Vier Sachaufgaben zu 1.5.3 mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — vom Sprung in Dubai über die sieben Phasen des v-t-Diagramms bis zur Absprunghöhe aus der Fläche unter dem Graphen.
In Dubai über den Wolken — Extremsportler haben nie genug! Für den Extrakick Adrenalin stürzen sie sich deshalb von einem 370 Meter hohen Wolkenkratzer in Dubai. Nach einer gewissen Zeit öffnen sie ihren Fallschirm.
Nein! Aufgrund der Höhe erreicht der Springer so hohe Geschwindigkeiten, dass sich der Luftwiderstand stark bemerkbar macht.
Der freie Fall setzt voraus, dass die Luftreibung vernachlässigbar ist. Weil der Luftwiderstand nach FL = ½ · cw · A · ρ · v² quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst, ist diese Bedingung nur in den ersten Sekunden erfüllt. Danach ist die Bewegung nicht mehr gleichmäßig beschleunigt.
Für eine maximale Geschwindigkeit müsste man kopfüber springen und für eine minimale Geschwindigkeit in einer waagerechten Position parallel zum Erdboden.
Begründung über die Querschnittsfläche: In FL = ½ · cw · A · ρ · v² steht A für die dem Luftstrom zugewandte Anströmfläche. Kopfüber ist A klein, also ist FL klein; die Gewichtskraft überwiegt länger, und der Springer wird schneller. Waagerecht ist A groß, also ist FL groß; Luftwiderstand und Gewichtskraft sind schon bei kleinerer Geschwindigkeit gleich groß, und genau dort endet die Beschleunigung.
In Dubai über den Wolken — Extremsportler haben nie genug! Für den Extrakick Adrenalin stürzen sie sich deshalb von einem 370 Meter hohen Wolkenkratzer in Dubai. Nach einer gewissen Zeit öffnen sie ihren Fallschirm.
Der Geschwindigkeitsverlauf eines Extremsportlers während eines Sprungs wurde aufgezeichnet (M1). Beschreiben Sie die physikalischen Vorgänge in den Phasen A bis G mit eigenen Worten. Verwenden Sie dabei möglichst physikalische Fachbegriffe.
Phase A: Es handelt sich um einen freien Fall, da die Luftreibung vernachlässigt werden kann. Also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Das heißt die Geschwindigkeit steigt linear.
Phase B: In dieser Phase nimmt der Luftwiderstand immer stärker zu, wodurch der Extremsportler nicht mehr so stark beschleunigt. Der Springer beschleunigt immer noch, jedoch nicht gleichmäßig.
Phase C: Der Springer hat seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Er verändert seine Körperhaltung nicht, sodass er seine Geschwindigkeit konstant beibehält. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.
Phase D: An dieser Stelle öffnet der Extremsportler seinen Fallschirm, wodurch er abrupt abgebremst wird, seine Geschwindigkeit also stark abnimmt.
Phase E: Durch den geöffneten Fallschirm wird der Springer weiter abgebremst. Es handelt sich um eine verzögerte Bewegung. Seine Geschwindigkeit verringert sich also weiter.
Phase F: Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung, da die Geschwindigkeit konstant ist. Der Extremsportler wurde durch den Fallschirm maximal abgebremst und kann nicht mehr abgebremst werden.
Phase G: An dieser Stelle landet der Springer auf dem Boden, wodurch sich seine Geschwindigkeit auf 0 m/s verringert.
Der Arbeitsauftrag des Lehrers lautet: „Begründen Sie, warum es sich beim Diagramm von Aufgabe 2 nicht um den Sprung aus einem 370 Meter hohen Gebäude handeln kann. Stellen Sie eine begründete Hypothese auf, aus welcher Höhe der Extremsportler aus Aufgabe 2 gesprungen sein könnte.“
Grundlage der Auswertung ist M1: Die Fläche unter dem Graphen eines v-t-Diagramms entspricht der zurückgelegten Strecke.
Der Springer ist von Sekunde 20 bis Sekunde 40 mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 m/s gefallen. Das heißt, er hat in dieser Zeit bereits
s = v · t = 60 m/s · 20 s = 1200 m
zurückgelegt. Im Diagramm ist das das orange Rechteck: 2 Kästchen breit und 6 Kästchen hoch, also 12 Kästchen zu je 100 m.
Schon dieses eine Teilstück des Sprungs ist mit 1200 m mehr als dreimal so lang wie das Gebäude hoch ist (370 m). Dazu kommen die Strecke der Phasen A und B vor Sekunde 20 und die gesamte Fallschirmfahrt der Phasen E und F nach Sekunde 40. Aus 370 m Höhe wäre der Sprung außerdem längst vor Sekunde 20 beendet gewesen — das Diagramm zeigt aber noch rund 80 weitere Sekunden Fallzeit. Der Sprung kann also nicht von dem 370 m hohen Gebäude erfolgt sein.
Die Fläche unter dem Graphen entspricht der zurückgelegten Strecke. Ein Kästchen entspricht dabei einer Strecke von 10 s · 10 m/s = 100 m. Die Gesamtfläche unter dem Graphen besteht aus ungefähr 27 bis 28 Kästchen. Der Springer ist also aus ungefähr 2750 m gesprungen.
Hypothese: Aus dieser Höhe gibt es in Dubai kein Bauwerk — das höchste ist rund dreimal niedriger. Eine Höhe von etwa 2750 m ist dagegen eine typische Absetzhöhe beim Fallschirmspringen. Er sprang aus einem Flugzeug!
Regentropfen entstehen in Wolken in etwa 1500 m Höhe. Messungen zeigen, dass große Tropfen am Boden mit höchstens etwa 9 m/s ankommen (\(g=9{,}81\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\)).
\(v=\sqrt{2\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot1500\,\mathrm m}\approx172\,\mathrm{\tfrac ms}\approx618\,\mathrm{\tfrac{km}h}\) — das wäre lebensgefährlich.
Mit wachsender Geschwindigkeit nimmt der Luftwiderstand stark zu (etwa mit \(v^2\)). Sobald er so groß ist wie die Gewichtskraft, ist die resultierende Kraft null: Der Tropfen fällt mit konstanter Endgeschwindigkeit weiter.
Zu Beginn steigt die Geschwindigkeit fast wie beim freien Fall (Steigung g), dann flacht die Kurve immer mehr ab und nähert sich waagerecht der Endgeschwindigkeit von etwa 9 m/s.
Die Gewichtskraft wächst mit dem Volumen (\(\sim r^3\)), der Luftwiderstand bei gleicher Geschwindigkeit nur mit der Querschnittsfläche (\(\sim r^2\)). Bei kleinen Tropfen ist der Luftwiderstand im Verhältnis zur Gewichtskraft größer; das Kräftegleichgewicht stellt sich schon bei kleinerer Geschwindigkeit ein.