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Textaufgaben: Beschleunigung

Fünf Sachaufgaben zu 1.3.1 mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — vom beschleunigenden Auto bis zur Frage, warum v = s/t hier immer die halbe Wahrheit liefert.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungBeschleunigung — die Formeln v = a · t und s = ½ a t², die Strategietabelle und der Merksatz zum Nachlesen.
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Fünf Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Das Auto beschleunigt

AFB I

Ein Auto beschleunigt aus dem Stillstand gleichmäßig mit einer Beschleunigung von 4 m/s². In Teilaufgabe c) wird dieselbe Situation umgekehrt betrachtet: Ein Körper beschleunigt gleichmäßig und legt aus dem Stillstand in einer Zeit von 6 s eine Strecke von 72 m zurück.

M1Stroboskop-Bahn: gleiche Zeitschritte, wachsende Abstände
2 m6 m10 m14 m18 mt = 0 ss = 0 mv = 0 m/st = 1 ss = 2 mv = 4 m/st = 2 ss = 8 mv = 8 m/st = 3 ss = 18 mv = 12 m/st = 4 ss = 32 mv = 16 m/st = 5 ss = 50 mv = 20 m/sGleiche Zeitschritte von 1 s — die Abstände wachsen um 2, 6, 10, 14 und 18 m.s = ½ a t² wächst quadratisch, v = a · t gleichmäßig.
  1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Autos nach 5 Sekunden.
  2. Berechnen Sie die Strecke, die das Auto in dieser Zeit zurückgelegt hat.
  3. Berechnen Sie die Beschleunigung des Körpers, der aus dem Stillstand in 6 s eine Strecke von 72 m zurücklegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gegeben sind a und t, gesucht ist v. In der Tabelle des Lehrers steht dazu genau eine Zeile: a, t → v — Formel v = a · t anwenden.„Berechnen“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit — also v = a · t hinschreiben, Zahlen einsetzen, m/s dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Jetzt sind a und t gegeben, gesucht ist s. Nutze s = ½ · a · t² und denke daran, dass die 5 s im Quadrat stehen — (5 s)² = 25 s².Die Versuchung, mit dem Ergebnis aus a) und v = s/t weiterzurechnen, führt in die Irre — der Merksatz des Lehrers lautet: „Nie mit v = s/t rechnen!“
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier sind t und s gegeben, gesucht ist a. Stelle s = ½ a t² nach a um: erst mit 2 multiplizieren, dann durch t² teilen.„Berechnen“ heisst auch: die Einheit mitführen. m geteilt durch s² ergibt m/s² — das bestätigt, dass wirklich eine Beschleunigung herauskommt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

v = a · t = 4 m/s² · 5 s = 20 m/s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

s = ½ · a · t² = ½ · 4 m/s² · (5 s)² = 50 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

s = ½ a t² ⇒ a = 2s/t² = 2 · 72 m / (6 s)² = 144 m / 36 s² = 4 m/s².

2

Zeit und Strecke aus der Beschleunigung

AFB II

Zwei Körper werden gleichmäßig beschleunigt, aber jeweils ist eine andere Größe gesucht. Erster Körper: „Ein Körper beschleunigt gleichmäßig mit 5,00 m/s².“ Zweiter Körper: „Ein Körper beschleunigt mit 3 m/s².“ Die Tabelle M1 zeigt die drei Zeilen aus der Lösungsstrategie des Lehrers, die hier gebraucht werden.

