Energielinien lesen, Höhen vergleichen und Geschwindigkeiten an beliebigen Stellen der Bahn berechnen — vom Lückentext bis zur mehrschrittigen Aufgabe.
Bei einer Achterbahn liefert der Motor nur am Energie. Für jede Stelle der Strecke rechnet man mit der zur Starthöhe. Der Abstand zwischen Schiene und Energielinie entspricht der . Weil unterwegs auftritt, ist die gemessene Geschwindigkeit stets etwas kleiner als die berechnete.
Denk an die orange Linie im Applet.
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Die Murmelbahn
AFB I
Eine Murmel startet aus dem Stand in 80 cm Höhe und rollt bis auf den Tisch hinunter. Wie schnell ist sie unten? (g = 9,81 N/kg, Reibung vernachlässigt) Runde auf eine Nachkommastelle.
Rechne 80 cm zuerst in Meter um.
2 · 9,81 · 0,8 = 15,7 — davon die Wurzel.
80 cm sind 0,8 m — die Formel rechnet immer in Metern.
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Stimmt das über die Achterbahn?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie richtig oder falsch ist.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 4
Achte auf den Unterschied zwischen „verloren“ und „entwertet“.
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Schritt für Schritt: die Wasserrutsche
AFB II
Ein Kind (40 kg) startet auf einer Wasserrutsche in 9 m Höhe aus dem Stand und kommt in 1 m Höhe am Becken an. Reibung wird vernachlässigt.
Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Welche Höhendifferenz musst du einsetzen? (in m)m
Mit welcher Geschwindigkeit kommt das Kind an? (in m/s)m/s
Wie viel ist das in km/h?km/h
Erst die Differenz, dann v = √(2 · g · Δh), dann · 3,6.
9 m minus 1 m.
v = √(2 · 9,81 · 8) = √156,96 ≈ 12,5 m/s, und 12,5 · 3,6 ≈ 45,1 km/h.
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Fehlersuche: die volle Höhe eingesetzt
AFB II
Für einen 20 m hohen Zwischenhügel einer 45-m-Bahn rechnet Jonas: „v = √(2 · 9,81 · 20) = 19,8 m/s.“ Welche Aussagen treffen zu?
Mehrere Antworten sind richtig.
45 m − 20 m = 25 m sind umgewandelt worden.
Welche Höhe hat der Wagen verloren, welche hat er noch?
Ordne jede Situation zu. Achte darauf, in welche Richtung die Umwandlung läuft.
Ziehe jede Situation in das passende Fach.
1Bewegungsenergie nimmt zu
2Lageenergie nimmt zu
3beides bleibt etwa gleich
Bergab, bergauf oder eben — mehr Fälle gibt es nicht.
Wo sich die Höhe nicht ändert, ändert sich auch die Lageenergie nicht.
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Trickaufgabe: die Bobbahn
AFB III
Ein Bob startet aus dem Stand 30 m über dem Ziel. Unten werden 22 m/s gemessen. Nimm an, dass ab dem Ziel keine Reibung mehr auftritt: Wie hoch käme der Bob eine Gegensteigung hinauf? Runde auf eine Nachkommastelle.
Stelle v = √(2 · g · h) nach h um: h = v² : (2 · g).
22² = 484, geteilt durch 19,62.
Die 30 m brauchst du für diese Rechnung gar nicht — nur die gemessenen 22 m/s.
484 : 19,62 ≈ 24,7 m. Die fehlenden 5,3 m entsprechen genau der Energie, die auf dem Weg nach unten entwertet wurde.
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Wo ist der Wagen am schnellsten?
AFB I
Der Wagen startet in 45 m Höhe. Ordne die vier Stellen der Bahn nach der Bewegungsenergie — die größte zuerst.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1oben auf dem zweiten Hügel (30 m)
2unten im Tal (0 m)
3oben am Lifthügel (45 m), Kette gerade ausgeklinkt
4in einer Kurve in 15 m Höhe
Je tiefer die Schiene liegt, desto größer der blaue Abschnitt bis zur Energielinie. Ganz oben am Lifthügel ist die Bewegungsenergie null.
