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Textaufgaben: Beschleunigte Bewegungen berechnen

Sechs Sachaufgaben mit Teilaufgaben, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont — vom ICE auf der Neubaustrecke bis zum Kind auf der Wohnstraße.

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Sechs Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Der ICE beschleunigt

AFB II

Die Beschleunigung eines ICEs der Deutschen Bahn kann bis zu 1,2 m/s² betragen.

M1Die Beschleunigungsphase im v-t-Diagramm
0102030405060708090020406080100Zeit t in sGeschwindigkeit v in m/sv = 95 m/s (342 km/h)t ≈ 79,17 sFläche = Streckes = ½ · a · t² ≈ 3761 ma = 1,2 m/s²Steigung der Geraden = Beschleunigung a · Fläche unter der Geraden = zurückgelegte Strecke s
  1. Nach welcher Zeit würde der Zug seine Höchstgeschwindigkeit von 342 km/h erreichen? Berechnen Sie die Zeit.
  2. Welche Strecke hat er dann zurückgelegt? Berechnen Sie den Weg.
  3. Beurteilen Sie, ob eine solche Beschleunigungsstrecke im Bahnbetrieb realistisch ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne zuerst 342 km/h in die Grundeinheit m/s um: durch 3,6 teilen. Gesucht ist die Zeit, gegeben sind a und v — in der Tabelle des Lehrers steht dazu: Formel v = a·t umstellen.„Berechnen“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Jetzt sind a und t bekannt, gesucht ist s. Nimm die Zeit aus a) und setze in s = ½·a·t² ein. Rechne nie mit v = s/t — das gilt nur für gleichförmige Bewegungen.„Berechnen“ heißt: den kompletten Weg zeigen, nicht nur die Zahl.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne das Ergebnis aus b) in Kilometer um und vergleiche es mit der Länge eines Bahnhofs oder eines Streckenabschnitts mit Kurven und Weichen.„Beurteilen“ verlangt ein eigenes, mit Fachwissen begründetes Urteil — die reine Zahl genügt nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Aus v = 342 km/h = 95 m/s folgt
t = v/a = 95 m/s ÷ 1,2 m/s² ≈ 79,17 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

s = ½ · a · t² ≈ ½ · 1,2 m/s² · (79,17 s)² ≈ 3761 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rund 3,8 km sind eine sehr lange Anfahrstrecke; sie erklärt, warum Hochgeschwindigkeitszüge nur auf langen, geraden Neubaustrecken ihre Höchstgeschwindigkeit erreichen. Auf kurvenreichen Altstrecken oder zwischen dicht aufeinanderfolgenden Halten ist die Strecke schlicht zu kurz — der Zug wäre noch am Beschleunigen, wenn er schon wieder bremsen muss.

2

Der ICE bremst

AFB III

Der Zug kommt danach auf einer Strecke von 3500 m aus den 342 km/h zum Stillstand. Berechnen Sie die Bremsbeschleunigung und die Bremszeit. Gehen Sie von einer gleichmäßig beschleunigten Abbremsung aus.

M1Bremsweg und v-t-Diagramm des Bremsvorgangs
v = 95 m/sv = 0 m/sBremsweg 3500 m01020304050607080020406080100Zeit t in sGeschwindigkeit v in m/s95 m/st ≈ 73,6 sFläche = 3500 mSteigung = a ≈ −1,29 m/s²
  1. Leiten Sie aus s = ½·a·t² und v = a·t eine Formel her, mit der man a aus v und s berechnen kann.
  2. Berechnen Sie die Bremsbeschleunigung.
  3. Berechnen Sie die Bremszeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle v = a·t nach t um und setze das Ergebnis in s = ½·a·t² ein. Beim Quadrieren kürzt sich ein a heraus.„Herleiten“ heißt: jeden Umformungsschritt aufschreiben, bis die gesuchte Größe allein steht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze v = 95 m/s und s = 3500 m in deine Formel aus a) ein. Überlege danach, welches Vorzeichen a bei einem Bremsvorgang bekommt.„Berechnen“ verlangt auch die richtige Deutung des Vorzeichens — der Betrag allein ist nur die halbe Antwort.
Hinweis zu Aufgabe c)
Jetzt sind v und a bekannt, gesucht ist t. Das ist wieder die umgestellte Formel v = a·t.„Berechnen“: Ansatz, Zahlen mit Einheiten, Ergebnis — hier reicht der Betrag von a.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben sind s und v, gesucht ist a. Einsetzen von t = v/a ergibt

s = ½ · a · t² = ½ · a · (v/a)² = ½ · v²/a

⟹ a = v²/(2·s)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

a = v²/(2·s) = (95 m/s)² ÷ (2 · 3500 m) ≈ 1,29 m/s².

Da es sich um einen Bremsvorgang handelt, betrachten wir die Bremsbeschleunigung als negativ, also a = −1,29 m/s².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für die Bremszeit folgt somit

t = v/a = 95 m/s ÷ 1,29 m/s² ≈ 73,6 s.

