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Textaufgaben: Der freie Fall

Vier Sachaufgaben zu 1.5.1 mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — von der Tiefe eines Brunnens über das brennende Gebäude bis zum Luftwiderstand.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDer freie Fall — die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s², die Formeln s = ½ · g · t² und v = g · t sowie der Luftwiderstand zum Nachlesen.
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Vier Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Die Tiefe eines Brunnens

AFB II

Sie sind im Freien und möchten die Tiefe eines Brunnens bestimmen. Als einzige Hilfsmittel stehen Ihnen eine Stoppuhr und die in der Natur zu findenden Gegenstände zur Verfügung. Beschreiben Sie eine Möglichkeit, um die Tiefe des Brunnens mit den verfügbaren Gegenständen zu bestimmen.

M1Der Brunnen im Querschnitt — zwei Wege, eine gemessene Zeit
12Tiefe s1,3 s1Der Stein fällt nach unten — Fallzeit2Der Schall läuft nach oben — Laufzeit

Sie werfen einen Stein in den Brunnen und hören nach 1,3 Sekunden, dass der Stein unten angekommen ist.

  1. Beschreiben Sie eine Möglichkeit, die Tiefe des Brunnens zu bestimmen.
  2. Berechnen Sie die Tiefe des Brunnens.
  3. Erklären Sie, warum die Schallgeschwindigkeit (≈ vSchall = 343 m/s) zu einer Abweichung der Tiefe führt.
  4. Angenommen der Brunnen hat eine Tiefe von 10 m. Berechnen Sie den dadurch entstandenen Messfehler für die gemessene Zeit t an diesem Beispiel.
  5. Erklären Sie, an welcher Stelle der Messung der größte Messfehler entstehen könnte.
  6. Zeichnen Sie im Zeit-Strecken-Diagramm den Bewegungsverlauf des fallen gelassenen Steins am Beispiel eines 10 Meter tiefen Brunnens ein. Zeichnen Sie anschließend den Bewegungsverlauf des Schalls ein. (M2)
  7. Für eine genauere Messung der Höhe verlassen Sie sich beim zweiten Messversuch nicht mehr auf Ihr Gehör, sondern auf Ihre Augen. Wie groß ist nun der Messfehler? Hat das eine Auswirkung auf Ihre Reaktionszeit?
M2Wertetabelle und Koordinatensystem zu Aufgabe f)
Zeit t in Sekunden0,20,40,60,81,01,21,4
Strecke s in Meter
00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,512345678910Zeit t in sStrecke s in mHier den Bewegungsverlauf des Steins und danach den des Schalls eintragen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Sie brauchen einen Gegenstand, der schnell fällt, und ein Signal, das Ihnen den Aufschlag verrät. Überlegen Sie: Wann starten Sie die Stoppuhr, wann stoppen Sie sie?„Beschreiben“ heißt: den Versuchsablauf geordnet in eigenen Worten wiedergeben — Start der Messung, Ende der Messung, Auswertung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Stein wird nur losgelassen, also v0 = 0. Damit gilt s = ½ · g · t² mit g = 9,81 m/s² und t = 1,3 s.„Berechnen“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Schall entsteht erst unten — dort, wo der Stein aufschlägt. Bis das Geräusch Ihr Ohr erreicht, ist schon wieder Zeit vergangen. Was steckt also alles in den gemessenen 1,3 Sekunden?„Erklären“ verlangt die Ursache: Nennen Sie den zusätzlichen Weg des Schalls und die Folge für die berechnete Tiefe.
Hinweis zu Aufgabe d)
Der Schall bewegt sich gleichförmig. Aus v = s/t folgt t = s/v. Setzen Sie s = 10 m und v = 343 m/s ein.„Berechnen“ heißt hier: die Formel nach t umstellen, einsetzen, Ergebnis mit Einheit angeben.
Hinweis zu Aufgabe e)
Vergleichen Sie die Größenordnung aus d) mit einer anderen Zeitspanne, die bei jeder Handmessung dazukommt — Sie drücken die Stoppuhr ja selbst.„Erklären“ verlangt einen Vergleich mit Begründung: Welcher Fehler ist größer, und warum?
Hinweis zu Aufgabe f)
Füllen Sie zuerst die Wertetabelle mit s = ½ · 9,81 m/s² · t² aus und tragen Sie die sieben Punkte ein. Der Schall legt dieselben 10 m in nur 0,029 s zurück — im Maßstab der x-Achse ist das kaum eine Kästchenbreite.„Zeichnen“ heißt: maßstabsgerecht eintragen. Die Fallkurve ist eine Parabel, die Schallbewegung eine nahezu senkrechte Gerade.
Hinweis zu Aufgabe g)
Licht legt die 10 m mit rund 3 · 108 m/s zurück. Rechnen Sie t = s/v mit diesem Wert — und überlegen Sie danach getrennt, ob das Zusehen etwas an Ihrer Reaktionszeit ändert.Zwei Fragen, zwei Antworten: erst der neue Messfehler als Rechnung, dann ein Satz zur Reaktionszeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