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Höhendifferenzen ablesen
AFB I
Lifthügel 45 m, Tal 0 m, zweiter Hügel 30 m. Trage die drei Höhendifferenzen ein, mit denen man rechnet.
Alle drei Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
vom Lifthügel ins Tal: m vom Lifthügel auf den zweiten Hügel: m vom Tal auf den zweiten Hügel: m
Nur die mittlere Zahl ist neu: 45 m − 30 m = 15 m. Genau diese 15 m gehören in Teilfrage c) unter die Wurzel — nicht die 45 m.
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Welche Energieform steckt an dieser Stelle drin?
AFB I
Sechs Stellen der Fahrt, drei Bereiche. Ordne zu.
Sechs Karten, drei Bereiche.
1 nur Lageenergie
2 nur Bewegungsenergie
3 beide gleichzeitig
„Nur Lageenergie“ heißt: Der Wagen steht. „Nur Bewegungsenergie“ heißt: Er ist auf der Bezugshöhe, also auf 0 m. Überall dazwischen sind beide Formen im Spiel.
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Höhe und Geschwindigkeit verbinden
AFB II
Der Wagen startet in 45 m Höhe aus dem Stand. Verbinde jede Höhe über dem Boden mit der Geschwindigkeit, die er dort hat. (ohne Reibung)
Wähle links eine Höhe aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Wert an.
Immer v = √(2 · g · Δh) mit Δh = 45 m minus der Höhe an der Stelle: 0 m, 15 m, 25 m, 45 m.
Rechne zuerst für jede Zeile die Höhendifferenz zum Lifthügel aus.
√(2·9,81·15) = 17,2; √(2·9,81·25) = 22,1; √(2·9,81·45) = 29,7. Bei 45 m ist die Differenz null — der Wagen steht.
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Teilfrage c) im Lückentext
AFB II
Gefragt ist die Geschwindigkeit oben auf dem zweiten Hügel. Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
Öffne jedes Menü und wähle den Eintrag, der die Rechnung richtig macht.
Als Bezugshöhe legen wir fest.
Unter die Wurzel gehört die Höhendifferenz .
Damit ist v = ≈ .
Die Masse von 900 kg wird dafür .
√294,3 ≈ 17,2 m/s, also rund 62 km/h. Wer 45 m einsetzt, bekommt 29,7 m/s heraus — das ist die Geschwindigkeit im Tal, nicht auf dem Hügel.
Umgewandelt wird nur die Energie, die zwischen Startpunkt und Zielpunkt an Höhe verloren geht.
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Klick ins Streckenprofil
AFB II
Das Bild zeigt die Bahn von links nach rechts: Lifthügel (45 m) — Tal (0 m) — zweiter Hügel (30 m) — Auslauf (5 m). Klicke jeweils die Stelle an, nach der gefragt wird.
Vier Fragen nacheinander.
900 · 9,81 · 30 = 264 870 J — das ist genau der zweite Hügel. Der Abstand zwischen Schiene und orangefarbener Linie ist die Bewegungsenergie; im Tal ist er am größten.
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Regler: der höchstmögliche zweite Hügel
AFB II
Teilfrage d) noch einmal, ohne Text: Stelle ein, wie hoch der zweite Hügel höchstens sein dürfte, damit der Wagen gerade noch hinüberkommt.
Schiebe den Regler auf den Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.
0 m60 m
Genau 45 m — die Höhe des Lifthügels. Die Energielinie ist die Obergrenze: Die Schiene darf sie nirgends überragen.
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Szene für Szene über den zweiten Hügel
AFB II
Der Wagen kommt aus dem Tal und fährt auf den 30-m-Hügel zu. Wähle in jeder Szene den nächsten sinnvollen Schritt.
Drei Szenen — jede Entscheidung bringt dich einen Schritt weiter.
Anfangszustand, Endzustand, Höhendifferenz — mehr braucht es nicht.
