Der schiefe Wurf

Der Unterschied zwischen beiden Wurfarten steckt allein in der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit.

• Waagerechter Wurf:Der Körper verlässt die Hand parallel zum Boden.
• Bahn dazu:Sie verläuft zunächst waagerecht und knickt dann nach unten ab.
• Schiefer Wurf:Der Körper startet unter einem Winkel α zur Waagerechten schräg nach oben.
• Bahn dazu:Er steigt erst, erreicht einen höchsten Punkt und fällt danach wieder zum Boden.

Auch der schiefe Wurf ist eine Überlagerung zweier Bewegungen.

• Waagerecht:In x-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor.
• Senkrecht:In y-Richtung liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.
• Neu:Die Anfangsgeschwindigkeit zeigt jetzt in beide Richtungen gleichzeitig.
• Folge:Man zerlegt sie deshalb in zwei Komponenten.

Zwei Grenzfälle machen die Zerlegung anschaulich.

• α = 0°:Wegen sin(0°) = 0 bleibt nur der waagerechte Anteil übrig.
• Bedeutung:Das ist genau der waagerechte Wurf aus dem vorigen Unterkapitel.
• α = 90°:Wegen cos(90°) = 0 fliegt der Körper senkrecht nach oben.
• Folge:Er fällt an derselben Stelle wieder herunter.
• Dazwischen:Alles zwischen 0° und 90° ist der schiefe Wurf.

Den Versuch kannst du in einer Simulation selbst durchführen.

• Einstellung:Modus „Einführung“, Kanone auf 0 m Höhe, Kanonenkugel als Projektil.
• Luftwiderstand:Er bleibt zunächst ausgeschaltet, damit die Formeln unten gelten.
• Nachbau:Das Applet weiter unten ist ein eigener Nachbau des Versuchs — die fremde Seite öffnest du nur per Link.

Die Bahn eines schief geworfenen Körpers heißt Wurfparabel.

• Symmetrie:Der aufsteigende und der absteigende Ast sind spiegelbildlich zueinander.
• Scheitelpunkt:Der höchste Punkt liegt genau in der Mitte der Bahn.
• Namen nötig:Damit man über die Bahn reden und rechnen kann, braucht jede wichtige Stelle eine Bezeichnung.

Aus diesen Größen ergeben sich die drei Formeln, mit denen auf dieser Seite gerechnet wird. Die ersten beiden stehen auf dem Formelblatt, die dritte kommt aus den Übungen zum schiefen Wurf.

Alle drei Formeln haben eine gemeinsame Voraussetzung.

• Starthöhe:Sie gelten nur, wenn Abwurf und Landung auf derselben Höhe liegen (h = 0 m).
• Höherer Start:Steht die Kanone höher, fliegt das Geschoss weiter, als die Formel für W angibt.

Bei fester Anfangsgeschwindigkeit von 15 m/s hängt die Weite nur noch vom Winkel ab.

• Befund:Die Kanonenkugel fliegt bei α = 45° am weitesten.
• Allgemein:Das gilt auch für jede andere Anfangsgeschwindigkeit.

Woran liegt das? Die Antwort steht in der Formel W = v₀² · sin(2α) / g.

• Fest:v₀ und g sind fest vorgegeben.
• Veränderlich:Allein der Faktor sin(2α) ändert sich mit dem Winkel.
• Maximum:Der Sinus wird am größten, wenn sein Argument 90° beträgt, denn sin(90°) = 1.
• Folge:Aus 2α = 90° folgt sofort α = 45°.

Bemerkenswert ist der zweite Teil der Aufgabe.

• Befund:Das Ergebnis hängt nicht von v₀ ab.
• Grund:Die Anfangsgeschwindigkeit steckt im Faktor v₀² und streckt die ganze Kurve nur nach oben.
• Maximum:Die Lage des Maximums verschiebt sie dabei nicht.
• Gültig:45° ist der optimale Winkel für jede Anfangsgeschwindigkeit, solange kein Luftwiderstand wirkt und die Starthöhe 0 m beträgt.

Viele Weiten lassen sich mit zwei verschiedenen Winkeln erreichen.

• Messung:Bei 15 m/s werden Winkelpaare gesucht, mit denen die Kugel gleich weit fliegt.
• Befund:Für jedes Paar gilt α₁ + α₂ = 90°.

In jeder Zeile ergibt die Summe der beiden Winkel 90°. Das ist die allgemeine Bedingung.

Auch das steckt bereits in der Formel.

