Beschleunigung: Formeln
Zwei Formeln, eine Tabelle, ein Merksatz: Wer weiß, was gegeben und was gesucht ist, findet zu jeder Aufgabe den Lösungsansatz.
Die zwei Formeln
Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Betrag zunimmt.
- Zwei Formeln:Mehr brauchst du für dieses Kapitel nicht.
- Vier Größen:In beiden Formeln kommen dieselben Buchstaben vor: s, v, a und t.
- Erster Schritt:Kläre, was jeder Buchstabe bedeutet und in welcher Einheit er gemessen wird.
| Formelzeichen | Bedeutung | Einheit | Woran du sie erkennst |
|---|---|---|---|
| s | Strecke — der zurückgelegte Weg | m (Meter) | „Wie weit?“, „Nach welcher Strecke?“, „Bremsweg“ |
| v | Geschwindigkeit | m/s (Meter pro Sekunde) | „Wie schnell?“, „Welche Geschwindigkeit?“ |
| a | Beschleunigung | m/s² (Meter pro Sekunde zum Quadrat) | „beschleunigt mit …“, „Bremsverzögerung“ |
| t | Zeit | s (Sekunden) | „nach … Sekunden“, „in einer Zeit von …“ |
Die Zeit t steckt in beiden Formeln — sie ist die Größe, die die beiden Gleichungen miteinander verbindet. Genau deshalb funktionieren später die zweistufigen Lösungswege.
Die erste Formel: Wie schnell ist der Körper geworden?
Die Beschleunigung a sagt, um wie viel m/s die Geschwindigkeit in jeder Sekunde zunimmt.
- Beispiel:Bei a = 4 m/s² ist der Körper nach einer Sekunde 4 m/s schnell.
- Weiter so:Nach zwei Sekunden sind es 8 m/s, nach drei Sekunden 12 m/s.
- Gleicher Betrag:In jeder Sekunde kommt genau derselbe Wert dazu.
- Daher mal:Immer denselben Betrag addieren ist nichts anderes als Multiplizieren.
Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).
Beschleunigung in m/s².
Zeit in Sekunden (s).
Auch die Einheiten passen zusammen: m/s² · s = m/s. Das ist ein guter Selbsttest — wenn am Ende einer Rechnung nicht die erwartete Einheit steht, hast du eine Größe falsch eingesetzt.
Die zweite Formel: Wie weit ist er gekommen?
Für die Strecke reicht die erste Formel nicht aus.
- Grund:Der Körper ist nicht die ganze Zeit über gleich schnell.
- Start und Ende:Er beginnt mit 0 m/s und endet mit v = a · t.
- Folge:Die Strecke ist kleiner als v · t, nämlich genau halb so groß.
Strecke in Metern (m).
Beschleunigung in m/s².
Zeit in Sekunden (s); Einheitenprobe: m/s² · s² = m ✓.
Woher kommt der Faktor ½ — und warum steht das Quadrat da?
Beide Fragen beantwortet dasselbe Bild — das v-t-Diagramm.
- Graph:Trägt man v über t auf, ergibt v = a · t eine Ursprungsgerade.
- Regel:Die Fläche unter dem Graphen ist die zurückgelegte Strecke.
- Gleichförmig:Dort ist diese Fläche ein Rechteck, also s = v · t.
- Beschleunigt:Hier ist die Fläche ein Dreieck.
Die Gerade v = a · t schließt mit der Zeitachse ein rechtwinkliges Dreieck ein. Seine Grundseite ist die Zeit t, seine Höhe die erreichte Geschwindigkeit v = a · t. Aus der Dreiecksformel ½ · Grundseite · Höhe wird damit unmittelbar s = ½ · a · t².
Damit sind beide Auffälligkeiten der Streckenformel geklärt.
- Das ½:Es stammt aus der Dreiecksfläche.
- Begründung:Der Körper war im Mittel nur halb so schnell wie am Ende.
- Das Quadrat:Die Zeit steckt zweimal in der Fläche — als Grundseite und in der Höhe a · t.
- Folge:Doppelte Zeit bedeutet vierfache Strecke, nicht doppelte.
| t | v = a · t | s = ½ · a · t² | Strecke in dieser Sekunde |
|---|---|---|---|
| 1 s | 4 m/s | 2 m | 2 m |
| 2 s | 8 m/s | 8 m | 6 m |
| 3 s | 12 m/s | 18 m | 10 m |
| 4 s | 16 m/s | 32 m | 14 m |
| 5 s | 20 m/s | 50 m | 18 m |
v wächst in gleichen Schritten (immer +4 m/s), s dagegen immer schneller. Die Strecken der einzelnen Sekunden verhalten sich wie 2 : 6 : 10 : 14 : 18, also wie 1 : 3 : 5 : 7 : 9 — genau das sieht man auch an den Stroboskop-Punkten im Applet.
