Der waagerechte Wurf: Textaufgaben – Physik Klasse 11

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Vier Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

Der Süßigkeitenflieger

AFB II

Als ein Paket voller Süßigkeiten aus einem Propellerflugzeug geworfen wird, befindet sich Herr Alayo mit seinen Freunden genau unter dem Flugzeug (siehe Skizze). Herr Alayo interessiert sich für Flugzeuge und weiß, dass Propellerflugzeuge normalerweise mit 140 km/h (= 38,9 m/s) in einer Höhe von 2000 m fliegen. Da er die Formeln für den waagerechten Wurf bereits kennt, beschließt er nicht zu laufen. Finden Sie heraus, ob das eine gute Entscheidung war!

Tipp

Das Paket hat direkt nach dem Abwurf ebenfalls eine horizontale Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ von 140 km/h.

M1Die Skizze zur Aufgabe — die Flugkurve fehlt noch

Tragen Sie in der Abbildung die ungefähre Flugkurve des Pakets ein, die sich aus den Formeln für den waagerechten Wurf ergeben würde.
Berechnen Sie die Zeit, die das Paket brauchen würde, um auf den Boden zu treffen. Formel: $t=\sqrt{\dfrac{2\cdot s_y}{g}}$
Berechnen Sie die horizontale Strecke, die das Paket in dieser Zeit zurückgelegt hat. Formel: $s_x=v_0\cdot t$
Sie haben berechnet, dass das Paket in 20,19 Sekunden eine Strecke von 785,4 Meter zurücklegt. Stellen Sie eine Vermutung auf, mit welcher Geschwindigkeit Herr Alayo mindestens laufen müsste, um das Paket zu bekommen. Überprüfen Sie anschließend Ihre Vermutung durch eine Rechnung. (Tipp: Herrn Alayos Bewegungsrichtung ist horizontal und gleichförmig!)
Einigen Freunden von Herrn Alayo ist es trotzdem gelungen, ein Paket zu ergattern. Wie ist das möglich? Begründen Sie!
ZusatzaufgabeZeichnen Sie in der oberen Abbildung die tatsächliche Flugkurve des Paketes ein. Begründen Sie!
ZusatzaufgabeWie könnte die vertikale Geschwindigkeit des Pakets vermindert werden?

Hinweis zu Aufgabe a)

Waagerecht startet das Paket mit $v_0$, senkrecht fällt es frei. Beide Bewegungen laufen gleichzeitig und stören sich nicht: In gleichen Zeitabschnitten kommt das Paket immer gleich weit nach rechts, aber immer weiter nach unten.„Einzeichnen“ heißt hier: der Verlauf muss stimmen (flach beginnen, immer steiler werden) — nicht der Millimeter.

Hinweis zu Aufgabe b)

In y-Richtung ist es ein freier Fall aus $s_y=2000\,\mathrm{m}$. Setze $g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ in die angegebene Formel ein — die Anfangsgeschwindigkeit spielt für die Fallzeit keine Rolle.„Berechnen“ verlangt Formel, Einsetzen und Ergebnis mit Einheit.

Hinweis zu Aufgabe c)

In x-Richtung bewegt sich das Paket gleichförmig, es wird also nicht langsamer. Nutze die Zeit aus b) und $v_0=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}$.„Berechnen“: Rechne mit m/s und s, dann kommt direkt Meter heraus — km/h müsstest du erst umrechnen.

Hinweis zu Aufgabe d)

Herr Alayo müsste in derselben Zeit dieselbe waagerechte Strecke schaffen wie das Paket. Für eine gleichförmige Bewegung gilt $v=\tfrac{s}{t}$.Erst die Vermutung aufschreiben, dann rechnen — die Rechnung soll die Vermutung prüfen, nicht ersetzen.

Hinweis zu Aufgabe e)

Die Rechnung gilt nur für den idealen waagerechten Wurf. Welche Kraft haben wir dabei vollständig weggelassen? Und woran hängen Hilfspakete, die aus Flugzeugen abgeworfen werden?„Begründen“ verlangt eine physikalische Ursache, nicht nur die Beobachtung.

Hinweis zu Aufgabe f)

Der Luftwiderstand wirkt entgegen der Bewegungsrichtung und wächst mit der Geschwindigkeit. Am größten ist die Geschwindigkeit direkt nach dem Abwurf — und zwar waagerecht.Die neue Kurve muss deutlich kürzer und steiler sein als die aus a); die Begründung nennt den Luftwiderstand als Ursache.

Hinweis zu Aufgabe g)

Denke daran, wie Hilfsgüter oder Fallschirmspringer sicher am Boden ankommen: Was vergrößert die Fläche und damit den Luftwiderstand?Ein Satz genügt — gefragt ist eine Maßnahme, keine Rechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Flugkurve ist eine Wurfparabel: Sie beginnt am Abwurfpunkt waagerecht und wird nach rechts hin immer steiler, weil die Strecke in x-Richtung gleichmäßig wächst, die Fallstrecke in y-Richtung aber quadratisch mit der Zeit. Der Aufschlag liegt 785,4 m rechts vom Abwurfpunkt (siehe M2, Kurve a).

M2Lösungsskizze — Kurve a) rechnerisch, Kurve f) tatsächlich

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $s_y=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$ folgt

$$t=\sqrt{\frac{2\cdot s_y}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2000\,\mathrm{m}}{9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}}}=20{,}19\,\mathrm{s}$$

Antwort: Das Paket würde 20,19 Sekunden brauchen, um auf den Boden zu kommen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es gilt $v_0=140\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}$.

$$s_x=v_0\cdot t=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\cdot 20{,}19\,\mathrm{s}=785{,}4\,\mathrm{m}$$

Antwort: Das Paket hat in dieser Zeit in horizontaler Richtung eine Strecke von 785,4 Meter zurückgelegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Vermutung: Da das Paket genau über Herrn Alayo fallen gelassen wird und das Paket eine horizontale Anfangsgeschwindigkeit von $v_0=140\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ hat, müsste Herr Alayo mit derselben Geschwindigkeit laufen. Rechnet man mit den Formeln des waagerechten Wurfs, würde Herr Alayo das Paket also nicht bekommen können.

Rechnung:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{785{,}4\,\mathrm m}{20{,}19\,\mathrm s}=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}=140\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$

Die Rechnung bestätigt die Vermutung: Herr Alayo müsste 140 km/h schnell laufen — das schafft kein Mensch. Nicht zu laufen war also keine gute Entscheidung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe e)

Herr Alayo hat einerseits vergessen, den Luftwiderstand mit einzukalkulieren. Weiterhin hängen solche Pakete meistens an Fallschirmen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe f)

Aufgrund der hohen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ würde das Paket kurz nach dem Abwurf durch den Luftwiderstand in horizontaler Richtung stark abgebremst werden (siehe neue Flugkurve — gestrichelte Kurve f) in M2 im Erwartungshorizont zu a). Die tatsächliche Bahn ist deshalb viel kürzer und viel steiler als die berechnete Wurfparabel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe g)

Das Paket könnte an einem Fallschirm hängen.

Wagst du den Sprung? — die Partnachklamm

AFB III

Herr Alayo entdeckt im Internet die folgende Werbeanzeige (M1). Bevor er sich auf sein Fahrrad setzt, soll die Anzeige physikalisch geprüft werden.

M1Die Werbeanzeige

Wagst du den Sprung?

Du bist sportlich, mutig und kannst mit dem Fahrrad mindestens 25 km/h schnell fahren?

Dann bist du bei uns genau richtig! Wage den Sprung deines Lebens und fliege über die 80 Meter tiefe Schlucht der Partnachklamm. Mit ordentlich Schwung startest du auf der Nordseite und landest wenige Sekunden später auf der tiefer gelegenen Südklippe. Ein Erlebnis, das du nicht vergessen wirst! Haben wir dein Interesse geweckt? Dann schnapp dir dein Fahrrad und komm bei uns vorbei!