• Ansatz:Ist α₂ = 90° − α₁, dann ist der doppelte Winkel 2α₂ = 180° − 2α₁.
• Sinus:Es gilt sin(2α) = sin(180° − 2α), beide Winkel liefern denselben Sinuswert.
• Folge:Weil v₀ und g in beiden Fällen dieselben sind, kommt zwangsläufig dieselbe Wurfweite heraus.

• Gleiche Weite, andere Zeit:Bei 30° ist die Kugel nach 1,53 s am Ziel, bei 60° erst nach 2,65 s.
• Im Sport:Wer schnell treffen will, wählt die flache Bahn, wer über ein Hindernis muss, die steile.

Bisher war der Luftwiderstand ausgeschaltet — jetzt wird er zugeschaltet.

• Neu:Plötzlich ist es nicht mehr egal, was die Kanone abschießt.
• Auswahl:In der Simulation stehen ganz unterschiedliche Objekte bereit, von der Kanonenkugel bis zum Auto.
• Leitfrage:Unter welcher Bedingung fliegt ein Objekt mit Luftwiderstand am weitesten?

• Versuch:Alle Objekte werden mit 15 m/s unter 45° abgeschossen — einmal ohne, einmal mit Luftwiderstand.

Ohne Luftwiderstand fliegen alle Objekte gleich weit, nämlich 23 m.

Die linke Spalte ist der eigentliche Aha-Moment.

• Befund:Ohne Luftwiderstand fliegt jedes Objekt exakt gleich weit, der Golfball genauso wie das Klavier und das Auto.
• Grund:In W = v₀² · sin(2α) / g kommt keine Masse vor, und auch keine Größe, Form oder Dichte.
• Nur drei Größen:Es gehen allein die Anfangsgeschwindigkeit, der Winkel und die Erdbeschleunigung ein.
• Kontrollwert:15² · sin(90°) / 9,81 = 22,94 m, gerundet die 23 m aus der Tabelle.

Mit Luftwiderstand ist es vorbei mit der Gleichheit.

• Bremsen:Die Luft bremst, und wie stark sie bremst, hängt von Form und Querschnitt des Objekts ab.
• Kaum Verlust:Schwere, kompakte Objekte mit kleiner Angriffsfläche verlieren fast nichts (Kanonenkugel, Granate, Auto: 0 m).
• Deutlicher Verlust:Leichte oder großflächige Objekte verlieren spürbar (Kürbis 3,0 m, Klavier 2,7 m, Tennisball 2,2 m).

Form und Starthöhe

Mit Luftwiderstand entscheidet die Form, wie weit ein Geschoss fliegt.

• Stromlinienform:Die Tropfenform bietet der Luft am wenigsten Widerstand und fliegt am weitesten.
• Große Angriffsfläche:Die Mondsichel wird am stärksten gebremst und fliegt am kürzesten.
• Starthöhe:Steht die Kanone höher, wächst die Wurfweite — der Körper ist länger in der Luft.

Auch der Beschleunigungsvektor verrät, ob Luftwiderstand wirkt.

• Ohne Luftwiderstand:Der Beschleunigungsvektor zeigt immer senkrecht nach unten und hat stets den Betrag g.
• Mit Luftwiderstand:Zusätzlich bremst die Luft entgegen der Bewegungsrichtung, der Vektor kippt und ändert seine Länge.

Eine Simulation ist kein Beweis.

• Ziel:Erst wenn die Formel dieselben Zahlen liefert wie das Programm, hast du beides verstanden.
• Konstante:Rechne mit g = 9,81 m/s².
• Achtung:Dein Taschenrechner muss im Gradmaß (DEG) stehen.

• Beispiel:α = 30°, v₀ = 15 m/s: W = 15² · sin(60°) / 9,81 = 225 · 0,8660 / 9,81 = 19,86 m.
• Woher 2α:Die Weite entsteht aus v_x · v_y, und 2·sin(α)·cos(α) = sin(2α).

So löst du eine Aufgabe zum schiefen Wurf

Diese Reihenfolge führt sicher zum Ergebnis.

• 1. Notieren:Gegeben und gesucht — meist zwei der Größen v₀, α und W.
• 2. Skizze:Bodenlinie, Abwurfpunkt, Winkel α, Scheitelpunkt mit H, Weite W.
• 3. Starthöhe prüfen:Nur bei h = 0 m gelten die drei Formeln.
• 4. Formel wählen:Weite → W, Höhe → H, Zeit → t_w.
• 5. Umstellen:Erst nach der gesuchten Größe auflösen, dann Zahlen mit Einheiten einsetzen.
• 6. Prüfen:Mehr als v₀²/g Weite ist nicht möglich — das ist das Maximum bei 45°.

Drei Stellen, an denen es beim schiefen Wurf in der Arbeit oft klemmt: