Zehn Aufgaben in zehn verschiedenen Formen — von den Formeln für W und H über die Winkelpaare und die neun Objekte der Simulation bis zum Barringer-Krater.
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie zu den Ergebnissen der Simulation zum schiefen Wurf passt.
Tippe auf „Stimmt“ oder „Stimmt nicht“. Danach erscheint die Begründung.
Aussage 1 von 6
Drei stimmen, drei nicht. Die typischen Fallen: Masse spielt ohne Luftwiderstand keine Rolle, sin(2α) gehört zu W und sin²(α) zu H, und „gleich weit“ gilt nur ohne Luftwiderstand.
Zwei Aussagen verwechseln etwas: die eine die beiden Formeln, die andere den Fall mit und ohne Luftwiderstand.
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Die Größen des schiefen Wurfs
AFB I
Vervollständige den Text zum Formelblatt.
Die Größen des schiefen Wurfs: Anfangsgeschwindigkeit v₀ unter dem Wurfwinkel α, maximale Höhe H im Scheitelpunkt und Wurfweite W bis zum Landepunkt. Starthöhe h = 0 m.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim schiefen Wurf startet der Körper mit der v₀ unter dem α gegen die Waagerechte. Die Starthöhe beträgt h = . Die waagerechte Entfernung zwischen Abwurf- und Landepunkt heißt W, der höchste Punkt der Bahn liegt in der H. Die Zeit bis zum Auftreffen auf dem Boden nennt man tw.
Fünf Größen, zwei Formeln: H = v₀²·sin²(α)/(2g) und W = v₀²·sin(2α)/g, dazu tw = 2·v₀·sin(α)/g. Wichtig ist die Voraussetzung h = 0 m — nur dann landet der Körper wieder auf Abwurfhöhe und nur dann gelten diese drei Formeln.
Zwei Lücken beschreiben eine Länge (waagerecht bzw. senkrecht), eine Lücke eine Zeit.
Anfangsgeschwindigkeit — Wurfwinkel — 0 m — Wurfweite — maximale Höhe — Wurfzeit.
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Größe und Formel
AFB I
Verbinde jede Größe mit der Formel, die zu ihr gehört.
Klicke links eine Größe an und dann rechts die passende Formel — es entsteht eine Verbindungslinie.
Zwei Merkhilfen: In W steht der doppelte Winkel sin(2α) — deshalb ist W bei α = 45° maximal, denn dort ist 2α = 90°. In H steht dagegen sin²(α), also (sin α)². Und die Wurfzeit tw = 2·v₀·sin(α)/g ist genau doppelt so lang wie die Steigzeit — der Weg nach oben und der Weg nach unten dauern gleich lang.
Sortiere zuerst nach der Potenz von v₀: In W und H steht v₀², in den drei anderen nur v₀.
W = v₀²·sin(2α)/g · H = v₀²·sin²(α)/(2g) · tw = 2·v₀·sin(α)/g · vx = v₀·cos(α) · vy = v₀·sin(α).
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Die Winkelpaare
AFB II
Bei v₀ = 15 m/s wurden vier Winkelpaare gefunden, die jeweils dieselbe Weite ergeben. Decke die zusammengehörenden Karten auf.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
40°+50° = 90°, 25°+65° = 90°, 30°+60° = 90°, 35°+55° = 90° — die allgemeine Bedingung lautet α₁ + α₂ = 90°. Der Grund steckt in der Formel: W hängt von sin(2α) ab, und sin(2α) = sin(180° − 2α). Ersetzt man α durch 90° − α, ändert sich der Sinus nicht. Je näher ein Paar an 45° liegt, desto größer die Weite: 40°/50° liefert 22,59 m, 25°/65° nur 17,60 m.
Suche zu jedem Winkel den Partner, mit dem er zusammen 90° ergibt.
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Neun Objekte, eine Rangliste
AFB II
In der Simulation flogen alle neun Objekte bei v₀ = 15 m/s ohne Luftwiderstand 23 m weit. Ordne sie nach ihrer Flugweite mit Luftwiderstand — die größte Weite oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt. Bei gleicher Weite gilt die Reihenfolge aus der Tabelle des Unterrichts (von oben nach unten).
1Kanonenkugel — 23 m
2Granate — 23 m
3Auto — 23,0 m
4Mensch — 22,6 m
5Fußball — 22,5 m
6Golfball — 21,5 m
7Tennisball — 20,8 m
8Klavier — 20,3 m
9Kürbis — 20,0 m
Ganz oben stehen die kompakten, schweren Geschosse: Kanonenkugel, Granate und Auto verlieren praktisch nichts. Ganz unten stehen die leichten oder sperrigen Körper: Kürbis 20,0 m, Klavier 20,3 m, Tennisball 20,8 m. Die allgemeine Bedingung lautet also: möglichst kompakt, schwer und stromlinienförmig. Typische Falle: „Der Tennisball ist rund, also fliegt er weit“ — entscheidend ist nicht die runde Form allein, sondern das Verhältnis von Masse zu Querschnittsfläche.
Frage dich bei jedem Objekt: Ist es schwer und kompakt — oder leicht und sperrig?
Bei den Bundesjugendspielen erzielte ein Schüler mit dem Ball eine Wurfweite von 53 m unter dem optimalen Winkel von 45°. Berechne den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit (g = 9,81 m/s², Luftwiderstand vernachlässigt).
