Fünf Sachaufgaben zu den gefilmten Bewegungen — vom Radfahrer bis zur Kugel auf der schrägen Schiene, mit Steigungsdreieck und Erwartungshorizont.
Für die 1. Bewegung filmt der Kurs einen Radfahrer, der auf einem Feldweg an der Kamera vorbeifährt. Ein Videoanalyse-Programm liest zu jedem Einzelbild die Position des Radfahrers aus und trägt sie als Messpunkt in ein x-t-Diagramm ein; aus den Positionsänderungen zwischen zwei Bildern berechnet es zusätzlich das v-t-Diagramm (M1). Beide Diagramme zeigen die Rohdaten — noch ohne jede Auswertung.
Die Messkreuze liegen auf einer Geraden durch den Ursprung: Zu Beginn der Messung ist x = 0 m, danach wächst x gleichmäßig bis auf rund 11,8 m bei t = 4,0 s. In gleichen Zeitspannen legt der Radfahrer gleiche Strecken zurück, die Steigung ändert sich nicht. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.
Der Lehrer legt eine Ausgleichsgerade durch die Messpunkte und daran ein Steigungsdreieck mit t = 4 s und s = 11,8 m:
v = s/t = 11,8 m ÷ 4 s = 2,95 m/s
Der Radfahrer fährt also mit rund 2,95 m/s, das sind etwa 10,6 km/h.
Im v-t-Diagramm streuen die Messkreuze ohne erkennbare Steigung um einen festen Wert. Eine waagerechte Linie durch die Punktwolke liegt bei v = 2,9 m/s.
Beide Wege führen zum selben Ergebnis: 2,95 m/s aus dem x-t-Diagramm gegenüber 2,9 m/s aus dem v-t-Diagramm — eine Abweichung von nur etwa 2 %. Das ist deutlich kleiner als die Streuung der einzelnen Messpunkte, die Auswertung bestätigt sich also. Dass die v-Werte überhaupt streuen, liegt an der Videoanalyse: Jeder v-Wert wird aus dem Abstand zweier benachbarter Bildpunkte berechnet, und kleine Klickfehler wirken sich dort viel stärker aus als im x-t-Diagramm.
Die 2. Bewegung wird im Gebäude aufgenommen: Ein Basketball rollt über einen gefliesten Boden an einer hellen Wand entlang. An der Wand hängt ein Maßstab mit der Aufschrift „1,0 m“, der mitgefilmt wird. Das Videoanalyse-Programm liefert daraus die beiden Diagramme in M1.
Die Messkreuze liegen auf einer Geraden durch den Ursprung: x wächst von 0 m bei t = 0 s gleichmäßig auf rund 3,5 m bei t = 2,6 s. Gleiche Zeitspannen gehören zu gleichen Strecken — eine gleichförmige Bewegung. Erst gegen Ende bleiben die Punkte ganz leicht hinter der Geraden zurück.
Ausgleichsgerade durch die Messpunkte, Steigungsdreieck mit t = 2,4 s und s = 3,5 m:
v = s/t = 3,5 m ÷ 2,4 s = 1,458 m/s
Sinnvoll gerundet: rund 1,5 m/s. Mehr als zwei geltende Ziffern gibt eine Ablesung aus einem Diagramm nicht her.
Im v-t-Diagramm liegen die Kreuze im Bereich 1,4 bis 1,5 m/s; die Linie des Lehrers durch die Punktwolke liegt bei v = 1,4 m/s. Der Wert aus dem x-t-Diagramm (1,458 m/s) und der Wert aus dem v-t-Diagramm (1,4 m/s) stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit überein.
Auffällig ist der leichte Abwärtstrend gegen Ende: Die letzten Punkte liegen eher bei 1,2 bis 1,3 m/s. Der Ball wird durch Reibung auf den Fliesen langsam abgebremst. Für die Auswertung als gleichförmige Bewegung ist das aber noch vertretbar, weil die Änderung klein gegenüber der Streuung der Punkte ist.