„Ich nehme einen runden Stein und lasse ihn in den Brunnen fallen. Sobald ich den Stein loslasse, starte ich die Zeitmessung mit der Stoppuhr. Gestoppt wird die Zeit, wenn der Stein auf das Wasser bzw. den Boden auftrifft. Dies ist am Geräusch erkennbar. Aus der gemessenen Zeit lässt sich die Tiefe des Brunnens berechnen.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

s = ½ · g · t² = 8,29 m

Eingesetzt: s = ½ · 9,81 m/s² · (1,3 s)² = 8,29 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

„Die beim Auftreffen entstandenen Schallwellen müssen zunächst die gesamte Fallstrecke zurücklegen, bis sie von mir gehört werden können. Dies führt zu einer Abweichung der von mir gemessenen Zeit und dadurch der zu berechnenden Tiefe des Brunnens.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

v = s/t ⟺ t = s/v und damit folgt

t = 10 m ÷ 343 m/s = 0,029 s

Erwartungshorizont zu Aufgabe e)

„Der größte Messfehler entsteht nicht durch die Schallgeschwindigkeit, sondern durch meine Reaktionszeit! Die durchschnittliche Reaktionszeit eines Menschen liegt nämlich bei 0,18 Sekunden.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe f)
Zeit t in Sekunden0,20,40,60,81,01,21,4
Strecke s in Meter0,200,781,773,144,917,069,61
M2Zeit-Strecken-Diagramm — Lösung
00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,512345678910Zeit t in sStrecke s in mFallender SteinBewegungdes SchallsAufschlag nach rund 1,43 s — der Schall ist nach rund 1,46 s oben angekommen.

Der fallende Stein liefert eine Parabel durch die sieben Wertepaare; nach rund 1,43 s ist die Tiefe von 10 m erreicht. Der Schall läuft dieselben 10 m in nur 0,029 s zurück — seine Bewegung ist deshalb eine nahezu senkrechte Gerade von (1,43 | 10) zurück zur Zeitachse bei rund 1,46 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe g)

Der neue Messfehler beträgt: t = 10 m ÷ (3 · 108 m/s) = 3,33 · 10−8 s

„Durch das Beobachten des Steins beim Fallen kann besser abgeschätzt werden, wann der Stein auf dem Boden auftrifft. Diese Vorbereitung kann zu einer Verbesserung der Reaktionszeit führen.“

2

Das brennende Gebäude

AFB III

Lesen Sie die Aufgabenstellung genau und runden Sie immer auf zwei Nachkommastellen im Endergebnis. Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben erkennbar sein.

Um aus einem brennenden Hochhaus zu entkommen, sieht ein Hausbewohner keine andere Möglichkeit mehr, als aus 30 Metern Höhe zu springen. Zum Zeitpunkt des Sprungs befinden sich vier Feuerwehrmänner mit einem Sprungtuch 8 Meter vom Punkt des Auftreffens entfernt und laufen bereits mit einer Geschwindigkeit von 16,2 km/h, um ihn aufzufangen. Das Sprungtuch wird einen Meter über dem Boden gehalten.

M1Situationsskizze — Sprung aus 30 m und die heranlaufende Feuerwehr
Punkt des Auftreffens30 m16,2 km/h8 m1 mDas Sprungtuch wird 1 m über dem Boden gehalten.
  1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Feuerwehrmänner in m/s.
  2. Erklären Sie, um welche Bewegungsarten es sich jeweils in der Situation handelt.
  3. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Feuerwehrmänner den Punkt des Auftreffens erreichen.
  4. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Person auf dem Boden auftreffen würde.
  5. Berechnen Sie die Geschwindigkeit in km/h, mit der die Person auf dem Boden auftreffen würde.
  6. Beurteilen Sie, ob die Feuerwehrmänner rechtzeitig ankommen. Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.
  7. Berechnen Sie die Zeit, die der Bewohner zum Durchfallen der letzten 10 Meter benötigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
1 km/h = 1000 m ÷ 3600 s. Teilen Sie den Zahlenwert also durch 3,6.„Berechnen“ verlangt den Umrechnungsansatz und das Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Bewegungen laufen gleichzeitig ab: waagerecht die Feuerwehr, senkrecht der Hausbewohner. Fragen Sie sich jeweils: Bleibt die Geschwindigkeit konstant oder nimmt sie zu?„Erklären“ heißt: die Bewegungsart benennen und begründen, woran man sie erkennt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Feuerwehrmänner bewegen sich gleichförmig — hier gilt v = s/t, also t = s/v mit s = 8 m.„Berechnen“: Formel umstellen, einsetzen, Antwortsatz mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe d)
Freier Fall aus der Ruhe: s = ½ · g · t². Stellen Sie nach t um — es entsteht eine Wurzel.„Berechnen“: Der Umformungsschritt zu t = √(2s/g) gehört zum erkennbaren Lösungsweg dazu.
Hinweis zu Aufgabe e)
Für den freien Fall aus der Ruhe gilt v = g · t. Nutzen Sie das t aus d) und rechnen Sie das Ergebnis am Ende in km/h um (· 3,6).„Berechnen“: Die geforderte Einheit ist km/h — die Umrechnung ist Teil der Aufgabe.
Hinweis zu Aufgabe f)
Achtung: Der Bewohner fällt nicht bis zum Boden, sondern nur bis zum Tuch. Wie hoch wird das Tuch gehalten — und welche Fallstrecke bleibt dann übrig?„Beurteilen“ verlangt ein Urteil, „Begründen“ verlangt die Rechnung dazu: Vergleichen Sie die beiden Zeiten aus c) und f).
Hinweis zu Aufgabe g)
Die letzten 10 Meter sind die Differenz zweier Fallzeiten: die Zeit für 30 m minus die Zeit für die ersten 20 m. Beide einzeln mit t = √(2s/g) berechnen.„Berechnen“: Beide Teilzeiten müssen im Lösungsweg erkennbar sein — die Differenz allein genügt nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

4,5 m/s

Rechnung: 16,2 km/h ÷ 3,6 = 4,5 m/s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

„Bei den Feuerwehrmännern handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung, da sie mit konstanter Geschwindigkeit laufen. Beim Hausbewohner kann man näherungsweise vom freien Fall sprechen, das heißt es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

t = s/v = 8 m ÷ 4,5 m/s = 1,78 s

„Die Feuerwehrmänner erreichen den Punkt des Auftreffens nach 1,78 Sekunden.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Aus s = ½ · g · t² folgt t = √(2 · s ÷ g) und somit:

t = √(2 · 30 m ÷ 9,81 m/s²) = 2,47 s

„Die Person trifft nach 2,47 Sekunden auf dem Boden auf.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe e)

v = g · t = 9,81 m/s² · 2,47 s = 24,23 m/s

„Der Hausbewohner würde mit ungefähr 87,2 km/h auf dem Boden auftreffen.“

Erwartungshorizont zu Aufgabe f)

„Das Tuch befindet sich 1 m über dem Boden. Man muss also mit einer Fallstrecke von 29 Metern rechnen.“

t = √(2 · 29 m ÷ 9,81 m/s²) = 2,43 s

„Die Feuerwehrmänner kommen rechtzeitig an, da sie nur 1,78 Sekunden bis zum Punkt des Auftreffens benötigen.“

M2Die drei Zeitpunkte auf einer gemeinsamen Zeitachse
00,51,01,52,02,5Zeit t in s0,65 s Reserve1,78 sFeuerwehr am Punkt des Auftreffens2,43 sBewohner erreicht das Tuch (29 m)2,02 sBewohner hat 20 m durchfallen
Erwartungshorizont zu Aufgabe g)

Durchfallen der ersten 20 Meter:

t = √(2 · 20 m ÷ 9,81 m/s²) = 2,02 s

Durchfallen von 30 Metern:

t = √(2 · 30 m ÷ 9,81 m/s²) = 2,47 s

Zeit zum Durchfallen der letzten 10 Meter:

t = 2,47 s − 2,02 s = 0,45 s

3

Feder, Stein und Luftwiderstand

AFB II

Sie lassen eine Feder und einen Stein gleichzeitig fallen. Dabei ist scheinbar offensichtlich, dass der Stein schneller auf dem Boden ankommt als die Feder. Aber aus welchem Grund? Von welchen Faktoren hängt es ab, welcher Gegenstand schneller am Boden ankommt?

