Gleichförmige Bewegung
Konstante Geschwindigkeit heißt: Gerade im t‑s‑Diagramm. Wo sich zwei Geraden schneiden, treffen sich zwei Fahrzeuge — zeichnerisch abgelesen oder rechnerisch bestimmt.
Die Gerade im t-s-Diagramm
Eine Bewegung heißt gleichförmig, wenn sich die Geschwindigkeit nicht ändert.
- Kennzeichen:In jeder Sekunde und in jeder Minute wird dieselbe Strecke zurückgelegt.
- Achsen:Waagerecht steht die Zeit t, senkrecht der Ort s.
- Gerade:Gleiche Schritte nach rechts bringen gleiche Schritte nach oben — die Punkte liegen auf einer Geraden.
- Mathematisch:Eine gleichförmige Bewegung ist damit eine lineare Funktion.
- Vorteil:Du darfst alles aus der Mathematik nutzen, vor allem den Schnittpunkt zweier Geraden.
Ort zum Zeitpunkt t, in km oder m.
Geschwindigkeit, zugleich die Steigung der Geraden, in km/h oder m/s.
Zeit seit dem Start, in h oder s.
Startort bei t = 0, also der Achsenabschnitt auf der s-Achse.
Zwei Sonderfälle der Gleichung solltest du sofort erkennen.
- Start im Nullpunkt:Dann ist s0 = 0 und die Gleichung schrumpft auf s = v · t.
- Fahrt zum Nullpunkt:Die Geschwindigkeit wird mit einem Minuszeichen eingesetzt.
- Im Bild:Die Gerade fällt dann von links oben nach rechts unten.
- Genau diesen Fall brauchen wir gleich beim Notarzt-PKW.
Drei gleichförmige Bewegungen. Gerade ① ist doppelt so steil wie ②, also doppelt so schnell. Gerade ③ ist parallel zu ② — gleiche Geschwindigkeit, aber ein anderer Startort: Sie beginnt nicht bei 0, sondern bei s0 = 10 km.
Aus dem Bild kannst du drei Ableseregeln mitnehmen.
- Steigung:Je steiler die Gerade, desto größer die Geschwindigkeit.
- Parallel:Parallele Geraden gehören zu gleich schnellen Körpern, die sich nie einholen.
- Achsenabschnitt:Der Schnittpunkt mit der s-Achse verrät den Startort.
- Achtung:Genau dieser Startort wird beim Aufstellen der Gleichung am häufigsten vergessen.
- Beispiel:Gerade ① steigt um 30 km in 30 min, also 1 km je Minute = 60 km/h — die Steigung ist die Geschwindigkeit.
Das Leitbeispiel: Krankenwagen und Notarzt
Ein Krankenwagen (KW) startet in Ort A zum 30 km entfernten Krankenhaus B. Gleichzeitig fährt ihm in B ein Notarzt-PKW (NA) entgegen.
- Krankenwagen:60 km/h, Start in A.
- Notarzt-PKW:90 km/h, Start in B, fährt entgegen.
- Gesucht:Wann und wo treffen sich beide — also wann kann der Verletzte versorgt werden?
- Zwei Wege:Zuerst zeichnerisch im t-s-Diagramm, dann rechnerisch.
Die Situation als Skizze
Vor jeder Rechnung steht die Skizze — sie klärt drei Dinge.
- Nullpunkt:Wo liegt der Nullpunkt der Ortsachse?
- Richtung:In welche Richtung fährt wer?
- Abstand:Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Startorten?
- Ohne diese drei Angaben verrechnet man sich fast sicher.
Wir legen den Nullpunkt der Ortsachse nach A. Dann startet der Krankenwagen bei s0 = 0 und fährt in die positive Richtung; der Notarzt-PKW startet bei s0 = 30 km und fährt in die negative Richtung.
Weg 1 — zeichnerisch: die Geraden schneiden lassen
Für die Zeichnung brauchst du je Fahrzeug nur zwei Punkte.
- Krankenwagen, Start:Bei t = 0 ist er bei 0 km.
- Krankenwagen, 2. Punkt:Mit 60 km/h schafft er 1 km je Minute, nach 30 min ist er bei 30 km.
- Notarzt-PKW, Start:Bei t = 0 ist er bei 30 km.
- Notarzt-PKW, 2. Punkt:Mit 90 km/h braucht er für die 30 km genau 20 min und ist dann bei 0 km.
