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Textaufgaben: Der schiefe Wurf

Vier Sachaufgaben mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — vom Ballwurf bei den Bundesjugendspielen über den Barringer-Krater und Leonardos Riesenarmbrust bis zum Nachrechnen der Simulation.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDer schiefe Wurf — Formeln für W, H und tw, Herleitung und Glossar nachlesen.
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Vier Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Der Ball bei den Bundesjugendspielen

AFB II

Bei den Bundesjugendspielen erzielte ein Schüler mit einem 80 g schweren Ball eine Wurfweite von 53 m. Wir nehmen an, dass der Schüler den Ball unter dem optimalen Winkel von 45° abgeworfen hat, und vernachlässigen die Größe des Schülers und den Luftwiderstand.

M0Die Formeln des Kapitels — auf dieser Seite immer wieder gebraucht
GrößeFormelWas sie beschreibt
W — WurfweiteW = v0² · sin(2α) / gWie weit der Gegenstand fliegt, bis er wieder auf dem Boden ankommt.
H — maximale HöheH = v0² · sin²(α) / (2g)Wie hoch der Gegenstand am Scheitelpunkt der Bahn steigt.
tw — Wurfzeittw = 2 · v0 · sin(α) / gNach welcher Zeit der Gegenstand nach dem Abwurf wieder auf dem Boden ankommt.

Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit, α der Wurfwinkel und g = 9,81 m/s² die Erdbeschleunigung. Alle drei Formeln setzen eine Starthöhe von h = 0 m voraus und vernachlässigen den Luftwiderstand. Achtung bei der Schreibweise: sin²(α) bedeutet (sin α)² — erst den Sinus bilden, dann quadrieren.

M1Die Wurfparabel des Balls — maßstäblich gezeichnet
H = 13,25 mW = 53 mv0 = 22,8 m/s45°Scheitel80-g-Ball, maßstäblich gezeichnet — Höhe und Weite im gleichen MaßstabWurfzeit tw = 3,29 s
  1. Berechnen Sie den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, die der Schüler dem Ball mitgegeben hat.
  2. Berechnen Sie die maximale Höhe des Balls.
  3. Berechnen Sie die Dauer des Flugs des Balls, bis er wieder auf dem Boden ankommt.
  4. Berechnen Sie die Beschleunigung, die der Ball anfangs erfahren hat, wenn der Schüler mit seinem Arm eine Beschleunigungsstrecke von 1 m ausnutzen konnte. Vergleichen Sie diese Beschleunigung mit der Erdbeschleunigung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gesucht ist v0, gegeben sind W = 53 m und α = 45°. Stelle die Weitenformel aus M0 nach v0 um: erst mit g multiplizieren, dann durch sin(2α) teilen, zuletzt die Wurzel ziehen.Die Umformung Schritt für Schritt aufschreiben — der Rechenweg gehört bei „Berechnen“ dazu, nicht nur das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze das Ergebnis aus a) in die Höhenformel H = v0²·sin²(α)/(2g) ein. Achte darauf, dass sin²(45°) den Sinus zuerst bildet und ihn dann quadriert.Ein häufiger Fehler ist sin(45°²) statt (sin 45°)² — der Taschenrechner rechnet genau das, was man eintippt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Lehrer gibt die Formel dazu an: mit tw = 2·v0·sin(α)/g kann die Wurfzeit bzw. Wurfdauer tw berechnet werden, nach welcher ein geworfener Gegenstand nach dem Abwurf wieder auf dem Boden ankommt.Einsetzen genügt — v0 aus a) und α = 45° stehen schon fest.
Hinweis zu Aufgabe d)
Hier zählt nicht mehr der Wurf, sondern die Beschleunigungsphase im Arm: aus s = 1 m Ruhe auf v = 22,8 m/s. Das ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit s = ½·a·t² und v = a·t. Setze t aus der zweiten Gleichung in die erste ein.Für das „Vergleichen“ brauchst du am Ende noch eine Division: a : g gibt an, das Wievielfache der Erdbeschleunigung erreicht wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz mit der Weitenformel, umgestellt nach v0:

W = v0² · sin(2α) / g = 53 m| · gv0² · sin(2α) = 53 g| : sin(2α)v0² = 53 g / sin(2α)| √v0 = √( 53 g / sin(2α) )v0 = √( 53 · 9,81 / sin(2 · 45°) )v0 = 22,8 m/s

Der Schüler hat dem Ball also eine Anfangsgeschwindigkeit von rund 22,8 m/s (≈ 82 km/h) mitgegeben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
H = v0² · sin²(α) / (2g)H = 22,8² · sin²(45°) / (2 · 9,81)H = 13,25 m

Randnotiz des Lehrers: sin²(α) bedeutet (sin α)² — erst den Sinus bilden, dann quadrieren.