M2Skizze der Schlucht — 5 m breit, 4 m Höhendifferenz

M3Die Faktoren zur Auswahl (Aufgabe a)

GeschwindigkeitHöhendifferenzFallbeschleunigungAustrittswinkelMasseGegenwindBreite der Schlucht

Herr Alayo ist kein geübter Fahrradfahrer, jedoch sehr mutig, weshalb er überlegt, den Sprung zu wagen. Kreisen Sie die Faktoren ein, über die sich Herr Alayo Gedanken machen sollte, bevor er die Entscheidung trifft, über die Klippe zu springen. (Auswahl siehe M3)
Die Schlucht besitzt eine Breite von 5 Metern und eine Höhendifferenz von 4 Metern (siehe Skizze M2). Bestimmen Sie die mindestens benötigte Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, um die gegenüberliegende Seite der Schlucht zu erreichen, und nehmen Sie Stellung zur Werbeanzeige. (Gehen Sie von einem windstillen Tag und einem Austrittswinkel von 0° aus. Betrachten Sie für Ihre Rechnung Herrn Alayo mit dem Fahrrad als Massepunkt. Tipp: Berechnen Sie zuerst die Zeit $t$ für das Herunterfallen aus 4 Metern Höhe. Formel: $t=\sqrt{\dfrac{2\cdot s_y}{g}}$)
Herr Alayo erreicht mit seinem neuen Fahrrad eine Höchstgeschwindigkeit von 43 km/h, weshalb er ziemlich zuversichtlich ist, dass er den Sprung problemlos schaffen wird. Berechnen Sie die vertikale Geschwindigkeit $v_y$, mit der Herr Alayo auf dem Boden auftreffen würde. Geben Sie ihm anschließend einen begründeten Ratschlag, ob er den Sprung wagen sollte.
Zusatzaufgabe PartnachklammNehmen Sie Stellung zum letzten Satz der Werbeanzeige und formulieren Sie diesen sinnvoll um.

Hinweis zu Aufgabe a)

Gehe die Formeln des waagerechten Wurfs durch: $s_x=v_0\cdot t$ und $s_y=\tfrac12 g t^2$. Welche der sieben Begriffe kommen darin überhaupt vor — und welche davon kann Herr Alayo beeinflussen?Zwei Karten bleiben übrig: eine, weil ihr Wert fest ist, und eine, weil sie in keiner Formel steht.

Hinweis zu Aufgabe b)

Zwei Schritte: erst die Fallzeit aus $s_y=4\,\mathrm m$, dann mit dieser Zeit die waagerechte Bedingung $s_x=5\,\mathrm m$. Am Ende in km/h umrechnen ($\cdot\,3{,}6$) und mit den 25 km/h der Anzeige vergleichen.„Bestimmen“ verlangt den vollständigen Lösungsweg; „Stellung nehmen“ verlangt zusätzlich einen Antwortsatz, der die getroffenen Annahmen ausdrücklich nennt.

Hinweis zu Aufgabe c)

Die Fallzeit aus b) gilt unverändert weiter. In y-Richtung ist die Bewegung ein freier Fall, also $v_y=g\cdot t$. Vergleiche das Ergebnis anschließend mit einer Geschwindigkeit, die du einschätzen kannst.Die 43 km/h sind die waagerechte Geschwindigkeit — sie ändern an $v_y$ nichts. Genau darin liegt Herrn Alayos Denkfehler.

Hinweis zu Aufgabe d)

Der letzte Satz lautet: „Dann schnapp dir dein Fahrrad und komm bei uns vorbei!“ Denke an das Ergebnis aus c) — worauf kommt es beim Aufprall an? Welches Fahrrad ist dafür gebaut, welches nicht?Gefordert sind zwei Teile: die Stellungnahme und ein konkreter Formulierungsvorschlag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Eingekreist gehören: Geschwindigkeit, Höhendifferenz, Austrittswinkel, Gegenwind und Breite der Schlucht. Nicht relevant sind die Fallbeschleunigung (fester Wert, nicht beeinflussbar) und die Masse (kommt in den Formeln nicht vor).

