Sechs Sachaufgaben mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — vom Radfahrer nach Berlin über den Überholvorgang bis zum Gewitter am Horizont.
Ein Radfahrer startet um 7:00 Uhr in Leipzig und fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 20 km/h nach Berlin. Zwei Stunden später startet ein Auto von derselben Stelle mit einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h in die gleiche Richtung. Wann und nach welcher Strecke hat das Auto den Radfahrer eingeholt? Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch!
Der Radfahrer beginnt bei 7:00 Uhr im Ursprung und legt in jeder Stunde 20 km zurück (rote Gerade). Das Auto beginnt erst bei 9:00 Uhr auf der Zeitachse und legt in jeder Stunde 80 km zurück, seine Gerade ist also viermal so steil (türkise Gerade). Beide Geraden sind in M2 eingezeichnet.
Der Schnittpunkt liegt bei rund 9:40 Uhr und rund 53,3 km. Das Ergebnis des Lehrers lautet: „Treffen ca. um 9:40 Uhr nach 53,3 km“.
Wir zählen die Zeit t in Stunden ab 7:00 Uhr und rechnen in km und km/h.
Radfahrer: sR(t) = 20 · t
Auto: sA(t) = 80 · (t − 2)
Gleichsetzen: 20 t = 80 t − 160 ⇒ 160 = 60 t ⇒ t = 8/3 h ≈ 2,67 h.
2,67 h nach 7:00 Uhr sind 2 h 40 min, also gegen 9:40 Uhr. Die Strecke beträgt s = 20 · 8/3 km ≈ 53,3 km. Rechnung und Zeichnung stimmen überein.
Ein Schüler fährt bei schönem Wetter den 8 km langen Weg zur Schule mit dem Fahrrad, für den er insgesamt 35 min braucht. Das erste Teilstück geht es einen Berg hinauf und er fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 10 km/h. Vom Gipfel aus geht es dann nur noch runter und er schafft auf dieser Strecke durchschnittlich 25 km/h. Wie lang ist der Weg, der zum Gipfel führt?
Die Skizze zeigt den 8 km langen Schulweg: Von zu Hause geht es das erste Teilstück s1 mit 10 km/h bergauf bis zum Gipfel, danach das Stück 8 km − s1 mit 25 km/h bergab bis zur Schule. Die Gesamtzeit beträgt 35 min. Gesucht ist s1.
Die blaue Gerade (bergauf, 10 km/h) startet im Ursprung. Die grüne Gerade (bergab, 25 km/h) endet bei (35 min | 8 km) und schneidet die Zeitachse bei rund 15,8 min. Der Schnittpunkt liegt bei rund 4,4 km. Das Ergebnis des Lehrers lautet: „Treffen nach ca. 4,4 km und einer Zeit von ca. 25,8 min“.
Ansatz über die Gesamtzeit (in Stunden):
s1/10 + (8 − s1)/25 = 35/60 h
Ausmultiplizieren: 0,1 · s1 + 0,32 − 0,04 · s1 = 0,5833 h
0,06 · s1 = 0,2633 h ⇒ s1 ≈ 4,4 km
Die zugehörige Zeit ist t1 = s1/10 ≈ 0,44 h ≈ 26 min. Der Weg zum Gipfel ist also rund 4,4 km lang — genau der Wert, den der Lehrer aus dem Diagramm abliest (ca. 4,4 km nach ca. 25,8 min). Die kleine Abweichung bei der Zeit ist die übliche Ablesegenauigkeit einer Zeichnung.
Ein Auto mit 60 km/h wird von einem zweiten mit 70 km/h überholt. Wie lange dauert der Überholvorgang und welche Fahrstrecke muss der Überholer dabei zurücklegen? Der gegenseitige Abstand vor und nach dem Überholen betrug 20 m und beide Wagen sind je 4 m lang.
Die Gesamtstrecke setzt sich zusammen aus 20 m + 4 m + 20 m + 4 m = 48 m. Um genau diese 48 m muss der Überholer relativ zum überholten Auto vorrücken.
Das Auto ist 10 km/h = 2,78 m/s schneller. Dabei müssen 48 m Strecke zurückgelegt werden. Es gilt also:
t = s / v = 48 m / 2,78 m/s ≈ 17,3 s
70 km/h entsprechen 19,44 m/s. Dabei werden
s = v · t = 19,44 m/s · 17,3 s ≈ 336 m
zurückgelegt. Der Überholvorgang dauert also gut 17 Sekunden und verbraucht dabei über 300 Meter Fahrbahn — deutlich mehr, als die 48 m Vorsprung vermuten lassen.
Mit welcher Geschwindigkeit muss das Erdöl in einer Rohrleitung von 100 cm² Querschnitt fließen, damit im Laufe einer Stunde 18 m³ davon hindurchfließen?
Für das Volumen gilt V = A · s, also s = V / A. Setzt man das in v = s / t ein, folgt
v = s / t = V / (A · t).
Umrechnung des Querschnitts: 100 cm² = 100 · (0,01 m)² = 0,01 m²; die Zeit beträgt 1 h = 3600 s. Damit:
v = V / (A · t) = 18 m³ / (0,01 m² · 3600 s) = 0,5 m/s
0,5 m/s · 3,6 = 1,8 km/h. Das Erdöl fließt also langsamer als ein gemütlicher Spaziergang — die große Menge kommt allein durch den Querschnitt und die lange Zeit zustande.