- Zwei Punkte, ein Lineal — fertig ist jede Gerade.
Nachbau der Lösung aus dem Unterricht: Der Schnittpunkt liegt bei (12 min | 12 km). Die gestrichelten Hilfslinien führen von dort senkrecht zur Zeitachse und waagerecht zur Streckenachse — dort liest du beide Antworten ab.
Die Zeichnung liefert schon die Antwort.
- Ergebnis:Der Verletzte kann 12 Minuten nach dem Losfahren ärztlich versorgt werden.
- Nicht die Mitte:Der Treffpunkt liegt nicht in der Mitte der Strecke.
- Grund:Der Notarzt ist schneller und kommt dem Krankenwagen weiter entgegen.
- Aufteilung:Von den 30 km entfallen 12 km auf den Krankenwagen und 18 km auf den Notarzt-PKW.
Weg 2 — rechnerisch: die Gleichungen gleichsetzen
Rechnerisch dasselbe ohne Lineal: beide Geradengleichungen gleichsetzen — mit Stunden und km/h wie im Unterricht.
Herleitung: Nullpunkt in A, Zeit in h, Geschwindigkeit in km/h.
- Krankenwagen:sKW(t) = 60 t
- Notarzt-PKW:sNA(t) = −90 t + 30 — Minus, weil er auf den Nullpunkt zufährt; +30 ist sein Startort.
- Gleichsetzen:60 t = −90 t + 30 → 150 t = 30 → t = 0,2 h = 12 min
- Ort:sKW(0,2) = 60 · 0,2 = 12 km
- Kontrolle:sNA(0,2) = −18 + 30 = 12 km — der Punkt liegt auf beiden Geraden.
- Deutung:Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung der Gleichung. Die Zeichnung zeigt das Ergebnis, die Rechnung liefert es exakt.
Im Leitbeispiel treffen sich beide nach 12 min, 12 km von A entfernt.
Der Treffpunkt-Rechner
Hier steht das Leitbeispiel als Simulation. Du stellst für beide Fahrzeuge Startort und Geschwindigkeit ein — links siehst du sie auf der Straße fahren, rechts wachsen dieselben Bewegungen als Geraden im t-s-Diagramm mit. Die Voreinstellung ist genau das Leitbeispiel: 0 km mit 60 km/h und 30 km mit −90 km/h. Ein negativer Wert bedeutet Fahrt nach links, also auf den Nullpunkt zu.
s1(t) = 60 · t + 0 · s2(t) = −90 · t + 30 (t in h, s in km)
Gleichsetzen: 60 t = −90 t + 30 → t = 0,2 h = 12 min, also s = 12 km.
Beobachtung: Bei gleicher Geschwindigkeit beider Fahrzeuge werden die Geraden parallel, es gibt keinen Schnittpunkt, und kein Fahrzeug holt das andere je ein. Fährt Fahrzeug 2 dagegen mit positiver Geschwindigkeit, fahren beide in dieselbe Richtung, und nur das schnellere holt auf. Genau dieser Fall begegnet dir in den Textaufgaben wieder.
Umstellen und deuten
Nicht jede Aufgabe fragt nach einem Treffpunkt.
- Häufiger Fall:Es ist nur eine Bewegung im Spiel.
- Gesucht:Aus s = v · t fehlt genau eine der drei Größen.
- Vorgehen:Die Formel bleibt dieselbe, du stellst sie nur um.
Gesucht ist die Strecke → erste Form.
Gesucht ist die Geschwindigkeit → zweite Form.
Gesucht ist die Zeit → dritte Form.
Notiere beides zuerst, dann siehst du sofort die passende Form.
- Beispiel Kran:Ein Träger wird 12 s lang mit 2,5 m/s hochgezogen: s = 2,5 m/s · 12 s = 30 m.
- Einheiten:(m/s) · s = m — die Sekunde kürzt sich weg. Minuten müsstest du vorher in Sekunden umrechnen.
Blitz und Donner
Bei einstellbarer Entfernung des Gewitters löst Blitz auslösen Licht und Schall gleichzeitig aus. Das Licht ist praktisch sofort da, die Schallwelle braucht mit 330 m/s deutlich länger — der Zähler läuft mit. Die gezählten Sekunden lassen sich mit der Faustregel „Sekunden ÷ 3“ vergleichen.
Der Schall braucht für 3,0 km rund 9,1 s. 9,1 ÷ 3 = 3,0 km — die Faustregel trifft.