Das Videoanalyse-Programm misst zunächst nur Bildpunkte: Es kennt die Position des Balls in Pixeln, nicht in Metern. Der Maßstab „1,0 m“ an der Wand liefert die fehlende Umrechnung — man klickt seine beiden Enden an und teilt dem Programm mit, dass dieser Bildabstand genau 1,0 m entspricht. Erst damit lassen sich alle weiteren Bildabstände in Meter umrechnen.
Ohne einen bekannten Maßstab im Bild ließen sich die Bildpunkte nicht in Meter umrechnen; alle Ergebnisse wären nur in Pixeln und damit physikalisch wertlos. Wichtig ist zusätzlich, dass der Maßstab in derselben Ebene liegt wie die Bewegung — sonst verfälscht die Perspektive die Umrechnung.
Für die 3. Bewegung baut der Lehrer den Versuch ① auf: Eine Kugel rollt auf einer waagerecht liegenden Schiene, darüber ist ein Maßstab von 1,0 m angebracht. Die Videoanalyse liefert die Diagramme in M1. Im v-t-Diagramm fällt auf, dass die ersten Messpunkte deutlich unter den übrigen liegen.
Die Messkreuze liegen auf einer Geraden durch den Ursprung, die deutlich flacher ansteigt als bei den ersten beiden Bewegungen: von 0 m bis auf rund 1,8 m in 3,4 s. Gleiche Zeitspannen, gleiche Strecken — also eine gleichförmige Bewegung, nur langsamer.
Ausgleichsgerade durch die Messpunkte, Steigungsdreieck mit t = 2,8 s und s = 1,6 m:
v = s/t = 1,6 m ÷ 2,8 s = 0,57 m/s
Die Kugel rollt also mit rund 0,57 m/s — etwa fünfmal langsamer als der Radfahrer aus Aufgabe 1.
Sieht man von den ersten Punkten ab, streuen die Kreuze im v-t-Diagramm um 0,55 bis 0,6 m/s. Die Linie des Lehrers durch die Punktwolke liegt bei v = 0,55 m/s.
Der grafische Wert aus dem x-t-Diagramm (0,57 m/s) und der Wert aus dem v-t-Diagramm (0,55 m/s) unterscheiden sich um 0,02 m/s, also um rund 4 %. Das liegt innerhalb der Ablesegenauigkeit — das Ergebnis ist bestätigt.
Warum die Gerade nicht durch alle Punkte geht: Jeder Messpunkt entsteht dadurch, dass in einem Einzelbild die Kugel angeklickt wird. Dabei trifft man nie exakt denselben Punkt der Kugel; außerdem ist das Bild unscharf, wenn sich die Kugel während der Belichtung bewegt, und auch die Umrechnung über den Maßstab ist mit einer kleinen Unsicherheit behaftet. Die Messwerte streuen deshalb zufällig um den wahren Wert. Eine Ausgleichsgerade wird so gelegt, dass die Abweichungen nach oben und nach unten etwa gleich groß sind — sie mittelt die Streuung heraus und ist damit genauer als jeder einzelne Messpunkt. Gäbe man sich Mühe, durch alle Punkte zu treffen, würde man den Messfehler mitzeichnen statt ihn auszugleichen.
Warum die Ausreißer zu Beginn wegfallen dürfen: Die ersten v-Werte werden aus den allerersten Bildpaaren berechnet. In dieser Phase ist die Kugel im Bild noch am Rand, die Zeitspanne zwischen zwei Bildern ist sehr kurz, und ein Klickfehler von wenigen Pixeln wirkt sich prozentual besonders stark aus. Die Punkte sind also nicht „falsche Physik“, sondern eine Folge des Messverfahrens am Rand des Messbereichs. Solange man begründet angibt, welche Punkte man weglässt und warum, ist das erlaubt — das Weglassen von Punkten, die einfach nur nicht ins Wunschergebnis passen, wäre es nicht.