Stelle W = v₀²·sin(2α)/g nach v₀ um und trage das Ergebnis in m/s ein — Enter prüft direkt.
v₀ = √(W·g / sin(2α)) = √(53 · 9,81 / sin(90°)) = 22,8 m/s. Weil α = 45° ist, gilt sin(2α) = sin(90°) = 1 — der Nenner fällt weg. Damit ergeben sich weiter H = 22,8²·sin²(45°)/(2·9,81) = 13,25 m und tw = 2·22,8·sin(45°)/9,81 = 3,29 s. Typische Falle: sin(45°) statt sin(2·45°) einsetzen — dann kommen 27,2 m/s heraus.
Aus W = v₀²·sin(2α)/g folgt v₀² = W·g/sin(2α). Beachte: 2α = 90°, und sin(90°) = 1.
Rechne für drei der Winkelpaare aus der Simulation nach, ob die angezeigten Werte stimmen, und berechne zusätzlich die maximale Höhe. Es gilt v₀ = 15 m/s, also v₀²/g = 22,94 m und v₀²/(2g) = 11,47 m.
Fülle die weiß hinterlegten Felder aus. W = 22,94 m · sin(2α) und H = 11,47 m · sin²(α). Die Weite ist für beide Winkel eines Paares gleich.
Winkelpaar
α₁
α₂
W in m
H bei α₁ in m
H bei α₂ in m
Paar 1
40°
50°
Paar 2
30°
60°
Paar 3
25°
65°
Die Weiten stimmen mit der Simulation überein: 22,59 m, 19,86 m und 17,60 m. Bei der Höhe ist es anders: Sie ist für die beiden Winkel eines Paares verschieden — 40° erreicht 4,74 m, 50° dagegen 6,73 m. Der flache Winkel schickt die Kugel weit und niedrig, der steile Winkel hoch und langsam nach vorn; unter dem Strich kommt dieselbe Weite heraus. Typische Falle: sin²(α) als sin(α²) rechnen — es heißt (sin α)², also erst den Sinus, dann quadrieren.
Für W brauchst du sin(2α), also den doppelten Winkel. Für H brauchst du (sin α)², also erst den Sinus des Winkels und dann das Quadrat.
Paar 1: W = 22,94·sin(80°) = 22,59; H = 11,47·sin²(40°) = 4,74 bzw. 11,47·sin²(50°) = 6,73. Paar 2: W = 22,94·sin(60°) = 19,86; H = 2,87 bzw. 8,60. Paar 3: W = 22,94·sin(50°) = 17,60; H = 2,05 bzw. 9,42.
8
Der beste Winkel
AFB II
In der Simulation war die Anfangsgeschwindigkeit fest auf 15 m/s eingestellt und der Luftwiderstand ausgeschaltet. Schätze: Unter welchem Winkel fliegt die Kugel am weitesten?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
090
Die Antwort lautet 45° — und sie gilt auch für jede andere Anfangsgeschwindigkeit. Der Grund steht in W = v₀²·sin(2α)/g: Der Sinus wird bei 90° maximal, und 2α = 90° bedeutet α = 45°. Alles, was v₀ ändert, ist der Vorfaktor v₀²/g — die Lage des Maximums verschiebt es nicht. Achtung: Das gilt für die Starthöhe h = 0 m und ohne Luftwiderstand.
Sieh dir W = v₀²·sin(2α)/g an. Für welchen Winkel im Sinus wird der Wert am größten?
sin(2α) ist maximal (nämlich 1), wenn 2α = 90° ist — also bei α = 45°. Dann gilt W = v₀²/g, bei 15 m/s also 22,94 m ≈ 23 m.
9
Fehlersuche im Heft
AFB III
Ein Mitschüler hat die Simulation zum schiefen Wurf zusammengefasst. Drei der sechs Sätze sind falsch. Finde sie.
Klicke genau die falschen Zeilen an.
Alle drei Fehler sind Schreibweise- oder Voraussetzungsfehler: die beiden Sinusformen verwechselt (sin(2α) gegen sin²(α)), die Voraussetzung „ohne Luftwiderstand“ überlesen und die Hochzahl an die falsche Stelle geschrieben. Merke die Notiz aus dem Unterricht: sin²(α) ≙ sin(α)².
Zwei der Fehler betreffen den Sinus, einer die Voraussetzung „mit oder ohne Luftwiderstand“.
10
Warum fliegt dieses Objekt kürzer?
AFB III
In der Simulation fliegt ein Kürbis bei 15 m/s unter 45° nur 20,0 m weit statt der 23 m der Kanonenkugel. Der Luftwiderstand ist eingeschaltet. Finde mit dem Entscheidungsbaum die Ursache.
Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Weg lautet: Luftwiderstand ja → Winkel 45° ja → kompakt und stromlinienförmig? nein → die Form ist die Ursache. Der Baum trennt die beiden möglichen Ursachen sauber: Der Winkel wirkt schon in der reinen Formel, die Form erst, wenn der Luftwiderstand dazukommt. Ohne Luftwiderstand kann die Form gar keine Rolle spielen — dort fliegen Kürbis und Kanonenkugel exakt gleich weit.
Prüfe zuerst, ob der Luftwiderstand überhaupt eingeschaltet ist. Nur dann kann die Form eine Rolle spielen.
Frage 1: Ja (Luftwiderstand an). Frage 2: Ja (45°). Frage 3: Nein (ein Kürbis ist weder kompakt noch stromlinienförmig) → die Form bremst.