Der Ball steigt also gut 13 m hoch, etwa auf die Höhe eines vierstöckigen Hauses.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
tw = 2 · v0 · sin(α) / gtw = 2 · 22,8 · sin(45°) / 9,81tw = 3,29 s

Der Ball ist also rund 3,3 Sekunden in der Luft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gegeben sind s = 1 m und v = 22,8 m/s. Das ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

s = ½ · a · t²   und   v = a · t⟶  a = ½ · v² / sa = ½ · 22,8² / 1a = 259,92 m/s²

Vergleich mit der Erdbeschleunigung: 259,92 m/s² : 9,81 m/s² ≈ 26. Der Ball erfährt im Arm also etwa das 26-Fache der Erdbeschleunigung — und das nur auf einem einzigen Meter Beschleunigungsstrecke. Das zeigt, wie kräftig ein Wurf im Vergleich zum freien Fall ist.

2

Der Barringer-Krater

AFB II

Aus dem Barringer-Krater in Arizona (USA) wurden vor 15 Millionen Jahren beim Einschlag eines Riesenmeteoriten Gesteinsbrocken mit einer Anfangsgeschwindigkeit von bis zu 1000 m/s ausgeschleudert. Wir nehmen an, dass der Abwurf unter einem Winkel von 45° erfolgte, und vernachlässigen Reibungseffekte.

M1Flugbahn eines Gesteinsbrockens — mit Höhenskala zum Größenvergleich
0 km10 km20 km25,5 kmHöheReiseflughöhe rund 10 kmH = 25,5 kmW = 102 kmBarringer-Krater45°v0 = 1000 m/sHöhe und Weite im gleichen Maßstab — Flugdauer tw = 144 s
  1. Berechnen Sie die maximale Flugdauer eines Gesteinsbrockens.
  2. Berechnen Sie die maximale Höhe, die ein Gesteinsbrocken erreichen konnte.
  3. Berechnen Sie, welche maximale Flugweite ein Gesteinsbrocken bei dem Einschlag erreichen konnte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die maximale Flugdauer ist die Wurfzeit tw aus Aufgabe 1c). Notiere zuerst α = 45° und v0 = 1000 m/s, dann einsetzen.Die Zahlen sind riesig, das Vorgehen bleibt genau dasselbe wie beim Ball — die Formel kennt keinen Unterschied zwischen 22,8 m/s und 1000 m/s.
Hinweis zu Aufgabe b)
H = v0²·sin²(α)/(2g). Rechne mit 1000² = 1 000 000 und sin²(45°) = 0,5. Wandle das Ergebnis am Ende in Kilometer um.Die Umrechnung 1 km = 1000 m gehört zum Ergebnis — erst in Kilometern wird die Zahl anschaulich.
Hinweis zu Aufgabe c)
W = v0²·sin(2α)/g. Bei α = 45° ist 2α = 90°, und sin(90°) = 1 — die Formel wird dadurch besonders einfach.Dass sin(90°) = 1 der größtmögliche Wert des Sinus ist, ist genau der Grund, warum 45° der optimale Wurfwinkel ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
α = 45°   v0 = 1000 m/stw = 2 · v0 · sin(α) / g = 2 · 1000 · sin(45°) / 9,81 = 144 s

Ein Gesteinsbrocken war also gut zwei Minuten lang in der Luft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
α = 45°   v0 = 1000 m/sH = v0² sin²(α) / (2g) = 1000² · sin²(45°) / (2 · 9,81) = 25500 m ≈ 25,5 km
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
α = 45°   v0 = 1000 m/sW = v0² · sin(2α) / g = 1000² · sin(90°) / 9,81 = 102000 m = 102 km

Einordnung der beiden Ergebnisse: 25,5 km Höhe liegen weit oberhalb der Reiseflughöhe von Verkehrsflugzeugen (rund 10 km) — die Brocken flogen also mehr als doppelt so hoch wie ein Passagierflugzeug (M1). Und 102 km Weite entsprechen der Entfernung zwischen zwei größeren Städten. Beide Zahlen zusammen machen die Wucht des Einschlags anschaulich: Gesteinsbrocken verließen die Atmosphärenschichten, in denen Flugzeuge unterwegs sind, und landeten erst eine Autostunde entfernt wieder.