M1Lösungsstrategie des Lehrers — die drei hier gebrauchten Zeilen
gegebengesuchtLösungsansatz
a, stFormel s = ½ a t² umstellen: t = √(2s/a)
v, asv = a · t → umstellen und t berechnen. Dann s = ½ a t² anwenden.
a, tvFormel v = a · t anwenden
  1. Berechnen Sie die Zeit, die der Körper zum Zurücklegen einer Strecke von 160 m benötigt (a = 5,00 m/s²).
  2. Berechnen Sie, nach welcher Strecke der zweite Körper (a = 3 m/s²) eine Geschwindigkeit von 20 m/s erreicht.
  3. Erläutern Sie, warum man in Teilaufgabe b) nicht direkt mit s = ½ a t² rechnen kann, und geben Sie den Umweg an, den der Lehrer wählt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zeile 1 der Tabelle M1: gegeben a und s, gesucht t. Stelle s = ½ a t² nach t um — zuerst t² freistellen, dann die Wurzel ziehen.Unter der Wurzel steht m geteilt durch m/s², also s². Die Wurzel daraus ist s — die Einheit bestätigt den Ansatz.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zeile 2 der Tabelle M1: gegeben v und a, gesucht s. Die Zeit fehlt — hole sie dir aus v = a · t und setze sie ein.Setzt man t = v/a konsequent ein, kürzt sich ein a heraus, und es bleibt die Kurzformel s = ½ v²/a.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche, welche Größen in a) und in b) gegeben sind. In s = ½ a t² kommen nur a, t und s vor — v steht gar nicht darin.„Erläutern“ verlangt mehr als „die Zeit fehlt“: Nenne zusätzlich den Umweg über v = a · t und schreibe die Kurzformel auf, die dabei entsteht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

s = ½ · a · t² ⇒ t = √(2s/a) = √(2 · 160 m / 5 m/s²) = 8 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegeben a = 3 m/s², v = 20 m/s; gesucht s. Einsetzen von t = v/a ergibt s = ½ · a · t² = ½ · a · (v/a)² = ½ · v²/a = ½ · (20 m/s)² / (3 m/s²) ≈ 66,67 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In b) ist die Zeit nicht gegeben. Man berechnet sie zuerst aus v = a · t, setzt t = v/a in s = ½ a t² ein und erhält die Kurzformel s = ½ v²/a.

3

Radfahrerin, Flugzeug und Longboard

AFB I/II

Der Lehrer stellt drei kurze Rechenaufgaben aus dem Alltag: „Berechne die Lösung zu den folgenden Aufgaben.“ Jedes Mal ist eine andere der drei Größen a, v und t gesucht — M1 zeigt die drei Beschleunigungen im maßstabsgetreuen Vergleich.

M1Die drei Beschleunigungen im maßstabsgetreuen Vergleich
012345a in m/s²1,2 m/s²Radfahrerin5,0 m/s²Flugzeug2,5 m/s²LongboardMaßstabsgetreu: Das Flugzeug beschleunigt gut viermal so stark wie die Radfahrerin.
  1. „Eine Radfahrerin startet gleichmäßig beschleunigt aus dem Stand. Nach 5 s hat sie eine Geschwindigkeit von 6 m/s erreicht.“ Berechnen Sie ihre Beschleunigung.
  2. „Ein Flugzeug wird beim Start mit 5 m/s² beschleunigt.“ Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) das Flugzeug von der Startbahn abhebt, wenn es 20 s lang gleichmäßig beschleunigt.
  3. „Beim Longboardskaten erreicht man auch ohne professionelle Ausrüstung sehr schnell eine Geschwindigkeit von 60 km/h.“ Berechnen Sie, wie lange eine Beschleunigung auf diese Geschwindigkeit dauerte, wenn man von einer durchschnittlichen Beschleunigung von 2,5 m/s² ausgeht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gegeben v und t, gesucht a. Stelle v = a · t nach a um — das ist die Tabellenzeile v, t → a.Aus dem Stand heißt: Anfangsgeschwindigkeit null. Nur deshalb darf man einfach a = v/t rechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst v = a · t in m/s ausrechnen, dann in km/h umrechnen: mal 3,6.Der Faktor 3,6 kommt aus 3600 s pro Stunde geteilt durch 1000 m pro Kilometer — von m/s nach km/h wird multipliziert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zuerst die Einheit angleichen: 60 km/h in m/s umrechnen (durch 3,6). Erst dann t = v/a bilden.Wer die 60 direkt durch 2,5 teilt, mischt km/h mit m/s² und erhält 24 statt 6,67 — ein klassischer Einheitenfehler.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

a = v/t = 6 m/s ÷ 5 s = 1,2 m/s².

