Textaufgaben im Abiturformat
Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.
Eine Straßenlaterne hängt in 5,0 m Höhe und darf als punktförmig angesehen werden. In 3,0 m waagerechtem Abstand von ihrem Fußpunkt steht ein 1,0 m hoher Pfosten senkrecht auf dem Boden.
| Größe | Formelzeichen | Wert |
|---|---|---|
| Höhe der Laterne | hL | 5,0 m |
| Höhe des Pfostens | hP | 1,0 m |
| Abstand Laternenfuß – Pfosten | d | 3,0 m |
Der Boden ist eben und waagerecht.
Licht breitet sich in der homogenen Luft geradlinig aus. Die Schattengrenze ist deshalb die Verlängerung genau des einen Strahls, der die Pfostenspitze streift.
Weil die Laterne punktförmig ist, gibt es zu jedem Punkt des Bodens nur die Alternative „Strahl kommt an“ oder „Strahl ist verdeckt“. Ein Übergangsbereich, in dem nur ein Teil der Quelle sichtbar wäre, existiert nicht — der Rand ist scharf.
Der streifende Strahl geht von der Laternenspitze über die Pfostenspitze zum Schattenende. Mit der Schattenlänge s (gemessen ab dem Pfostenfuß) gilt nach den Strahlensätzen:
hP : hL = s : (d + s), also 1,0 : 5,0 = s : (3,0 m + s).
Daraus folgt 5,0 · s = 3,0 m + s, also 4,0 · s = 3,0 m und s = 0,75 m. Der Schatten ist damit deutlich kürzer als der Pfosten hoch ist — die Laterne steht ja auch höher als er.
Eine ausgedehnte Lichtquelle wirkt wie sehr viele Punktquellen nebeneinander. Jede davon erzeugt ihren eigenen Schatten, und diese Schatten sind gegeneinander verschoben.
Dort, wo alle Einzelschatten übereinanderliegen, bleibt es völlig dunkel — das ist der Kernschatten, der jetzt kürzer ist als vorher. Ringsherum entsteht ein Bereich, in dem nur ein Teil der Röhre verdeckt ist: der Halbschatten, der nach außen allmählich heller wird. Der Schattenrand ist also nicht mehr scharf, sondern verlaufend.
Bei einer Sonnenfinsternis schiebt sich der Mond zwischen Sonne und Erde. Ob eine Finsternis total oder nur ringförmig ist, entscheidet die Länge des Mond-Kernschattens.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Durchmesser der Sonne | 1,392 · 106 km |
| Durchmesser des Mondes | 3476 km |
| Abstand Sonne – Mond | 1,496 · 108 km |
| Abstand Mond – Erde (kleinster / größter) | 356 400 km / 406 700 km |
Alle Körper werden als Kugeln, die Bahnen als kreisähnlich angenommen.
Die Sonne ist eine ausgedehnte Lichtquelle. Punkte hinter dem Mond, von denen aus die gesamte Sonnenscheibe verdeckt ist, liegen im Kernschatten; Punkte, von denen aus nur ein Teil verdeckt ist, liegen im Halbschatten.
Weil die Sonne zudem größer ist als der Mond, laufen die äußeren Randstrahlen hinter dem Mond aufeinander zu: Der Kernschatten ist ein Kegel mit endlicher Länge und keine unendliche Röhre.
Aus der zentrischen Ähnlichkeit folgt L : a = dM : (DS − dM) mit dem Abstand a = 1,496 · 108 km.
L = 3476 km · 1,496 · 108 km : (1,392 · 106 km − 3476 km)
L = 3476 · 1,496 · 108 : (1,3885 · 106) km ≈ 3,7 · 105 km, also rund 374 000 km.
Der Kernschatten ist mit rund 374 000 km ungefähr so lang wie der Mond von der Erde entfernt ist. Das ist ein bemerkenswerter Zufall — und er hat zwei Folgen.
Steht der Mond nahe am erdnächsten Punkt seiner Bahn (356 400 km), reicht die Kernschattenspitze bis auf die Erdoberfläche: Es gibt eine totale Finsternis, allerdings nur in dem schmalen Streifen, den der Schattenkegel überstreicht. Steht er weiter weg (bis 406 700 km), endet der Kernschatten vor der Erde. Dann ist von der Sonne noch ein Ring zu sehen — eine ringförmige Finsternis.
Totale Finsternisse sind also selten, weil dafür drei Bedingungen zugleich erfüllt sein müssen: Neumond, der Mond nahe der Erdbahnebene und ein hinreichend kleiner Erdabstand — und selbst dann ist nur ein schmaler Streifen der Erde betroffen.