M3Lösung — so gehört markiert

GeschwindigkeitHöhendifferenzFallbeschleunigungAustrittswinkelMasseGegenwindBreite der Schlucht

◯ eingekreist — relevant× nicht relevant

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gesucht: Geschwindigkeit $v_{min}$.

Wir berechnen zuerst die Zeit für das Herunterfallen aus 4 Metern Höhe. Aus $s_y=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$ folgt

$$t=\sqrt{\frac{2\cdot s_y}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4\,\mathrm m}{9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}}}\approx 0{,}9\,\mathrm s$$

In dieser Zeit muss Herr Alayo eine Strecke von $s_x=5\,\mathrm m$ in x-Richtung überqueren. Aus $s_x=v_{min}\cdot t$ folgt

$$v_{min}=\frac{s_x}{t}=\frac{5\,\mathrm m}{0{,}9\,\mathrm s}\approx 5{,}56\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\approx 20\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$

Antwortsatz: Unter den Voraussetzungen — eines windstillen Tages, eines Austrittswinkels von null Grad und einer Betrachtung von Fahrrad und Fahrradfahrer als gemeinsamem Massepunkt — ergibt sich aus den Berechnungen mit dem waagerechten Wurf eine Mindestgeschwindigkeit von 20 km/h. Die in der Werbeanzeige angegebene Mindestgeschwindigkeit würde also unter den getroffenen Annahmen ausreichen, um die andere Seite der Schlucht zu erreichen.

M2Lösungsskizze — die Wurfparabel über die Schlucht

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$$v_y=g\cdot t=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\cdot 0{,}9\,\mathrm s=8{,}8\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}=31{,}7\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$

Ratschlag: Die vertikale Geschwindigkeit $v_y$ von Herrn Alayo, kurz bevor er auf den Boden auftrifft, beträgt fast 32 km/h. Diese Geschwindigkeit ist sehr groß (vgl. Fallschirmspringer) und deshalb würde ich Herrn Alayo raten, den Sprung nicht zu wagen, da er abzustürzen droht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Werbeanzeige sollte explizit darauf hinweisen, dass man ein Mountainbike zum Sprung mitnehmen sollte, da vor allem die Federung beim Aufprall sehr wichtig ist. Das von Herrn Alayo gewählte Rennrad ist dafür ungeeignet.

Formulierungsvorschlag: „Dann schnapp dir dein gut gefedertes Mountainbike und komm bei uns vorbei!“

Die Formeln selbst herleiten

AFB III

Der waagerechte Wurf setzt sich aus zwei Bewegungen zusammen, wobei die Bewegung „nach unten“ (y-Richtung) durch die Formel $y(t)=-\tfrac{1}{2}gt^{2}+h$ beschrieben werden kann.

M1Der waagerechte Wurf im Koordinatensystem — Abwurfhöhe h, Wurfweite w

Bestimmen Sie eine Formel für die Wurfzeit $t_w$. (Hinweis: Beim Auftreffen auf den Boden gilt $y(t_w)=0$.)
Bestimmen Sie die Wurfweite $w$, wenn die Bewegung in x-Richtung als $x(t)=v_0\cdot t$ gegeben ist.
Überprüfen Sie Ihre Formeln, indem Sie damit die Werte aus Aufgabe 1 ($h=2000\,\mathrm m$, $v_0=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}$) nachrechnen.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze in $y(t)=-\tfrac12 g t^2+h$ für $t$ die gesuchte Wurfzeit $t_w$ ein und den Funktionswert auf 0. Stelle die entstehende Gleichung nach $t_w$ um: erst nach $t_w^{2}$, dann Wurzel ziehen.Nur die positive Wurzel ist physikalisch sinnvoll — negative Zeiten liegen vor dem Abwurf.

