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Textaufgaben: Bahngeschwindigkeit

Zwei Sachaufgaben aus der Technik — die Scheibe einer Festplatte und die Datenspur einer CD.

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Sachaufgaben

Die Aufgaben sind wie im Abitur aufgebaut: Sachtext, Material und mehrere Teilaufgaben. Die unterstrichenen Operatoren sagen dir, was genau verlangt ist — fahre mit der Maus darüber oder springe mit Tab darauf. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont. Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Scheibe in der Festplatte

AFB II

Die Scheiben in einer Festplatte rotieren mit 7200 Umdrehungen pro Minute (RPM). Ein Punkt am Rand der Platte hat den Abstand \(r = 4{,}7\,\mathrm{cm}\) von der Drehachse (Material M1).

M1Scheibe einer Festplatte von oben
r = 4,7 cm v 7200 U/min

Ein Punkt am Rand der Scheibe legt bei jeder Umdrehung den vollen Kreisumfang zurück.

  1. Berechne die Drehfrequenz \(f\) in Hertz.
  2. Berechne, welche Bahngeschwindigkeit ein Punkt am Rand der Platte hat.
  3. Ermittle, wie sich die Bahngeschwindigkeit verändert, wenn die Platte nur noch mit 5400 RPM rotiert.
Hinweis zu Aufgabe a)
„Pro Minute“ ist nicht „pro Sekunde“. Teile die Umdrehungen durch \(60\,\mathrm{s}\), dann steht die Frequenz in \(\mathrm{Hz}\) da.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze \(v = 2\pi r\cdot f\). Der Radius muss dafür in Metern eingesetzt werden: \(4{,}7\,\mathrm{cm} = 0{,}047\,\mathrm{m}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Radius bleibt gleich, nur \(f\) ändert sich. Du kannst entweder neu einsetzen oder überlegen, in welchem Verhältnis 5400 zu 7200 steht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f = \dfrac{7200}{\mathrm{min}} = \dfrac{7200}{60\,\mathrm{s}} = \mathbf{120\,\mathrm{Hz}}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(r = 4{,}7\,\mathrm{cm} = 0{,}047\,\mathrm{m}\)

\(v = 2\pi r\cdot f = 2\pi\cdot 0{,}047\,\mathrm{m}\cdot 120\,\mathrm{Hz} = \mathbf{35{,}44\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Das sind rund \(128\,\mathrm{\frac{km}{h}}\) — allein durch die Drehung der kleinen Scheibe.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f = \dfrac{5400}{60\,\mathrm{s}} = 90\,\mathrm{Hz}\)

\(v = 2\pi r\cdot f = 2\pi\cdot 0{,}047\,\mathrm{m}\cdot 90\,\mathrm{Hz} = \mathbf{26{,}58\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Die Bahngeschwindigkeit sinkt im selben Verhältnis wie die Frequenz: \(\dfrac{5400}{7200} = 0{,}75\), und tatsächlich ist \(\dfrac{26{,}58}{35{,}44} = 0{,}75\).

2

Das CD-Laufwerk

AFB III

Bei den ersten CD-Laufwerken wurden die Daten mit „einfacher Lesegeschwindigkeit“ (1x) gelesen. Die innerste Datenspur ist etwa \(2\,\mathrm{cm}\) von der Drehachse entfernt, die äußerste Datenspur etwa \(5{,}5\,\mathrm{cm}\). Die Lesegeschwindigkeit beträgt \(v = 1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) (Material M2).

M2Datenspuren auf einer CD
äußerste Spur: r = 5,5 cm innerste Spur: r = 2,0 cm Lesegeschwindigkeit v = 1,2 m s

Bei „einfacher Lesegeschwindigkeit“ ist die Bahngeschwindigkeit konstant — deshalb muss sich die Drehfrequenz ändern, je nachdem, welche Spur gelesen wird.

  1. Berechne, mit welchen Drehfrequenzen sich der Antriebsmotor drehen muss, wenn eine innere bzw. eine äußere Datenspur gelesen werden soll.
  2. Berechne, mit welchen Frequenzen sich der Antriebsmotor bei einem modernen Laufwerk (52-fache Geschwindigkeit) drehen müsste, wenn auch hier die Bahngeschwindigkeit konstant bliebe.
  3. Bei modernen Laufwerken bleibt die Drehzahl konstant und kann maximal 10 000 Umdrehungen pro Minute betragen. Bestimme die größtmögliche Lesegeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gesucht ist \(f\), gegeben sind \(v\) und \(r\). Stelle \(v = 2\pi r\cdot f\) nach \(f\) um: \(f = \dfrac{v}{2\pi r}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
„52-fache Geschwindigkeit“ heißt: \(v\) wird mit 52 multipliziert. Da \(f\) proportional zu \(v\) ist, kannst du auch die Ergebnisse aus a) mit 52 multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier ist \(f\) vorgegeben und \(v\) gesucht. Die größte Bahngeschwindigkeit erreichst du dort, wo der Radius am größten ist — also auf der äußersten Spur.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \(r_1 = 2\,\mathrm{cm} = 0{,}02\,\mathrm{m}\) · \(r_2 = 5{,}5\,\mathrm{cm} = 0{,}055\,\mathrm{m}\) · \(v = 1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

Formel: \(v = 2\pi r\cdot f\)  ⟹  \(f = \dfrac{v}{2\pi r}\)

innen: \(f_1 = \dfrac{1{,}2}{2\pi\cdot 0{,}02} = \mathbf{9{,}55\,\mathrm{Hz}}\)

außen: \(f_2 = \dfrac{1{,}2}{2\pi\cdot 0{,}055} = \mathbf{3{,}47\,\mathrm{Hz}}\)

Der Motor muss innen also deutlich schneller drehen als außen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v = 52\cdot 1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}} = 62{,}4\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

innen: \(f_1 = \dfrac{62{,}4}{2\pi\cdot 0{,}02} = \mathbf{497\,\mathrm{Hz}}\) — das sind rund 29 800 Umdrehungen pro Minute.

außen: \(f_2 = \dfrac{62{,}4}{2\pi\cdot 0{,}055} = \mathbf{181\,\mathrm{Hz}}\) — rund 10 800 Umdrehungen pro Minute.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f = \dfrac{10\,000}{60\,\mathrm{s}} = 166{,}7\,\mathrm{Hz}\)

größter Radius: \(r_2 = 0{,}055\,\mathrm{m}\)

\(v = 2\pi r_2\cdot f = 2\pi\cdot 0{,}055\,\mathrm{m}\cdot 166{,}7\,\mathrm{Hz} \approx \mathbf{57{,}6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Verglichen mit der einfachen Lesegeschwindigkeit von \(1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) entspricht das etwa 48-facher Geschwindigkeit — und das auch nur ganz außen.

Weiterlernen3.1.5 WinkelgeschwindigkeitWie viel Winkel pro Sekunde — und der Zusammenhang v = ω · r.