- Voraussetzung:Beide Formeln gelten für den Start aus dem Stillstand: v = 0 m/s bei s = 0 m.
Der Beschleunigungs-Baukasten
Aus Beschleunigung a und Zeit t setzt der Baukasten beide Werte sofort in die zwei Formeln ein. Links ist die Bahn mit Stroboskop-Punkten zu sehen: Sie markieren den Ort des Wagens in gleichen Zeitabständen. Rechts entstehen zeitgleich das v-t- und das s-t-Diagramm. Die Fläche unter dem v-t-Graphen lässt sich einblenden — sie ist genau so groß wie die Strecke s.
Bei doppelter Zeit wird v doppelt so groß, s aber viermal so groß.
Achte darauf: Der v-t-Graph bleibt immer eine Gerade — nur ihre Steigung ändert sich mit a. Der s-t-Graph ist dagegen immer eine Parabel. Und der Wert im Feld „Fläche unter v-t“ stimmt in jeder Einstellung mit der Strecke s überein. Das ist kein Zufall, sondern genau die Begründung für den Faktor ½.
Der wichtigste Merksatz
Aus dem letzten Kapitel kennst du die Formel v = s / t.
- Gültig:Sie stimmt, aber nur für die gleichförmige Bewegung.
- Gefahr:Sobald ein Körper beschleunigt, wird sie zur häufigsten Fehlerquelle.
- Deshalb:Der folgende Satz steht in deinem Hefter rot umrandet.
v = s/t liefert hier nur die Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Momentangeschwindigkeit berechnest du ausschließlich mit v = a · t.
Warum das so ist — ein Zahlenbeispiel
Ein Auto beschleunigt aus dem Stillstand gleichmäßig mit a = 4 m/s².
- Geschwindigkeit:Nach t = 5 s gilt v = a · t = 20 m/s.
- Strecke:s = ½ · 4 m/s² · (5 s)² = 50 m.
- Geprüft:Beide Zahlen sind sicher richtig.
- Jetzt:Dieselbe Situation einmal auf dem verbotenen Weg.
| Rechnung | Ergebnis | Was der Wert bedeutet |
|---|---|---|
| v = s / t = 50 m ÷ 5 s | 10 m/s | Durchschnittsgeschwindigkeit über die ganzen 5 Sekunden. Diesen Wert hatte das Auto genau einmal — nämlich nach 2,5 s. |
| v = a · t = 4 m/s² · 5 s | 20 m/s | Momentangeschwindigkeit nach 5 Sekunden. Das ist der Wert, den die Aufgabe verlangt und den der Tacho anzeigt. |
10 m/s statt 20 m/s — das Ergebnis wäre genau halb so groß. Wer diesen Fehler macht, merkt ihn oft nicht, weil das Ergebnis plausibel aussieht.
Der Faktor 2 ist kein Zufall.
- Start bei null:Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig von 0 m/s auf ihren Endwert.
- Mittelwert:Die Durchschnittsgeschwindigkeit liegt genau in der Mitte.
- Folge:Sie beträgt immer die Hälfte der Endgeschwindigkeit.
Mit s = ½ · a · t² folgt s / t = ½ · a · t = ½ · v. Wer v = s/t benutzt, erhält also systematisch die halbe gesuchte Geschwindigkeit.
Dieselbe Überlegung steckt im Diagramm aus Phase 1.
- Dreieck:Die Fläche unter der Geraden ist genau halb so groß wie das Rechteck.
- Rechteck:Es hat dieselbe Grundseite t und dieselbe Höhe v.
- Bedeutung:Es stünde für eine Bewegung, die durchgehend mit v unterwegs war.
- Achtung:Genau das unterstellt man, wenn man v = s/t einsetzt.
- Signalwörter:„beschleunigt“, „aus dem Stillstand“, „bremst“ oder eine Angabe in m/s² — dann ist v = s/t gesperrt.
- Erlaubt:v = s/t gilt nur bei a = 0; dort sind Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit gleich.
Die Strategie-Tabelle
Vier Größen und zwei Formeln ergeben genau zwölf Aufgabentypen.
- Muster:In jeder Aufgabe sind zwei Größen gegeben und eine gesucht.
- Tabelle:Sie nennt zu jeder dieser Kombinationen den Lösungsansatz.