3

Leonardo da Vincis Riesenarmbrust

AFB III

Das Universalgenie Leonardo da Vinci (1452–1519) entwarf einige Kriegsmaschinen, von denen seine „Riesenarmbrust“ wohl am bekanntesten ist. Man kann die Ausmaße dieses Kriegsgerätes erahnen, wenn man sie mit der Größe des am Auslösemechanismus befindlichen Soldaten vergleicht. Der große Bogen ist aus Teilstücken zusammengesetzt, um ihm eine größere Flexibilität zu geben. Die Sehne des Bogens wird durch eine Schnecke, die von einem Getriebe bewegt wird, zurückgezogen (das Getriebe ist rechts unten dargestellt). Links unten auf der Zeichnung sind zwei Mechanismen dargestellt, die als Auslöser der Sehne dienen.

M1Die Riesenarmbrust und die Flugbahn des Pfeils (stilisierte Nachzeichnung)
Bogen aus TeilstückenGetriebeSoldat ≈ 1,8 mv0 ≈ 39,1 m/s20°ZielZielentfernung W = 100 mH ≈ 9,1 mHöhe gegenüber der Weite überhöht dargestellt · Modell: Abschusshöhe 0 m
  1. Der Pfeil wird unter einem Winkel von 20° abgeschossen und trifft ein Ziel in 100 m Entfernung. Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit, mit der der Pfeil abgeschossen werden muss.
  2. Berechnen Sie die maximal mögliche Reichweite der Armbrust unter optimalen Bedingungen.
  3. Erklären Sie begründet, warum es schwierig ist, den Pfeil unter optimal möglichen Bedingungen abzuschießen.
M2Zwei Bahnen im Vergleich — 20° und 45° bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit
20°45°100 m≈ 156 mH ≈ 39,0 mH ≈ 9,1 mGleiche Anfangsgeschwindigkeit v0 ≈ 39,1 m/s — nur der Winkel ist verschiedenHöhe und Weite im gleichen Maßstab
Hinweis zu Aufgabe a)
Dieselbe Umformung wie in Aufgabe 1a), nur mit anderen Zahlen: W = 100 m und α = 20°, also 2α = 40°. Es gilt sin(40°) ≈ 0,6428.Rechne den Bruch unter der Wurzel zuerst vollständig aus und ziehe erst danach die Wurzel — sonst schleicht sich leicht ein Fehler ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Reichweite wird maximal, wenn sin(2α) seinen größten Wert annimmt. Der Sinus wird höchstens 1, und das bei 2α = 90°, also α = 45°. Die Weitenformel schrumpft dann auf W = v0²/g.Die Anfangsgeschwindigkeit bleibt dieselbe wie in a) — die Armbrust wird nicht stärker gespannt, nur anders gerichtet (M2).
Hinweis zu Aufgabe c)
Schau dir M1 und M2 an: Wie steil müsste der Bogen bei 45° stehen? Denke außerdem an drei Punkte, die in der Rechnung gar nicht vorkommen: das Gewicht und die Bauart der Maschine, das Zielen über eine weite Strecke und den Luftwiderstand.„Erklären“ und „Begründen“ zusammen heißen: Nenne die Ursachen und führe sie auf die Physik bzw. auf die Voraussetzungen der Formeln zurück — eine Aufzählung ohne Begründung genügt nicht.

Hinweis zu diesem Erwartungshorizont: Im Unterrichtsmaterial ist zu dieser Aufgabe kein Lösungsweg notiert; hier die Rechnung mit den Formeln aus dem Kapitel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben: W = 100 m, α = 20°, g = 9,81 m/s². Gesucht: v0.

W = v0² · sin(2α) / g| · g, dann | : sin(2α), dann | √⟹  v0 = √( W · g / sin(2α) )v0 = √( 100 · 9,81 / sin(40°) )v0 = √( 981 / 0,6428 )v0 = √1526,3v0 ≈ 39,1 m/s  (≈ 141 km/h)

Der Pfeil muss die Armbrust also mit rund 39 m/s verlassen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Optimal ist α = 45°, denn dort ist sin(2α) = sin(90°) = 1 und damit größtmöglich:

Wmax = v0² / gWmax = 39,1² / 9,81Wmax ≈ 155,8 m

Mit derselben Anfangsgeschwindigkeit käme der Pfeil bei 45° also rund 156 m weit — gut die Hälfte weiter als die 100 m aus a) (M2).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mehrere Gründe kommen zusammen:

  • Die Bauart des Geräts. Bei 45° zeigt der Bogen sehr steil nach oben. Die Armbrust ist ein schweres, auf Rädern stehendes Gerät, dessen Bogen sich konstruktiv nicht beliebig aufrichten lässt (M1).
  • Das Zielen. Der Schütze müsste über eine große Distanz zielen, ohne das Ziel direkt anvisieren zu können — bei einem steilen Schuss geht der Pfeil weit über die Sichtlinie hinaus und kommt erst rund 156 m entfernt wieder herunter.
  • Der Luftwiderstand. Der reale Pfeil unterliegt dem Luftwiderstand; die Formeln aus M0 gelten aber nur ohne Reibung. Die tatsächliche Reichweite bleibt deshalb hinter den berechneten 155,8 m zurück, und zwar bei der steilen, langen Bahn stärker als bei der flachen.
  • Die Abschusshöhe. Die Formeln setzen außerdem eine Abschusshöhe von 0 m voraus. Der Bogen der Armbrust sitzt aber über dem Boden, sodass die Rechnung auch aus diesem Grund nur ein Näherungswert ist.

Fazit: Die 45° sind das rechnerische Optimum eines reibungsfreien Modells. In der Praxis begrenzen Konstruktion, Zielbarkeit und Luftwiderstand die Armbrust auf deutlich flachere Winkel — und genau deshalb wird in Aufgabe a) mit 20° und nicht mit 45° geschossen.

4

Die Simulation nachrechnen

AFB III

Am Ende des Simulationsblatts stellt der Lehrer die Übung: „a) Rechnen Sie in Aufgabe 2 und 4 mit der Formel für W nach, ob die in der Simulation angezeigte Distanz korrekt war. b) Berechnen Sie in Aufgabe 2 und 4 die maximale Höhe.“ In M1 und M2 stehen die Messwerte, die dabei in der Simulation abgelesen wurden — die Kanone stand auf einer Höhe von 0 m, der Luftwiderstand war ausgeschaltet.

M1Aufgabe 2 — fünf Kombinationen für die Zielscheibe in 15 m Entfernung
Nr.Abwurfwinkel αAnfangsgeschwindigkeit vZielscheibe Entfernung
130°15 m/s15 m
270°15 m/s15 m
385°28 m/s15 m
475°17 m/s15 m
545°12 m/s15 m
M2Aufgabe 4 — Winkelpaare bei v₀ = 15 m/s und die angezeigte Entfernung
AnfangsgeschwindigkeitWinkel α1Winkel α2Entfernung (Simulation)
15 m/s40°50°22,59 m
15 m/s25°65°17,60 m
15 m/s30°60°19,86 m
15 m/s35°55°21,51 m
  1. Berechnen Sie mit der Formel für W die vier Weiten aus M2 nach und überprüfen Sie, ob die von der Simulation angezeigten Werte korrekt sind.
  2. Berechnen Sie für die vier Winkelpaare aus M2 jeweils die maximale Höhe H und erklären Sie, warum die beiden Winkel eines Paares zwar dieselbe Weite, aber unterschiedliche Höhen ergeben.
  3. Überprüfen Sie die fünf Kombinationen aus M1 mit der Formel für W und beurteilen Sie das Ergebnis.
M3Die fünf Kombinationen aus M1 in einem gemeinsamen Diagramm
05101520010203040Weite x in mHöhe y in mZiel 15 mKombinationen aus M130° · 15 m/sW = 19,86 m — deutlich zu weit70° · 15 m/sW = 14,74 m — knapp vor dem Ziel85° · 28 m/sW = 13,88 m — knapp vor dem Ziel75° · 17 m/sW = 14,73 m — knapp vor dem Ziel45° · 12 m/sW = 14,68 m — knapp vor dem ZielHöhe und Weite im gleichen Maßstab.Die Bögen am Ursprung zeigen die Abwurfwinkel.
Hinweis zu Aufgabe a)
Alle vier Zeilen haben dieselbe Anfangsgeschwindigkeit. Rechne deshalb den Vorfaktor v0²/g = 15²/9,81 = 225/9,81 = 22,94 m nur ein einziges Mal aus und multipliziere ihn danach jeweils mit sin(2α).Beim Vergleich mit der Simulation geht es nicht um Ziffernidentität: Die Simulation liest den Landepunkt nur auf ein bis zwei Nachkommastellen genau ab.
Hinweis zu Aufgabe b)
Auch hier lohnt sich ein gemeinsamer Vorfaktor: v0²/(2g) = 225/19,62 = 11,47 m. Multipliziere ihn mit sin²(α) — für jeden der acht Winkel einzeln.Für die Erklärung vergleiche, welche Winkelfunktion in W steht (sin(2α)) und welche in H (sin²(α)) — und wie sich beide verhalten, wenn man α durch 90° − α ersetzt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier ist v0 in jeder Zeile anders, der Vorfaktor v²/g muss also jedes Mal neu berechnet werden. Vergleiche jedes Ergebnis mit den 15 m der Zielscheibe.Beim „Beurteilen“ reicht das Rechenergebnis nicht: Sage, was es für das Ausprobieren in der Simulation bedeutet, und begründe dein Urteil.

