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Textaufgaben im Abiturformat

5.0.3 Sammellinse, Brennpunkt und Brennweite

Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Beim Optiker

AFB I

Auf einem Brillenpass stehen die Brechkräfte der beiden Gläser. Sammellinsen werden mit positiven, Zerstreuungslinsen mit negativen Werten angegeben.

M1Auszüge aus vier Brillenpässen
PersonBrechkraft D
A+2,00 dpt
B+4,00 dpt
C+0,50 dpt
D−2,50 dpt

1 dpt = 1 m−1.

  1. Geben Sie für die Personen A, B und C jeweils die Brennweite in Zentimetern an.
  2. Begründen Sie, welches der drei Sammelgläser am stärksten gekrümmt ist.
  3. Erklären Sie, was das negative Vorzeichen bei Person D bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
f = 1 : D, mit D in Dioptrien ergibt sich f in Metern. Erst danach in Zentimeter umrechnen.„Angeben“ verlangt nur die Ergebnisse — eine kurze Rechnung pro Zeile genügt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Krümmung und Brennweite hängen zusammen: Je stärker die Linse bricht, desto ...
Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, was mit achsenparallelen Strahlen hinter einer in der Mitte dünneren Linse geschieht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A: f = 1 : 2,00 dpt = 0,500 m = 50,0 cm

B: f = 1 : 4,00 dpt = 0,250 m = 25,0 cm

C: f = 1 : 0,50 dpt = 2,00 m = 200 cm

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Am stärksten gekrümmt ist das Glas von Person B.

Begründung: B hat mit 4,00 dpt die größte Brechkraft und damit die kleinste Brennweite. Eine kleine Brennweite bedeutet, dass die Strahlen auf kurzer Strecke zusammengeführt werden — das erfordert eine starke Ablenkung und damit eine starke Krümmung der Oberflächen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Minuszeichen kennzeichnet eine Zerstreuungslinse. Sie ist in der Mitte dünner als am Rand, und achsenparallel einfallende Strahlen laufen hinter ihr auseinander statt zusammen.

Ihr Brennpunkt ist deshalb virtuell: Nicht die Strahlen selbst treffen sich dort, sondern ihre rückwärtigen Verlängerungen — und zwar auf der Seite, von der das Licht kommt. Rechnerisch drückt man das durch eine negative Brennweite aus: f = 1 : (−2,50 dpt) = −0,40 m.

2

Brennweite selbst bestimmen

AFB III

Eine Schülergruppe soll die Brennweite einer unbeschrifteten Sammellinse messen und probiert zwei Verfahren aus.

M1Die beiden Verfahren

Verfahren 1 (Sonnenmethode): Die Linse wird ins Sonnenlicht gehalten und ein Blatt Papier dahinter so lange verschoben, bis der Lichtfleck am kleinsten und hellsten ist. Gemessener Abstand: 9,8 cm.

Verfahren 2 (Zimmerlampe): Dasselbe wird mit einer Deckenlampe in 2,0 m Entfernung gemacht. Gemessener Abstand: 10,3 cm.

  1. Erklären Sie, warum bei Verfahren 1 der Abstand zwischen Linse und Papier gerade die Brennweite ist.
  2. Vergleichen Sie die beiden Messergebnisse und begründen Sie, welches Verfahren die Brennweite genauer liefert.
  3. Die Gruppe möchte die Brennweite auf 0,1 cm genau bestimmen. Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie sich die Messung verbessern lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Eigenschaft hat das Licht der Sonne, wenn es bei uns ankommt?
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei Verfahren 2 ist die Lichtquelle nicht unendlich weit weg. Ist der gemessene Abstand dann die Brennweite oder eine Bildweite?„Vergleichen“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede, gewichtet.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denken Sie an Mehrfachmessungen, an die Ablesegenauigkeit und an die Frage, woran man den „kleinsten Fleck“ erkennt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Sonne ist so weit entfernt, dass ihr Licht bei uns praktisch achsenparallel eintrifft. Achsenparallele Strahlen werden aber gerade im Brennpunkt vereinigt — das ist die Definition der Brennweite.

Der Ort des kleinsten und hellsten Flecks ist deshalb der Brennpunkt, und sein Abstand von der Linsenmitte ist f. Formal folgt dasselbe aus der Linsengleichung: Für g gegen unendlich geht 1 : g gegen null, also b = f.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beide Verfahren liefern ähnliche Werte, rund 10 cm — die Größenordnung ist also gesichert. Der Unterschied beträgt 0,5 cm, also etwa 5 %.

Genauer ist Verfahren 1. Bei Verfahren 2 ist die Lichtquelle nur 2,0 m entfernt; der gemessene Abstand ist deshalb nicht die Brennweite, sondern eine Bildweite b, die systematisch größer als f ausfällt. Genau das zeigen die Zahlen: 10,3 cm > 9,8 cm.

Rechnet man Verfahren 2 mit der Linsengleichung korrekt aus, ergibt sich 1 : f = 1 : 200 cm + 1 : 10,3 cm, also f ≈ 9,8 cm — in guter Übereinstimmung mit Verfahren 1. Der scheinbare Widerspruch war also kein Messfehler, sondern ein systematischer Fehler der Auswertung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Vorschlag in drei Punkten:

Erstens sollte jede Messung mehrfach und von verschiedenen Personen durchgeführt und der Mittelwert gebildet werden; die Streuung liefert zugleich eine Abschätzung der Messunsicherheit.

Zweitens lässt sich der Ort des kleinsten Flecks objektiver bestimmen, wenn man die Linse auf einer optischen Bank montiert und den Schirm mit einer Millimeterskala verschiebt, statt das Papier in der Hand zu halten. Sinnvoll ist auch, von beiden Seiten an das Optimum heranzufahren und zu mitteln.

Drittens sollte bei Verfahren 2 nicht der Rohwert genommen, sondern die Linsengleichung ausgewertet werden — dann liefert auch eine nahe Lichtquelle einen brauchbaren Wert, und man erhält eine unabhängige zweite Bestimmung von f.