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Korrigieren statt nur ankreuzen
AFB III
Eine Schülerlösung zu Teilfrage c). Klicke die fehlerhaften Zeilen an und trage jeweils den richtigen Wert ein.
Nur die angeklickten Zeilen bekommen ein Korrekturfeld. Geprüft wird beides: die Auswahl und die Korrekturen.
Richtig ist (in m):
Richtig ist (in m/s):
Ein einziger falscher Wert in Zeile 3 zieht sich bis ins Ergebnis durch. 29,7 m/s ist nicht irgendeine falsche Zahl — es ist die Geschwindigkeit im Tal.
Formel und Ansatz sind völlig in Ordnung — der Fehler steckt in einer eingesetzten Zahl.
Δh = 45 m − 30 m = 15 m, damit v = √(2 · 9,81 · 15) = √294,3 ≈ 17,2 m/s.
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Wie groß ist die Energie ungefähr?
AFB II
Schätze für jede Situation die Lageenergie ab und wähle die passende Größenordnung. (g = 9,81 N/kg)
Wähle in jeder Zeile eine Stufe von 1 bis 5.
1 = unter 100 J5 = über 1 000 000 J
Ein Tennisball (0,06 kg) auf einem 1 m hohen Tisch
Ein Kind (40 kg) oben auf der 3 m hohen Wasserrutsche
Fahrrad samt Fahrer (90 kg) oben auf einem 30 m hohen Hügel
Der Achterbahnwagen (900 kg) oben am Lifthügel (45 m)
Ein voll beladener Güterzug (200 000 kg) auf einem 45 m hohen Viadukt
Der Reihe nach: 0,6 J · 1177 J · 26 487 J · 397 305 J · 88 290 000 J. Zwischen dem Tennisball und dem Güterzug liegen acht Zehnerpotenzen — und immer ist es dieselbe Formel E = m · g · h.
Rechne jede Zeile mit E = m · g · h aus und zähle danach die Stellen vor dem Komma.
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Teilfrage e): Wie viel Energie ist entwertet?
AFB III
Am Start stehen 397 305 J zur Verfügung. Gemessen werden im Tal aber nur 27 m/s. Fülle alle drei Felder aus. (m = 900 kg)
Fülle alle drei Felder aus und prüfe dann. Enter prüft ebenfalls.
Der Anteil ist immer entwertete Energie geteilt durch die Gesamtenergie am Start — nicht umgekehrt.
Rund ein Sechstel der Energie ist zu innerer Energie geworden: Räder, Schienen und Luft sind ein wenig wärmer.
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Paare finden: Stelle und Geschwindigkeit
AFB II
Der Wagen startet in 45 m Höhe aus dem Stand. Finde zu jeder Stelle der Bahn die passende Geschwindigkeit.
Acht Karten, vier Paare.
Immer v = √(2 · g · Δh) mit Δh = 45 m minus der Höhe: 0 m, 45 m, 15 m, 25 m. Je tiefer die Stelle, desto schneller der Wagen.
Rechne für jede Höhe zuerst die Differenz zu den 45 m des Lifthügels aus.
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Trickaufgabe: der Looping
AFB III
Statt des zweiten Hügels baut man einen Looping ein. Sein höchster Punkt liegt 20 m über dem Boden. Wie schnell ist der Wagen dort — in m/s und in km/h? (Start 45 m, ohne Reibung, eine Nachkommastelle)
Beide Werte eintragen, Enter prüft.
Δh = 45 m − 20 m = 25 m, also v = √(2 · 9,81 · 25) = √490,5 ≈ 22,1 m/s. Mal 3,6 ergibt rund 79,7 km/h. Dass der Wagen im Looping kopfüber hängt, ändert an der Energierechnung nichts — nur die Höhe zählt.
Auch hier gilt: nicht die 45 m einsetzen, sondern die Differenz zum Loopingscheitel.
√490,5 ≈ 22,1 m/s; 22,1 · 3,6 ≈ 79,7 km/h. Zum Vergleich: Im Tal wären es 107 km/h.