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

v = a · t = 5 m/s² · 20 s = 100 m/s = 360 km/h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

v = 60 km/h = 16,67 m/s, damit t = v/a = 16,67 m/s ÷ 2,5 m/s² = 6,67 s.

4

Zwei PKW, dieselbe Strecke

AFB III

„Zwei PKW fahren mit konstanten Beschleunigungen an und legen dabei den gleichen Weg zurück. Vergleichen Sie die Beschleunigungszeiten der beiden PKW, wenn der erste PKW eine 4-mal so große Beschleunigung wie der zweite PKW hatte. Begründen Sie Ihre Aussage mit Hilfe eines Gesetzes (Gleichung).“

M1Zwei Weg-Zeit-Parabeln mit a₁ = 4 · a₂
Zeit tStrecke sst₁2·t₁PKW 1: s = ½ · a₁ · t² mit a₁ = 4 · a₂PKW 2: s = ½ · a₂ · t²Gleiche Strecke s: PKW 1 ist nach t₁ dort, PKW 2 erst nach 2·t₁ — vierfache Beschleunigung, halbe Zeit.
  1. Stellen Sie die Gleichung s = ½ a t² für beide Fahrzeuge auf.
  2. Begründen Sie mit dieser Gleichung, in welchem Verhältnis die Beschleunigungszeiten stehen.
  3. Erläutern Sie, was das Ergebnis anschaulich bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gib jedem Fahrzeug einen Index: s = ½ a₁ t₁² und s = ½ a₂ t₂². Das s trägt keinen Index — beide legen denselben Weg zurück.Genau das ist der Trick der Aufgabe: Die gemeinsame Größe s verbindet die beiden Gleichungen miteinander.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze a₁ = 4 · a₂ ein und ziehe die 4 in die Klammer: 4 t₁² = (2 t₁)².„Begründen“ heißt hier: nicht raten, sondern die Umformung zeigen — aus ½ a₂ (2t₁)² = ½ a₂ t₂² folgt t₂ = 2 t₁.
Hinweis zu Aufgabe c)
Schau in M1: Die rote Parabel ist bei t₁ auf Höhe s, die blaue erst bei 2 · t₁. Frage dich, wieso aus dem Faktor 4 nur der Faktor 2 wird.„Erläutern“ verlangt die Deutung: Die Zeit steht im Quadrat, deshalb wirkt sich eine Vervierfachung von a nur mit der Wurzel aus 4, also mit dem Faktor 2, auf die Zeit aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für beide Fahrzeuge gilt dasselbe Weg-Zeit-Gesetz, nur mit eigenen Werten: s = ½ a₁ t₁² für den ersten PKW und s = ½ a₂ t₂² für den zweiten. Die Strecke s ist in beiden Gleichungen dieselbe, denn beide legen laut Aufgabe den gleichen Weg zurück. Dazu kommt die Angabe aus dem Text: a₁ = 4 · a₂.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt a₁ = 4 · a₂. Dann gilt s = ½ a₁ t₁² = ½ · 4 · a₂ · t₁² = ½ a₂ (2 t₁)². Das heißt, der erste PKW benötigt nur die Hälfte der Zeit, obwohl er eine 4-mal so große Beschleunigung hat. Es gilt also t₂ = 2 · t₁ bzw. t₁ : t₂ = 1 : 2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Weil die Zeit im Quadrat steht, halbiert eine Vervierfachung der Beschleunigung die Zeit — die vierfache Beschleunigung bringt nicht die vierfache, sondern nur die doppelte Zeitersparnis. Anschaulich: Wer viermal so kräftig anfährt, ist für dieselbe Strecke nicht viermal so schnell fertig, sondern nur doppelt so schnell. Allgemein wirkt sich ein Faktor k bei der Beschleunigung nur mit √k auf die Zeit aus.