- Gliederung:Drei Blöcke, farbig voneinander getrennt.
- Farbe:Sie verrät sofort, wie viele Rechenschritte vor dir liegen.
| gegeben | gesucht | Lösungsansatz |
|---|---|---|
| Block 1 — es genügt die Formel v = a · t | ||
| a, t | v | Formel v = a · t anwendenDirekt einsetzen — ein einziger Rechenschritt. |
| a, v | t | Formel v = a · t umstellent = v / a |
| v, t | a | Formel v = a · t umstellena = v / t |
| Block 2 — es genügt die Formel s = ½ · a · t² | ||
| a, t | s | Formel s = ½ a t² anwendenDirekt einsetzen — auf das Quadrat der Zeit achten. |
| t, s | a | Formel s = ½ a t² umstellena = 2s / t² |
| s, a | t | Formel s = ½ a t² umstellent = √(2s / a) |
| Block 3 — beide Formeln nacheinander | ||
| v, a | s | v = a · t umstellen und t berechnen. Dann s = ½ a t² anwenden.Zwischengröße: die Zeit t = v / a |
| v, s | a | v = a · t → t = v/a. Einsetzen in s = ½ a t² = ½ · a · (v/a)² = ½ · v²/a. Dann s = ½ · v²/a umstellen nach a.a = v² / (2s) |
| a, s | v | s = ½ a t² → t ausrechnen. Dann v = a · t.Zwischengröße: die Zeit t = √(2s/a) |
| v, t | s | v = a · t → a berechnen. Dann s = ½ a t².Zwischengröße: die Beschleunigung a = v / t |
| v, s | t | v = a · t → a = v/t. Dann s = ½ a t² = ½ · (v/t) · t² = ½ · v · t. Dann s = ½ · v · t umstellen nach t.t = 2s / v |
| t, s | v | s = ½ a t² umstellen nach a. Dann einsetzen in v = a · t.a = 2s/t², daraus v = a · t = 2s / t |
Die Tabelle ist vollständig: Aus vier Größen lassen sich sechs Paare bilden, und zu jedem Paar bleiben zwei mögliche gesuchte Größen — sechs mal zwei ergibt die zwölf Zeilen.
Die entscheidende Beobachtung steckt in Block 3.
- Problem:Dort reicht keine der beiden Formeln allein aus.
- Lösung:Berechne erst eine Zwischengröße, meist die Zeit t oder die Beschleunigung a.
- Danach:Setze diese Zwischengröße in die zweite Formel ein.
- Vorgehen:Erst Gegebenes (mit Einheit) und Gesuchtes notieren, dann die Zeile suchen — „a, t“ meint dasselbe wie „t, a“.
- Bei Blockade:Frage dich: Welche vierte Größe fehlt mir, und aus welcher Formel bekomme ich sie?
Der Strategie-Finder
Nach Auswahl von zwei gegebenen Größen und einer gesuchten zeigt der Strategie-Finder genau den Lösungsansatz aus der Tabelle oben, aufgeteilt in nummerierte Schritte. Alle zwölf Kombinationen sind hinterlegt: Erst der Ansatz, dann die Zahlen.
Noch keine zwei gegebenen Größen und keine gesuchte Größe ausgewählt. Hier erscheint dann der Lösungsansatz aus der Tabelle deines Hefters.
Achte darauf: Bei den Kombinationen aus Block 3 steht in Schritt 1 nie die gesuchte Größe, sondern immer eine Zwischengröße. Wer das übersieht, sucht vergeblich nach einer „Formel für alles“ — die gibt es nicht.
Die Formeln umstellen
Die Strategie-Tabelle verlangt an vielen Stellen „umstellen“.
- Übersicht:Hier stehen alle Umformungen sauber nebeneinander.
- Vorteil:Du musst sie nicht jedes Mal neu herleiten.
- Grundregel:Was auf der einen Seite der Gleichung geschieht, geschieht auch auf der anderen.
Aus v = a · t
v = a · t | beide Seiten ÷ a → v/a = t. Einheitenprobe: (m/s) ÷ (m/s²) = s ✓
v = a · t | beide Seiten ÷ t → v/t = a. Einheitenprobe: (m/s) ÷ s = m/s² ✓
Aus s = ½ · a · t²
s = ½ · a · t² | · 2 → 2s = a · t² | ÷ t² → 2s/t² = a. Einheitenprobe: m ÷ s² = m/s² ✓
s = ½ · a · t² | · 2 → 2s = a · t² | ÷ a → t² = 2s/a | Wurzel ziehen. Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Wenn beide Formeln zusammenkommen
Die beiden folgenden Formeln sind keine Grundformeln aus dem Hefter.