Die 4. Bewegung zeigt einen Gleiter auf einer Luftkissenbahn. Der Gleiter schwebt auf einem dünnen Luftpolster, sodass die Reibung fast vollständig wegfällt; angetrieben wird er von einer kleinen Antriebseinheit. Die Videoanalyse liefert die beiden Diagramme in M1 — sie sehen deutlich anders aus als bei den Bewegungen 1 bis 3.
x-t-Diagramm: Die Messkreuze liegen nicht auf einer Geraden, sondern auf einer nach oben gekrümmten, parabelförmigen Kurve. Der Gleiter startet flach und wird von Bild zu Bild schneller: In gleichen Zeitspannen legt er immer größere Strecken zurück.
v-t-Diagramm: Die Messkreuze steigen näherungsweise linear von 0 auf rund 0,53 m/s an. Die Geschwindigkeit wächst in gleichen Zeitspannen um gleiche Beträge.
Begründung: Genau das ist das Kennzeichen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung: parabelförmiges x-t-Diagramm und linear steigendes v-t-Diagramm. Ein waagerechtes v-t-Diagramm (wie in den Aufgaben 1 bis 3) würde dagegen eine gleichförmige Bewegung anzeigen.
Der Lehrer legt eine Ausgleichsgerade durch die Punktwolke des v-t-Diagramms und daran ein Steigungsdreieck mit t = 3,0 s und v = 0,53 m/s:
a = v/t = 0,53 m/s ÷ 3,0 s = 0,177 m/s²
Der Gleiter wird also mit rund 0,18 m/s² beschleunigt: Jede Sekunde nimmt seine Geschwindigkeit um etwa 0,18 m/s zu.
Im x-t-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit, nicht die Beschleunigung — ein Steigungsdreieck dort liefert also von vornherein die falsche Größe. Hinzu kommt: Weil die Kurve gekrümmt ist, hat sie an jeder Stelle eine andere Steigung. Ein Steigungsdreieck zwischen zwei Punkten liefert dort nur die Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Abschnitts, nicht die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Die Beschleunigung liest man deshalb im v-t-Diagramm ab: Dort ist die Steigung Δv / Δt genau die Beschleunigung, und weil die Punkte dort auf einer Geraden liegen, ist die Steigung überall gleich und mit einem einzigen Dreieck sauber zu bestimmen.
Bei der 5. Bewegung stellt der Lehrer denselben Schienenversuch noch einmal auf, diesmal als Aufbau ②: Die Schiene ist geneigt, die Kugel rollt von selbst hinunter; der Maßstab von 1,0 m hängt wieder darüber. Die Videoanalyse liefert die Diagramme in M1. Auffällig ist, dass das v-t-Diagramm nicht bei null beginnt.
Die Messpunkte im v-t-Diagramm steigen annähernd linear von einem Startwert um 0,2 m/s auf rund 1,15 m/s. Der Lehrer legt eine Ausgleichsgerade hindurch und daran ein Steigungsdreieck mit t = 2,8 s und v = 1,02 m/s:
a = v/t = 1,02 m/s ÷ 2,8 s = 0,364 m/s²
Wichtig ist, dass im Dreieck die Geschwindigkeitsänderung Δv = 1,02 m/s abgelesen wird und nicht der Endwert 1,15 m/s — sonst käme man auf einen zu großen Wert.
Bewegung 4 (Luftkissenbahn): a = 0,177 m/s². Bewegung 5 (schräge Schiene): a = 0,364 m/s².
Das Verhältnis beträgt 0,364 ÷ 0,177 ≈ 2,06 — also gut die doppelte Beschleunigung bei der schrägen Schiene. Beide Bewegungen sind gleichmäßig beschleunigt, in beiden Fällen steigt v linear an; der Unterschied liegt allein in der Steilheit dieses Anstiegs.