5

Warum nicht v = s/t?

AFB III

Im Heft des Lehrers steht ein rot umrandeter Merksatz: „Nie mit v = s/t rechnen!“ Ein Mitschüler rechnet Aufgabe 1 trotzdem so: „Das Auto legt in 5 Sekunden 50 Meter zurück, also ist v = s/t = 50 m ÷ 5 s = 10 m/s.“

M1v-t-Diagramm: Dreiecksfläche und flächengleiches Rechteck
012345605101520Zeit t in sv in m/sv = a · t = 4·tv̄ = ½ · a · t = 10 m/sDreieck: 50 mRechteck: 50 mDreieck (½ · 5 s · 20 m/s) und Rechteck (5 s · 10 m/s) sind flächengleich — beide ergeben 50 m.
  1. Überprüfen Sie die Rechnung des Mitschülers.
  2. Erklären Sie, welche Größe er tatsächlich berechnet hat.
  3. Begründen Sie mit den beiden Bewegungsgesetzen, warum das Ergebnis genau halb so groß ist wie die richtige Endgeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne die Aufgabe selbst mit v = a · t nach und vergleiche die beiden Ergebnisse. Achte darauf, ob die Zahlen 50 m und 5 s überhaupt falsch sind.„Überprüfen“ heißt: die Aussage an einem sicheren Ergebnis messen und klar sagen, was stimmt und was nicht — hier sind die Zahlen richtig, nur die Bedeutung des Ergebnisses ist falsch.
Hinweis zu Aufgabe b)
Das Auto ist bei t = 0 in Ruhe und bei t = 5 s bei 20 m/s. Frage: Welche Geschwindigkeit liegt genau zwischen diesen beiden Werten?„Erklären“ verlangt den Fachbegriff und den Grund: s/t liefert immer den Mittelwert über den ganzen Zeitraum, nie den Wert an einem einzelnen Zeitpunkt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutze M1: Die Dreiecksfläche unter v = 4·t ist die Strecke. Welches Rechteck hat genau dieselbe Fläche?„Begründen“ verlangt beide Gesetze: v = a · t liefert den linearen Anstieg, s = ½ a t² den Weg — und aus s = v̄ · t folgt dann zwingend v̄ = ½ a t.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Zahlen selbst stimmen: In 5 s legt das Auto tatsächlich 50 m zurück, und 50 m ÷ 5 s ergibt rechnerisch 10 m/s. Das Ergebnis 10 m/s ist aber nicht die Geschwindigkeit nach 5 s — richtig ist v = a · t = 4 m/s² · 5 s = 20 m/s. Der Mitschüler hat also richtig gerechnet, aber die falsche Formel gewählt und das Ergebnis falsch gedeutet.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Er hat die Durchschnittsgeschwindigkeit über die 5 Sekunden berechnet. Die Gleichung v = s/t gilt nur für die gleichförmige Bewegung; bei einer beschleunigten Bewegung liefert sie den Mittelwert über den gesamten Zeitraum und nicht die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei Start aus dem Stillstand wächst v linear von 0 auf a · t; der Mittelwert einer linearen Größe ist genau der halbe Endwert, also v̄ = ½ · a · t. Setzt man das in s = v̄ · t ein, erhält man wieder s = ½ a t². Deshalb liefert v = s/t bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung immer genau die halbe Endgeschwindigkeit — und genau deshalb gilt der Merksatz „Nie mit v = s/t rechnen“. In M1 sieht man dasselbe als Flächenvergleich: Das Dreieck unter v = 4·t (½ · 5 s · 20 m/s = 50 m) ist genauso groß wie das Rechteck mit der Höhe 10 m/s (5 s · 10 m/s = 50 m).