M1Zwei Bilder — bei welchem kann man von einem freien Fall sprechen?
1Sprung ins Wasser2Sprung mit geöffnetem Fallschirm
M2cw-Werte aus der Übersicht „Mercedes-Benz: Aerodynamik-Weltmeister in allen Klassen“
Fahrzeugmodellcw-Wert
A-Klasse0,27 / 0,26
SL-Klasse0,27
E-Klasse0,25
CLA-Klasse0,23 / 0,22
B-Klasse0,26 / 0,24
M-Klasse0,34 / 0,32
  1. Nennen Sie, von welchen Faktoren der Luftwiderstand abhängt.
  2. Bei welchem der beiden Bilder in M1 kann man von einem freien Fall sprechen? Stellen Sie eine Vermutung auf und begründen Sie Ihre Vermutung kurz.
  3. Die Stärke der Luftwiderstandskraft ist durch die folgende Formel gegeben: FL = ½ · cw · A · ρ · v². Beschreiben Sie die Bedeutung der einzelnen Parameter in der Formel.
  4. Erläutern Sie mithilfe der cw-Werte in M2, welche Fahrzeugform den geringsten Luftwiderstand erzeugt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Denken Sie an die Feder und den Stein: Beide sind unterschiedlich geformt. Woran „reibt“ sich die Luft?„Nennen“ heißt: knapp aufzählen — ohne Erläuterung und ohne Beispiel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Freier Fall bedeutet: Fallbewegung ohne Luftwiderstand — oder mit einem so kleinen Luftwiderstand, dass man ihn vernachlässigen kann. Wofür ist ein Fallschirm gebaut?„Begründen“ verlangt zu jedem Bild einen Grund, nicht nur die Zuordnung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Fünf Größen stehen in der Formel: FL, cw, A, ρ und v. Geben Sie zu jeder den Namen und — wo vorhanden — die Einheit an.„Beschreiben“ heißt hier: alle fünf Parameter geordnet und vollständig wiedergeben.
Hinweis zu Aufgabe d)
Suchen Sie in M2 den kleinsten und den größten Wert. Vergleichen Sie dann, wie die zugehörigen Fahrzeuge geformt sind — flach und langgestreckt oder hoch und kastig?„Erläutern“ verlangt mehr als die Zahl: Der Zusammenhang zwischen Form und cw-Wert muss am Beispiel sichtbar werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Oberfläche bzw. Form des Objekts.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

① Freier Fall, weil der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann.

② Kein freier Fall, weil der Fallschirm einen sehr großen Luftwiderstand erzeugt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
ParameterBedeutung
FLLuftwiderstandskraft in N
cwLuftwiderstandsbeiwert, ohne Einheit
AQuerschnittsfläche
ρDichte des Mediums
vGeschwindigkeit in m/s
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Den niedrigsten cw-Wert hat die CLA-Klasse mit 0,23 bzw. 0,22, den höchsten die M-Klasse mit 0,34 bzw. 0,32. Dazwischen liegen A-Klasse (0,27 / 0,26), SL-Klasse (0,27), B-Klasse (0,26 / 0,24) und E-Klasse (0,25).

Daraus folgt: Flache, langgestreckte Formen erzeugen weniger Luftwiderstand als hohe, kastige. Da cw in der Formel FL = ½ · cw · A · ρ · v² als Faktor steht, ist die Luftwiderstandskraft bei der CLA-Klasse bei gleicher Querschnittsfläche und gleicher Geschwindigkeit am kleinsten.

4

Der Freifallturm

AFB II

Im Freizeitpark wird eine Gondel auf 40 m Höhe gezogen und dann ausgeklinkt. Sie fällt 40 m frei und wird danach auf einer Strecke von 20 m gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. Luftwiderstand und Reibung werden vernachlässigt (\(g=9{,}81\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\)).

  1. Berechnen Sie die Dauer des freien Falls.
  2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit am Ende des freien Falls in m/s und km/h.
  3. Bestimmen Sie die Bremsbeschleunigung und geben Sie sie als Vielfaches von g an.
  4. Beurteilen Sie die Aussage: „Nach der Hälfte der Fallzeit hat die Gondel die Hälfte der Fallstrecke hinter sich.“
Hinweis zu Aufgabe a)
\(s=\tfrac12 g t^2\) nach \(t\) umstellen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(v=g\cdot t\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Bei gleichmäßigem Abbremsen gilt \(v^2=2\,a\,s\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie die Strecke nach 1,43 s.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(t=\sqrt{\dfrac{2s}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot40\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}}\approx2{,}86\,\mathrm s\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot2{,}86\,\mathrm s\approx28{,}0\,\mathrm{\tfrac ms}\approx101\,\mathrm{\tfrac{km}h}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(a=\dfrac{v^2}{2s}=\dfrac{(28{,}0\,\mathrm{m/s})^2}{2\cdot20\,\mathrm m}\approx19{,}6\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\approx2\,g\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Falsch. Nach der halben Zeit ist erst ein Viertel der Strecke zurückgelegt (\(s\sim t^2\)): \(\tfrac12\cdot9{,}81\cdot1{,}43^2\,\mathrm m\approx10\,\mathrm m\). Die Hälfte der Strecke ist erst nach \(\tfrac{2{,}86}{\sqrt2}\,\mathrm s\approx2{,}0\,\mathrm s\) erreicht.