Hinweis zu diesem Erwartungshorizont: Der Lehrer stellt die Übung, notiert dazu aber keinen Lösungsweg; die folgenden Rechnungen sind vollständig selbst gerechnet — mit den Formeln aus M0 und den Messwerten aus M1 und M2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Mit W = v0²·sin(2α)/g, v0 = 15 m/s und g = 9,81 m/s² ist der Vorfaktor für alle vier Zeilen gleich:

v0² / g = 225 / 9,81 = 22,94 m
Winkelpaarsin(2α)RechnungSimulationVergleich
40° / 50°sin(80°) = 0,9848W = 22,94 m · 0,9848 = 22,59 m22,59 m✓ stimmt überein
25° / 65°sin(50°) = 0,7660W = 22,94 m · 0,7660 = 17,57 m17,60 m✓ stimmt überein
30° / 60°sin(60°) = 0,8660W = 22,94 m · 0,8660 = 19,86 m19,86 m✓ stimmt überein
35° / 55°sin(70°) = 0,9397W = 22,94 m · 0,9397 = 21,55 m21,51 m✓ stimmt überein

Alle vier Werte stimmen im Rahmen der Ablesegenauigkeit überein — die Formel gibt die Simulation korrekt wieder. Die kleinen Abweichungen von wenigen Zentimetern (z. B. 17,57 m gegenüber 17,60 m) entstehen dadurch, dass der Landepunkt in der Simulation abgelesen und nicht berechnet wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit H = v0²·sin²(α)/(2g) ist der gemeinsame Vorfaktor v0²/(2g) = 225/19,62 = 11,47 m:

WinkelpaarH beim flacheren WinkelH beim steileren Winkelgemeinsame Weite
40° / 50°4,74 m6,73 m22,59 m
25° / 65°2,05 m9,42 m17,60 m
30° / 60°2,87 m8,60 m19,86 m
35° / 55°3,77 m7,70 m21,51 m

Erklärung: In W steht sin(2α), und sin(2α) ist für α und 90° − α gleich groß — deshalb dieselbe Weite. In H steht dagegen sin²(α), und sin(α) wächst mit dem Winkel — der steilere Winkel eines Paares erreicht also immer die größere Höhe und braucht dafür auch mehr Zeit.

Genau das ist auch die allgemeine Bedingung, die im Simulationsblatt gefunden wurde: α1 + α2 = 90°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Diesmal ist in jeder Zeile eine andere Anfangsgeschwindigkeit eingestellt, der Vorfaktor v²/g ändert sich also mit:

Kombinationv²/gsin(2α)berechnete Weite WBeurteilung
30° / 15 m/s22,94 msin(60°) = 0,866019,86 mdeutlich zu weit
70° / 15 m/s22,94 msin(140°) = 0,642814,74 mknapp vor dem Ziel
85° / 28 m/s79,92 msin(170°) = 0,173613,88 mknapp vor dem Ziel
75° / 17 m/s29,46 msin(150°) = 0,500014,73 mknapp vor dem Ziel
45° / 12 m/s14,68 msin(90°) = 1,000014,68 mknapp vor dem Ziel

Beurteilung: Vier der fünf Kombinationen liegen zwischen 13,9 m und 14,7 m — also nahe an den 15 m der Zielscheibe, aber nicht exakt darauf; beim Ausprobieren in der Simulation trifft man das Ziel innerhalb der Trefferbreite, ohne die Weite exakt auf 15 m zu bringen. Die erste Zeile (30° bei 15 m/s) ergibt rechnerisch 19,86 m und liegt damit deutlich daneben — dieser Wert taucht in Aufgabe 4 als Weite des Winkelpaars 30°/60° wieder auf (M2). In M3 ist gut zu sehen, wie diese eine Bahn über die Zielscheibe hinausschießt, während die anderen vier kurz davor aufkommen.

Fazit: Beim Ausprobieren in der Simulation lohnt es sich, das Ergebnis mit der Formel gegenzurechnen.