Die Darstellung läuft im Zeitraffer (achtfach). Der Zähler zeigt die echten Sekunden an, die du beim Gewitter mitzählen würdest.
Er schafft in jeder Sekunde rund ein Drittel Kilometer.
Zu jedem Kilometer gehören etwa 3 Sekunden: Sekunden zählen, durch 3 teilen.
Mit 300 000 km/s braucht es nur den Bruchteil einer Millisekunde und zählt praktisch nicht mit.
Achte darauf: Die Faustregel unterschätzt die Entfernung ganz leicht, weil 330 m/s etwas weniger als ⅓ km/s sind — bei 15 km ergibt das Zählen 45,5 s und die Regel 15,2 km statt 15,0 km. Für eine Abschätzung im Gewitter ist das mehr als genau genug.
Zeichnerisch oder rechnerisch?
Das Leitbeispiel lässt sich auf beiden Wegen lösen. Die Tabelle zeigt, wann welcher Weg sinnvoll ist.
| Merkmal | Zeichnerisch | Rechnerisch |
|---|---|---|
| Vorgehen | Für jedes Fahrzeug zwei Punkte eintragen, Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen | Für jedes Fahrzeug s(t) = v · t + s0 aufstellen, gleichsetzen, nach t auflösen |
| Werkzeug | Millimeterpapier, Lineal, sinnvoll gewählte Achsen | Gleichsetzungsverfahren aus der Mathematik |
| Was du zusätzlich siehst | den ganzen Verlauf: wer wo wann ist, wer schneller ist, ob es überhaupt einen Schnittpunkt gibt | nur den einen gesuchten Punkt — dafür exakt |
| Genauigkeit | begrenzt: so genau wie Achsenmaßstab, Bleistiftstrich und Auge — hier etwa ± 0,5 min | exakt, nur durch das Runden am Ende begrenzt |
| Typische Fehlerquelle | ungünstiger Maßstab, ungenau angetragene zweite Punkte | Vorzeichen der Geschwindigkeit, vergessener Startort s0, gemischte Einheiten |
| Sinnvoll, wenn … | … die Aufgabe „ermittle zeichnerisch“ sagt, wenn du dir den Ablauf klarmachen willst oder wenn eine Bewegung aus mehreren Abschnitten besteht | … ein genauer Wert gefragt ist, die Zahlen krumm sind oder das Ergebnis weiterverwendet wird |
| Beim Leitbeispiel | Ablesen: 12 min | 12 km | t = 0,2 h = 12 min, s = 12 km |
Beide Spalten führen zum selben Ergebnis — der Schnittpunkt der Geraden ist die grafische Darstellung genau der Gleichung, die du beim Gleichsetzen löst.
So löst du eine Treffpunkt-Aufgabe
- 1. Skizze:Straße, beide Fahrzeuge, Fahrtrichtungen und Abstand eintragen.
- 2. Nullpunkt:Einen Ort als s = 0 wählen und daraus beide Startorte s0 ablesen.
- 3. Gleichungen:Für jedes Fahrzeug s(t) = v · t + s0; wer auf den Nullpunkt zufährt, bekommt ein negatives v.
- 4. Gleichsetzen:Am Treffpunkt sind beide zur selben Zeit am selben Ort: s1(t) = s2(t).
- 5. Auflösen:Nach t auflösen und in die gefragte Einheit bringen, z. B. 0,2 h = 12 min.
- 6. Antworten:t in eine Gleichung einsetzen, mit der anderen prüfen, Antwortsatz mit Einheiten.
Im Unterricht: Wir vergleichen im Plenum eure Diagramme zum Leitbeispiel. Interessant wird es dort, wo Gruppen unterschiedliche Achsenmaßstäbe gewählt haben — daran sieht man sofort, wie stark die Ablesegenauigkeit vom Maßstab abhängt und warum Teil b) rechnerisch verlangt wird.
Hinweise
Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:
Einheiten vorher angleichen
Rechne entweder mit h und km/h oder mit s und m/s. Gemischt geht es schief: 60 km/h mal 12 min ergibt nicht 12 km.
Vorzeichen beachten
Wer auf den Nullpunkt zufährt, bekommt ein Minus: sNA(t) = −90 t + 30. Mit +90 fahren plötzlich beide in dieselbe Richtung.
Startort nicht vergessen
Nur wer bei s = 0 startet, darf s = v · t schreiben. Setze zur Probe t = 0 ein, dann muss der Startort herauskommen.