² hängen Höhe und Geschwindigkeit nicht proportional zusammen.
Rechne v = √(2 · 9,81 · 55) selbst nach.
√1079,1 ≈ 32,9 m/s. Und 23,2² : 19,62 ≈ 27,4 m — genau das Viertel der Strecke.
6
Gemischt: Höhe und Geschwindigkeit zuordnen
AFB II
Verbinde jede Fallhöhe mit der passenden Aufprallgeschwindigkeit. Wenn du das Muster erkennst, brauchst du kaum zu rechnen.
Klicke links eine Höhe und rechts die passende Geschwindigkeit an.
Vierfache Höhe bedeutet doppelte Geschwindigkeit.
Rechne zuerst nur die 5 m aus: v = √(2 · 9,81 · 5) ≈ 9,9 m/s.
20 m ist das Vierfache von 5 m, also das Doppelte der Geschwindigkeit. 45 m ist das Neunfache, also das Dreifache.
7
Trickaufgabe: derselbe Turm auf dem Mond
AFB III
Auf dem Mond ist der Ortsfaktor nur g = 1,62 N/kg. Aus welcher Höhe müsste man dort eine Kapsel fallen lassen, damit sie 10 m/s erreicht? Runde auf eine Nachkommastelle.
Stelle v = √(2 · g · h) nach h um: h = v² : (2 · g).
100 : (2 · 1,62) = 100 : 3,24.
v² ist 10² = 100.
100 : 3,24 ≈ 30,9 m. Auf der Erde reichten dafür rund 5,1 m — der Mond bräuchte also einen sechsmal höheren Fallturm.
8
Wer schlägt am schnellsten auf?
AFB I
Vier Dinge fallen aus der Ruhe zu Boden. Ordne sie nach ihrer Aufprallgeschwindigkeit — die kleinste kommt nach oben. (Luftwiderstand vernachlässigt)
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Ein Schneebrocken (8 kg) rutscht von einer 11 m hohen Dachkante
2Eine Walnuss (10 g) fällt 3,2 m tief vom Ast
3Ein Tannenzapfen (0,2 kg) löst sich 15 m hoch aus der Baumkrone
4Ein Dachziegel (3 kg) rutscht aus 6 m Höhe vom Garagendach
Walnuss 7,9 m/s · Dachziegel 10,8 m/s · Schneebrocken 14,7 m/s · Tannenzapfen 17,2 m/s. Die Massen sind nur Ablenkung — es zählt allein die Fallhöhe.
In v = √(2 · g · h) kommt die Masse nicht vor. Du musst also gar nicht rechnen — sortiere einfach nach der Höhe.
9
Welche Formel beantwortet die Frage?
AFB I
Ordne jede Frage der Formel zu, mit der du sie direkt beantwortest.
Ziehe jede Frage in das passende Fach.
1E = m · g · h
2v = √(2 · g · h)
3h = v² : (2 · g)
Achte auf das Fragewort: „Wie viel Energie“ → E = m · g · h, „Wie schnell“ → v = √(2 · g · h), „Wie hoch / wie tief“ → h = v² : (2 · g).
Nur wenn eine Energie gesucht ist, braucht man die Masse — dann ist E = m · g · h die richtige Wahl.
10
Warum streut die Lichtschranke bei großen Höhen?
AFB III
Im Digitalen Labor misst die Lichtschranke, wie lange die Stahlkugel (Durchmesser d = 2,00 cm) den Lichtstrahl verdunkelt. Daraus wird v = d : t berechnet. Der grobe Zeitmesser rundet auf 0,1 ms. Berechne für einen Fall ohne Reibung die Werte und den Anteil, den 0,1 ms an der Verdunkelungszeit ausmachen. (g = 9,81 N/kg, auf zwei Nachkommastellen)
Fülle alle vier Felder aus und prüfe dann. Enter prüft ebenfalls.
v = √(2 · 9,81 · 2) = √39,24 ≈ 6,26 m/s; t = 0,02 m : 6,26 m/s ≈ 0,00319 s = 3,19 ms. Bei 0,25 m ist die Kugel nur 2,21 m/s schnell, t ≈ 9,03 ms. Ein Rundungsschritt von 0,1 ms sind bei 2 m also rund 3 % der Zeit, bei 0,25 m nur rund 1 %. Weil Ekin mit v² wächst, verdoppelt sich der Fehler bei der Energie sogar noch einmal auf rund 6 % — deshalb streuen die Punkte bei großen Höhen stärker.
