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Bahngeschwindigkeit

Strecke durch Zeit — auf dem Kreis heißt das 2πr durch T. Und plötzlich spielt der Radius eine Rolle.

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Was ist die Bahngeschwindigkeit?

Die Bahngeschwindigkeit sagt, wie schnell ein Körper auf seiner Kreisbahn unterwegs ist.

  • Weg durch Zeit:Es gilt weiterhin \(v=\tfrac{s}{t}\) — der Weg ist hier nur ein Kreisbogen statt einer Geraden.
  • Richtung:Der Geschwindigkeitspfeil liegt tangential an der Bahn, also senkrecht zum Radius.
  • Gleiche Umlaufdauer:Auf einem Karussell braucht jeder Platz für eine Runde gleich lang.
  • Radius entscheidet:Weiter außen ist der Weg pro Runde länger — also ist dort auch \(v\) größer.
Die Bahngeschwindigkeit ist das Tempo auf der Kreisbahn
\(v\) = Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn
v

Bahngeschwindigkeit; Einheit Meter pro Sekunde, \([v]=\mathrm{\frac{m}{s}}\).

Bahn

Die Kreislinie, auf der sich der Körper bewegt — ihr Radius wird von der Drehachse aus gemessen.

Zwei Plätze auf demselben Karussell
r₂ (außen) r₁ (innen) v₂ groß v₁ klein Beide brauchen für eine Runde gleich lang — trotzdem ist der äußere Platz schneller.

Der äußere Platz legt in derselben Umlaufdauer einen längeren Weg zurück. Genau das misst die Bahngeschwindigkeit.

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Die Formel herleiten

Geschwindigkeit ist immer Strecke durch Zeit — für den Kreis brauchen wir also nur Umfang und Umlaufdauer.

  • Ansatz:Wir starten bei \(v=\tfrac{s}{t}\) und betrachten genau eine volle Umdrehung.
  • Strecke:Eine Runde ist der Kreisumfang, also \(s = 2\pi r\).
  • Zeit:Für eine Runde braucht der Körper die Umlaufdauer \(T\).
  • Einsetzen:Aus \(v=\tfrac{s}{t}\) wird \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\), mit \(f=\tfrac{1}{T}\) auch \(v=2\pi r\cdot f\).
  • Warum eine Runde?Die Bewegung ist gleichförmig — jede Portion liefert dasselbe \(v\), die ganze Runde ist nur die bequemste.
  • Folgerung:\(v\) wächst proportional zum Radius und sinkt bei größerer Umlaufdauer.
  • Beispiel:Sekundenzeiger mit \(r=0{,}05\,\mathrm{m}\) und \(T=60\,\mathrm{s}\): \(v=\tfrac{2\pi\cdot 0{,}05\,\mathrm{m}}{60\,\mathrm{s}}\approx 0{,}0052\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).
So berechnest du die Bahngeschwindigkeit
\(v = \dfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r\cdot f\)
v

Bahngeschwindigkeit in Meter pro Sekunde, \([v]=\mathrm{\frac{m}{s}}\).

r

Radius der Kreisbahn in Meter, \([r]=\mathrm{m}\).

T

Umlaufdauer für eine volle Runde in Sekunden, \([T]=\mathrm{s}\).

f

Frequenz, also Runden pro Sekunde, in Hertz, \([f]=\mathrm{Hz}\).

Interaktiv 1

Das Karussell

Zwei Plätze, ein Karussell — also für beide dieselbe Umlaufdauer. Der Radius allein entscheidet, wie schnell ein Platz unterwegs ist, sichtbar am Verhältnis der beiden Bahngeschwindigkeiten.

Bahngeschwindigkeit

Die roten Pfeile zeigen die Bahngeschwindigkeit; ihre Länge ist maßstäblich zum Betrag.

beide Sitze: gleiche Umlaufdauer T
innerer Platz (r₁)äußerer Platz (r₂)
1,0 m
2,6 m
5,0 s
Frequenz \(f = \tfrac{1}{T}\)0,200 \(\mathrm{Hz}\)
\(v_1 = \tfrac{2\pi r_1}{T}\)1,26 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(v_2 = \tfrac{2\pi r_2}{T}\)3,27 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(v_2\) ist so oft \(v_1\)2,60 ×

Bei \(r_2 = 2r_1\) wird das Verhältnis der Geschwindigkeiten exakt 2,00 — unabhängig von der Umlaufdauer.

Zum Mitnehmen: Auf demselben Karussell haben alle Plätze dieselbe Umlaufdauer, aber nicht dieselbe Bahngeschwindigkeit. Der Radius allein entscheidet, wie schnell ein Platz unterwegs ist.

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Hinweise

Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:

Erst umrechnen, dann einsetzen

Der Radius gehört in Metern, die Umlaufdauer in Sekunden in die Formel. Aus \(5\,\mathrm{cm}\) werden \(0{,}05\,\mathrm{m}\), aus \(60\,\mathrm{min}\) werden \(3600\,\mathrm{s}\).

Radius, nicht Durchmesser

In \(2\pi r\) steht der Radius. Ist in der Aufgabe der Durchmesser angegeben, musst du ihn zuerst halbieren.

T und f nicht vertauschen

\(T\) ist die Dauer einer Runde in Sekunden, \(f\) die Zahl der Runden pro Sekunde in Hertz. Geteilt wird durch \(T\), multipliziert wird mit \(f\).

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