Hinweis zu Aufgabe b)

Die Wurfweite ist der x-Wert genau im Moment des Auftreffens, also $w=x(t_w)$. Setze dein Ergebnis aus a) in $x(t)=v_0\cdot t$ ein.Wer $v_0$ unter die Wurzel ziehen will, muss es quadrieren: $v_0\sqrt{a}=\sqrt{v_0^{2}a}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Aufgabe 1 hatte $h=2000\,\mathrm m$ und $v_0=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Rechne mit $g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ und vergleiche mit 20,19 s und 785,4 m.„Überprüfen“ heißt: Ergebnis und Vergleich — stimmen die Werte überein, ist die Herleitung bestätigt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Beim Auftreffen auf den Boden gilt $y(t_w)=0$:

$$0=y(t_w)=-\tfrac{1}{2}g\,t_w^{2}+h$$

Damit folgt $h=\tfrac{1}{2}g\,t_w^{2}$ und damit

$$t_w=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Wurfweite beträgt

$$x(t_w)=v_0\cdot t_w=v_0\cdot\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h\,v_0^{2}}{g}}$$

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Einsetzen von $h=2000\,\mathrm m$, $v_0=38{,}9\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}$ und $g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$:

$$t_w=\sqrt{\frac{2\cdot 2000}{9{,}81}}\,\mathrm s=20{,}19\,\mathrm s\quad\checkmark$$$$w=38{,}9\cdot 20{,}19\,\mathrm m=785{,}4\,\mathrm m\quad\checkmark$$

Die allgemeinen Formeln liefern genau die Werte aus Aufgabe 1 — die Herleitung ist damit bestätigt. Nebenbei zeigt $t_w=\sqrt{2h/g}$: Die Wurfzeit hängt nur von der Abwurfhöhe ab, nicht von $v_0$.

Der Wasserstrahl

AFB II

Ein Gärtner hält einen Schlauch waagerecht in 1,2 m Höhe. Der Wasserstrahl trifft 3,0 m entfernt auf den Boden. Luftwiderstand wird vernachlässigt ($g=9{,}81\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}$).

Berechnen Sie die Flugdauer eines Wasserteilchens.
Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers.
Berechnen Sie Betrag und Richtung der Geschwindigkeit beim Auftreffen.
Ermitteln Sie, wie weit der Strahl reicht, wenn der Gärtner den Schlauch bei gleicher Austrittsgeschwindigkeit in doppelter Höhe hält.

Hinweis zu Aufgabe a)

Senkrecht: freier Fall aus 1,2 m.

Hinweis zu Aufgabe b)

Waagerecht: gleichförmige Bewegung.

Hinweis zu Aufgabe c)

Senkrechte Komponente $v_y=g\,t$, dann Satz des Pythagoras.

Hinweis zu Aufgabe d)

Wie hängt die Flugdauer von der Höhe ab?

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}2\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}}\approx0{,}49\,\mathrm s$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$v_0=\dfrac{s_x}{t}=\dfrac{3{,}0\,\mathrm m}{0{,}495\,\mathrm s}\approx6{,}1\,\mathrm{\tfrac ms}$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$v_y=9{,}81\cdot0{,}495\,\mathrm{\tfrac ms}\approx4{,}9\,\mathrm{\tfrac ms}$; $v=\sqrt{6{,}1^2+4{,}9^2}\,\mathrm{\tfrac ms}\approx7{,}8\,\mathrm{\tfrac ms}$; Winkel gegen die Waagerechte: $\tan\beta=\tfrac{4{,}9}{6{,}1}$, $\beta\approx39^\circ$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

$t\sim\sqrt h$: Die Flugdauer wächst um den Faktor $\sqrt2$, ebenso die Wurfweite: $3{,}0\,\mathrm m\cdot\sqrt2\approx4{,}2\,\mathrm m$ — nicht 6 m.

Textaufgaben: Der waagerechte Wurf

Vier Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

Der Süßigkeitenflieger

Tipp

Wagst du den Sprung? — die Partnachklamm

Die Formeln selbst herleiten

Der Wasserstrahl