- Herkunft:Sie entstehen, wenn man eine Grundformel in die andere einsetzt.
- Vorbild:Genau so steht der Weg in der Strategie-Tabelle.
- Nutzung:Als Abkürzung erlaubt — den Weg dahin musst du trotzdem verstehen.
Herleitung: Strecke ohne bekannte Zeit (gegeben v und a)
- Zeit ersetzen:v = a · t → t = v / a
- Einsetzen:s = ½ · a · t² = ½ · a · (v/a)²
- Kürzen:s = ½ · a · v²/a² = ½ · v² / a
- Nach a umstellen:a = v² / (2s)
- Deutung:v steht im Quadrat — doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Weg.
Herleitung: Strecke ohne bekannte Beschleunigung (gegeben v und t)
- a ersetzen:v = a · t → a = v / t
- Einsetzen:s = ½ · a · t² = ½ · (v/t) · t²
- Kürzen:s = ½ · v · t
- Nach t umstellen:t = 2s / v
- Unterschied:Gegenüber s = v · t fehlt die Hälfte, weil der Körper im Mittel nur halb so schnell war.
Beide gelten nur beim Start aus dem Stillstand.
| gesucht | umgestellte Formel | gebraucht wird | kommt aus |
|---|---|---|---|
| v | v = a · t | a und t | Grundformel |
| t | t = v / a | v und a | v = a · t |
| a | a = v / t | v und t | v = a · t |
| s | s = ½ · a · t² | a und t | Grundformel |
| a | a = 2s / t² | s und t | s = ½ a t² |
| t | t = √(2s / a) | s und a | s = ½ a t² |
| s | s = ½ · v² / a | v und a | beide Formeln |
| a | a = v² / (2s) | v und s | beide Formeln |
| s | s = ½ · v · t | v und t | beide Formeln |
| t | t = 2s / v | v und s | beide Formeln |
| v | v = 2s / t | s und t | beide Formeln |
Merke dir nicht die Tabelle, sondern die beiden Grundformeln und den Weg des Umstellens. Alle übrigen Zeilen entstehen daraus in zwei bis drei Rechenschritten.
- Quadrat nur für t:In s = ½ · a · t² wird nur t quadriert: ½ · 4 · 25 = 50, nicht ½ · 16 · 5.
Ein Beispiel Schritt für Schritt
Ein Auto beschleunigt aus dem Stillstand gleichmäßig mit 4 m/s². Gesucht sind Geschwindigkeit und Strecke nach 5 s.
- Gegeben:a = 4 m/s², t = 5 s; gesucht: v und s
- Tabellenzeile:a, t → v und a, t → s — beide Male direkt einsetzen
- Geschwindigkeit:v = 4 m/s² · 5 s = 20 m/s
- Strecke:s = ½ · 4 m/s² · (5 s)² = 50 m
- Falle:50 m ÷ 5 s = 10 m/s wäre nur die Durchschnittsgeschwindigkeit.
So gehst du an jede Beschleunigungsaufgabe
- 1. Notieren:Gegebene Größen mit Formelzeichen und Einheit, gesuchte Größe markieren.
- 2. Zeile suchen:Zwei gegebene plus eine gesuchte Größe ergeben genau eine Tabellenzeile.
- 3. Umstellen:Erst ohne Zahlen umstellen; bei Block 3 zuerst die Zwischengröße bestimmen.
- 4. Einsetzen:In m und s rechnen, ½ und Quadrat an der richtigen Stelle.
- 5. Prüfen:Stimmen Einheit und Größenordnung? Zur Sicherheit rückwärts einsetzen.
Im Unterricht: Wir sammeln im Plenum, an welchen Signalwörtern im Aufgabentext ihr erkennt, welche Größen gegeben sind. Besonders interessant sind die Aufgaben aus Block 3 — dort weichen die gewählten Zwischengrößen oft voneinander ab, obwohl am Ende dasselbe Ergebnis herauskommt.
Hinweise
Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:
Erst in m und s umrechnen
Beide Formeln gelten nur in den Grundeinheiten. Rechne km/h, Minuten oder Kilometer vor dem Einsetzen um.
Das ½ nicht vergessen
s = a · t² statt s = ½ · a · t² liefert das doppelte Ergebnis. Wirkt deine Strecke zu groß, prüfe zuerst das ½.
Beim Wurzelziehen nur die positive Lösung
t² = 64 s² ergibt +8 s und −8 s. Eine negative Zeitspanne gibt es nicht, also t = 8 s.