Urteil: Der Aufbau ② mit der geneigten Schiene erzeugt die stärkere Beschleunigung. Das ist auch anschaulich plausibel: Die Kugel wird von der Hangabtriebskraft angetrieben, die mit der Neigung wächst, während der Gleiter nur von seiner kleinen Antriebseinheit beschleunigt wird. Man erkennt es auch ohne Rechnung an den Diagrammen: Bewegung 5 erreicht in 2,8 s bereits 1,15 m/s, Bewegung 4 in 3,0 s nur 0,53 m/s.
Ein Achsenabschnitt größer als null bedeutet: Zum Zeitpunkt des ersten ausgewerteten Bildes war die Kugel bereits in Bewegung. Die Messung hat also erst begonnen, nachdem die Kugel losgerollt war — der Startwert von rund 0,2 m/s ist die Geschwindigkeit zum ersten erfassten Bild, nicht die Anfangsgeschwindigkeit des Rollvorgangs.
Der Zeitnullpunkt der Videoanalyse ist damit nicht der Zeitpunkt, an dem die Kugel losgelassen wurde, sondern der Beginn der Auswertung. Für die Beschleunigung ist das ohne Bedeutung: Sie steckt in der Steigung der Geraden, und die ändert sich nicht, wenn man den Zeitnullpunkt verschiebt. Bei Bewegung 4 dagegen beginnt die Gerade bei null — dort wurde die Messung gestartet, solange der Gleiter noch ruhte.
Die fünf gefilmten Bewegungen lassen sich vollständig zwei Bewegungsformen zuordnen:
| Bewegung | x-t-Diagramm | v-t-Diagramm | Ergebnis | Bewegungsform |
|---|---|---|---|---|
| 1 — Radfahrer auf dem Feldweg | Gerade durch den Ursprung, bis 11,8 m in 4,0 s | waagerecht bei 2,9–3,0 m/s | v = 2,95 m/s (x-t) v = 2,9 m/s (v-t) | gleichförmig |
| 2 — Basketball auf gefliestem Boden | Gerade durch den Ursprung, bis 3,5 m in 2,6 s | waagerecht bei 1,4–1,5 m/s | v = 1,458 m/s (x-t) v = 1,4 m/s (v-t) | gleichförmig |
| 3 — Kugel auf der Schiene, Aufbau ① | Gerade durch den Ursprung, bis 1,8 m in 3,4 s | waagerecht bei 0,55–0,6 m/s | v = 0,57 m/s (x-t) v = 0,55 m/s (v-t) | gleichförmig |
| 4 — Gleiter auf der Luftkissenbahn | nach oben gekrümmte Parabel, bis 1,1 m in 3,0 s | linear steigend von 0 auf 0,53 m/s | a = 0,177 m/s² (v-t) | gleichmäßig beschleunigt |
| 5 — Kugel auf schräger Schiene, Aufbau ② | nach oben gekrümmte Parabel, bis 1,8 m in 2,8 s | linear steigend von rund 0,2 auf 1,15 m/s | a = 0,364 m/s² (v-t) | gleichmäßig beschleunigt |
Bewegungen 1 bis 3 sind gleichförmig: gerades x-t-Diagramm, waagerechtes v-t-Diagramm — die Geschwindigkeit bleibt konstant, ausgewertet wird über v = s/t im x-t-Diagramm.
Bewegungen 4 und 5 sind gleichmäßig beschleunigt: parabelförmiges x-t-Diagramm, linear steigendes v-t-Diagramm — die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig, ausgewertet wird über a = v/t im v-t-Diagramm.
Der entscheidende Blick geht also immer zuerst auf das v-t-Diagramm: Ist die Punktwolke waagerecht, liegt eine gleichförmige Bewegung vor; steigt sie linear an, eine gleichmäßig beschleunigte. Das x-t-Diagramm bestätigt das Ergebnis über die Form der Kurve — Gerade oder Parabel.