Mit einer einfachen Faustregel können Sie die Entfernung zwischen sich und einem Gewitter abschätzen:
„Warte, bis es blitzt. Zähle langsam die Sekunden, bis der nachfolgende Donner zu hören ist. Teile die Sekundenzahl durch 3. Das Ergebnis ist die Entfernung von dir zum Einschlagort des Blitzes in Kilometern.“
Erläutern Sie mit einer Rechnung, warum diese Abschätzung sinnvoll ist.
Hinweis: Es gilt vLicht = 300 000 km/s und vSchall = 330 m/s.
t = s / v = 1 km / 300 000 km/s ≈ 3,3 · 10−6 s = 3,3 µs.
Das Licht braucht also für einen Kilometer rund drei Millionstel Sekunden. Gezählt werden aber ganze Sekunden. Die Laufzeit des Lichts ist gegenüber der Laufzeit des Schalls und gegenüber der Zählungenauigkeit völlig vernachlässigbar — man darf so tun, als sei der Blitz im selben Augenblick zu sehen, in dem er entsteht.
Die Rechnung des Lehrers für den Schall:
s = v · t = 330 m/s · t = 0,33 km/s · t ≈ 1/3 km/s · t
Der Schall legt in jeder Sekunde also rund ein Drittel Kilometer zurück. Nach t Sekunden ist er t/3 Kilometer weit gekommen — und genau das ist die Entfernung zum Einschlagort. Die Anweisung „Sekundenzahl durch 3 teilen“ ist also nichts anderes als die Formel s = v · t mit dem gerundeten Wert v ≈ 1/3 km/s.
Die Faustregel unterstellt genau 1/3 km/s = 333 1/3 m/s, tatsächlich sind es 330 m/s. Die Abweichung beträgt rund 1 %: Bei 3 km Entfernung sind das etwa 30 m. Deutlich größer ist die Ungenauigkeit beim Zählen — wer beim „langsamen Zählen“ nur eine halbe Sekunde daneben liegt, irrt sich bereits um rund 170 m. Für eine Abschätzung, ob das Gewitter zwei oder acht Kilometer entfernt ist, ist die Regel also völlig ausreichend; für eine genaue Entfernungsmessung taugt sie nicht. Hinzu kommt, dass die Schallgeschwindigkeit von der Lufttemperatur abhängt und der Wert 330 m/s selbst schon ein Mittelwert ist.
Zwei Fahrten, ein Problem: Wer zu langsam startet, verliert Zeit — die Frage ist, ob und wie sich das noch aufholen lässt.
a) Für eine längere Fahrt mit dem Auto rechnet ein Fahrer mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 60 km/h. Nachdem er genau die Hälfte der Strecke zurückgelegt hat, stellt er fest, dass er durch Verkehrsbehinderungen durchschnittlich nur 30 km/h gefahren ist. Kann er den Zeitverlust in der 2. Hälfte wieder aufholen? Begründen Sie Ihre Aussage.
b) Moritz plant seine Fahrt in den Urlaub mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 90 km/h. Nach einem Viertel der Strecke bemerkt er, dass er die ganze Zeit nur mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 40 km/h gefahren ist. Erklären Sie begründet, mit welcher Geschwindigkeit Moritz weiter fahren muss, um sein Urlaubsziel pünktlich zu erreichen. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma, falls Sie eine Rechnung angeben.
Die Gesamtstrecke sei s. Geplant war tPlan = s/60. Tatsächlich gebraucht hat der Fahrer für die erste Hälfte t1 = (s/2)/30 = s/60 — also genau so viel.
Der Fahrer fährt die erste Hälfte mit halber Geschwindigkeit, das heißt die ursprünglich geplante Zeit für die gesamte Strecke ist bereits vollständig verbraucht. Es gibt keine Möglichkeit mehr, den Zeitverlust in der zweiten Hälfte wieder aufzuholen — dafür wäre eine unendlich große Geschwindigkeit nötig, denn die zweite Hälfte müsste in der Zeit null zurückgelegt werden.
Die Rechnung des Lehrers, mit s als Gesamtstrecke (alle Angaben in km und h):
tPlan = s/90 (geplante Zeit)
t1 = s1/40 = (¼ s)/40 = s/160 (Zeit für ¼ der Strecke)
tRest = tPlan − t1 = s/90 − s/160 = 7s/1440 (verbleibende Zeit)
sRest = ¾ s
v = sRest / tRest = (¾ s) / (7s/1440) = (¾ · 1440) / 7 = 1080/7 = 154,29 km/h
Das s kürzt sich heraus: Die nötige Geschwindigkeit hängt nicht von der Länge der Strecke ab. Zur Einheit: Alle Ausgangsgrößen sind in km/h gegeben (90 km/h und 40 km/h), die Strecke kürzt sich heraus — also ist das Ergebnis 154,29 km/h und nicht m/s.
Begründete Antwort: Moritz müsste die restlichen drei Viertel der Strecke mit rund 154 km/h zurücklegen. Rechnerisch ist das möglich — anders als beim Fahrer in a) ist noch Zeit übrig — auf deutschen Landstraßen und in vielen Ländern ist diese Geschwindigkeit aber gar nicht erlaubt. Praktisch wird Moritz also zu spät ankommen.