Rechne d in Meter um (0,02 m) und stelle v = d : t nach t um: t = d : v. Das Ergebnis in Sekunden mal 1000 ergibt Millisekunden.
Anteil = 0,1 ms : 3,19 ms ≈ 0,0313 = 3,13 %. Je größer die Fallhöhe, desto schneller die Kugel und desto kürzer die Verdunkelungszeit — die feste Rundung von 0,1 ms fällt dann immer stärker ins Gewicht.
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Der Schraubenschlüssel am Windrad
AFB II
Bei Wartungsarbeiten fällt ein Schraubenschlüssel aus 80 m Höhe von der Gondel eines Windrads. Vergleiche an jeder Stelle Lage- und Bewegungsenergie. Der Boden ist die Bezugshöhe, Luftwiderstand wird vernachlässigt.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
Stelle
Epot ist größer
beide gleich groß
Ekin ist größer
nach 20 m Fallstrecke
nach 40 m Fallstrecke
nach 60 m Fallstrecke
50 m über dem Boden
10 m über dem Boden
Die Bewegungsenergie gehört zur schon gefallenen Strecke, die Lageenergie zur restlichen Höhe über dem Boden. Gleich groß sind beide genau auf halber Höhe, also 40 m über dem Boden. Vorsicht bei „Fallstrecke“ und „über dem Boden“: 50 m über dem Boden heißt nur 30 m Fallstrecke.
Rechne jede Angabe in zwei Zahlen um: gefallene Strecke und restliche Höhe. Beide ergeben zusammen immer 80 m.
12
Wie ändert sich das Tempo?
AFB II
Ein Kieselstein fällt von einer Brücke ins Wasser. Was passiert mit seiner Aufprallgeschwindigkeit, wenn man jeweils eine Sache ändert? Stufe 1 = halb so schnell, Stufe 2 = gleich schnell, Stufe 3 = etwa 1,4-mal so schnell, Stufe 4 = doppelt so schnell, Stufe 5 = dreimal so schnell.
Wähle in jeder Zeile eine Stufe von 1 bis 5.
1 = halb so schnell5 = dreimal so schnell
Ein dreimal so schwerer Stein fällt von derselben Brücke
Die Brücke ist viermal so hoch
Die Brücke ist doppelt so hoch
Die Brücke ist neunmal so hoch
Der Stein wird von einem Steg losgelassen, der nur ein Viertel so hoch ist
Die Geschwindigkeit wächst mit der Wurzel der Höhe: √4 = 2, √9 = 3, √2 ≈ 1,41 und √¼ = ½. Die Masse kürzt sich heraus und ändert gar nichts.
Ziehe aus dem Faktor, um den sich die Höhe ändert, die Wurzel. Das ist der Faktor für die Geschwindigkeit.
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Paare finden: Formelzeichen beim freien Fall
AFB I
Zehn Karten, fünf Paare. Finde zu jedem Formelzeichen seine Bedeutung.
Zehn Karten, fünf Paare.
Beim freien Fall ohne Reibung gilt Epot oben = Ekin unten — beide in Joule, sonst dürfte man sie nicht gleichsetzen.
14
Regler: die Möwe und die Muschel
AFB II
Möwen lassen Muscheln aus der Luft auf Steine fallen, damit die Schale zerbricht. Eine Muschel soll mit 12,5 m/s aufschlagen. Aus welcher Höhe muss die Möwe sie loslassen? Stelle den Regler auf den berechneten Wert (ganze Meter).
Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.
0 m20 m
h = v² : (2 · g) = 156,25 : 19,62 ≈ 7,96 m, also rund 8 m. Die Masse der Muschel braucht die Möwe dafür nicht zu kennen.
12,5² = 156,25. Teile danach durch 2 · 9,81 = 19,62.
15
Szene für Szene: der Hammer vom Gerüst
AFB II
Einem Dachdecker rutscht in 18 m Höhe ein Hammer (1,2 kg) vom Gerüst. Gesucht ist das Tempo, nachdem der Hammer 12 m gefallen ist. Wähle in jeder Szene den nächsten sinnvollen Schritt.
Drei Szenen — jede Entscheidung bringt dich einen Schritt weiter.
Der Anfangszustand bleibt immer derselbe — nur der Endzustand bestimmt, welche Höhe in die Formel kommt.
16
Entscheidungsbaum: Passt v = √(2 · g · h)?
AFB I
Eine Stahlkugel wird in einer luftleeren Glasröhre aus der Ruhe losgelassen. Gesucht ist ihre Geschwindigkeit am unteren Ende. Beantworte die Fragen des Baums.
Der Baum prüft, ob die Formel hier gilt.
Die kurze Formel hat zwei Bedingungen: Start aus der Ruhe und keine Reibung. In der luftleeren Röhre sind beide erfüllt.
17
Wie tief ist der Brunnen?
AFB II
Ein Stein wird in einen alten Brunnen fallen gelassen. Ein Sensor am Grund misst beim Aufprall 20 m/s. Lege die vier Zeilen der Lösung in der richtigen Reihenfolge in die Plätze. Drei Bausteine bleiben übrig.
Klicke einen Baustein an und setze ihn auf den nächsten freien Platz.
Ansatz, Masse kürzen, nach h umstellen, einsetzen: 20² = 400 und 400 : 19,62 ≈ 20,4 m. Wer nur durch 9,81 teilt, vergisst die 2 aus dem ½ und erhält die doppelte Tiefe.
Oben hat der Stein nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie. Die gesuchte Größe ist diesmal die Höhe.
m · g · h = ½ · m · v² | : m → g · h = ½ · v² | : g → h = v² : (2 · g) = 400 : 19,62 ≈ 20,4 m.
18
Fehlersuche: die Kokosnuss
AFB II
Eine Kokosnuss (1,5 kg) fällt aus 15 m Höhe von der Palme. So hat jemand gerechnet. Zwei der fünf Zeilen enthalten je einen Fehler — finde sie.
Drei Zeilen sind richtig, zwei enthalten je einen typischen Fehler.
Beide Ergebnisse hätte eine Plausibilitätsprüfung entlarvt: 147 m/s wären über 500 km/h, und 4,8 km/h ist Schritttempo.
Prüfe jede Rechenoperation: Welche Umkehrung gehört zum Quadrat, und wie rechnet man m/s in km/h um?
v = √(2 · 9,81 · 15) = √294,3 ≈ 17,2 m/s und 17,2 · 3,6 ≈ 62 km/h. Die Lageenergie in Zeile 2 stimmt, wird für v aber gar nicht gebraucht.
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Der Eiszapfen an der Dachrinne
AFB II
Ein Eiszapfen (0,4 kg) bricht an einer Dachrinne 7,5 m über dem Gehweg ab. Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. (g = 9,81 N/kg, ohne Luftwiderstand)
Öffne jedes Menü und wähle den Eintrag, der die Rechnung richtig macht.
Direkt beim Abbrechen hat der Eiszapfen .
Seine Lageenergie beträgt .
Auf dem Gehweg schlägt er mit auf.
Das sind ungefähr .
E = 0,4 · 9,81 · 7,5 ≈ 29,4 J; v = √(2 · 9,81 · 7,5) = √147,15 ≈ 12,1 m/s ≈ 43,7 km/h. Deshalb sperrt man bei Tauwetter Gehwege unter Dachrinnen ab.
8,6 m/s bekommt, wer die 2 unter der Wurzel vergisst; 24,3 m/s ist das Doppelte des richtigen Werts.
20
Trickaufgabe: den Ortsfaktor messen
AFB III
Eine Raumsonde lässt auf einem fremden Planeten einen Messkörper aus der Höhe h fallen und misst die Aufprallgeschwindigkeit v. Stelle m · g · h = ½ · m · v² nach dem Ortsfaktor g um und gib den fertigen Term ein. Erlaubt sind die Buchstaben v und h, Potenzen schreibst du mit ^.
Gib den Term für g ein. Enter prüft.
Kürzen ergibt g · h = ½ · v², also g = v² : (2 · h), geschrieben als v^2/(2*h). Probe: Misst die Sonde nach 5 m Fall 6 m/s, ist g = 36 : 10 = 3,6 N/kg — ungefähr der Wert auf dem Mars.
Diesmal ist nicht v oder h gesucht, sondern g. Teile zuerst durch m und dann durch das, was noch bei g steht.
m · g · h = ½ · m · v² | : m → g · h = ½ · v² | : h → g = v² : (2 · h). Achte auf die Klammer im Nenner: v^2/2*h wäre etwas anderes.