3

Das Hindernis in 75 Metern

AFB III

Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Der Fahrer bemerkt in 75 m Entfernung ein Hindernis und bremst nach einer Reaktionszeit von 0,8 s mit einer negativen Beschleunigung von −6,0 m/s² ab. Kommt das Fahrzeug rechtzeitig zum Stillstand?

M1Reaktionsweg, Bremsweg und Hindernis — maßstäblich
Hindernis bei 75 mReaktionsweg 20 mBremsweg 52,1 mAnhalteweg 72,1 mReserve bis zum Hindernis: 2,9 m01020304050607080Weg in m
  1. Berechnen Sie den Reaktionsweg.
  2. Berechnen Sie den Bremsweg.
  3. Beurteilen Sie, ob das Fahrzeug rechtzeitig zum Stillstand kommt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Während der Reaktionszeit bremst noch nichts — das Auto fährt gleichförmig weiter. Dafür gilt v = s/t.„Berechnen“: Erst die Einheit umrechnen (90 km/h ÷ 3,6), dann einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gegeben sind v und a, gesucht ist s. Nutze die Herleitung aus Aufgabe 2: s = ½ · v²/a.„Berechnen“ — mit dem Betrag von a rechnen; das Minuszeichen sagt nur, dass gebremst wird.
Hinweis zu Aufgabe c)
Addiere Reaktionsweg und Bremsweg zum Anhalteweg und vergleiche ihn mit den 75 m bis zum Hindernis.„Beurteilen“ verlangt ein klares Urteil mit Zahl — wie groß ist der Abstand am Ende noch?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Umrechnung in die Grundeinheit: 90 km/h = 25 m/s.

Gleichförmige Bewegung: Aus v = s/t folgt s = v · t = 25 m/s · 0,8 s = 20 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Aus a = v/t folgt t = v/a; somit ergibt sich

s = ½ · a · t² = ½ · a · (v/a)² = ½ · v²/a ≈ 52,1 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Anhalteweg des Fahrzeugs beträgt s ≈ 20 m + 52,1 m = 72,1 m, also kommt das Fahrzeug rechtzeitig zum Stillstand — es bleiben rund 2,9 m Reserve bis zum Hindernis.

4

Das Kind auf der Wohnstraße

AFB III

Wenn ein Fahrrad-, Motorrad- oder Autofahrer eine plötzliche Gefahr bemerkt, z. B. ein Kind, das auf den Radweg oder auf die Fahrbahn läuft, vergeht zunächst eine gewisse Reaktionszeit tR, bis der Fahrer überhaupt die Bremse betätigt und die Bremse zu wirken beginnt. Die Dauer dieser Zeit hängt von der Aufmerksamkeit und der körperlichen Verfassung des Fahrers, von den Sichtverhältnissen und vom Zustand der Bremsanlage ab und dauert häufig eine Sekunde.

Die Strecke, die ein Fahrzeug während der Reaktionszeit ungebremst durchfährt, heißt Reaktionsweg. Dann schließt sich der eigentliche Bremsweg an. Beide zusammen ergeben den Anhalteweg. Die Reaktionszeit eines Menschen lässt sich gut als tR = 1,0 s einschätzen.

M1Vier Anhaltewege im Vergleich — und die 15-m-Marke des Kindes
051015202530Weg in mKind bei 15 m45 km/h · trockena = −8,0 m/s²12,5 m9,77 m22,27 mangefahren30 km/h · trockena = −8,0 m/s²8,33 m4,34 m12,67 mnicht angefahren45 km/h · nassa = −5,0 m/s²12,5 m15,625 m28,125 mangefahren30 km/h · nassa = −5,0 m/s²8,33 m6,94 m15,27 mangefahrenReaktionsweg (tᵣ = 1,0 s)Bremsweg
  1. Ein Auto mit sehr guten Bremsen und einer Bremsverzögerung a = −8,0 m/s² fährt in einer Wohnstraße, in der eigentlich ein Höchsttempo von 30 km/h vorgeschrieben ist, mit einem Tempo von 45 km/h. Plötzlich läuft 15 m vor ihm ein kleines Kind auf die Straße. Der Fahrer macht eine Vollbremsung. Erläutern Sie mit Hilfe einer Rechnung, ob das Kind mit dem Schrecken davonkommt oder ob es angefahren wird. Berücksichtigen Sie die Reaktionszeit.
  2. Berechnen Sie den Anhalteweg dieses Autos, wenn es bei gleicher Reaktionszeit die vorgeschriebene Geschwindigkeitsbegrenzung von 30 km/h eingehalten hätte.
  3. Nun ist die Straße nass. Das Auto hat daher nun eine Bremsverzögerung von a = −5,0 m/s². Berechnen Sie, wie groß jetzt der Anhalteweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 45 km/h bzw. von 30 km/h ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Drei Schritte: 45 km/h in m/s umrechnen, damit den Reaktionsweg für tR = 1,0 s bestimmen, dann mit t = v/a die Bremszeit und mit s = ½·a·t² den Bremsweg.„Erläutern“ verlangt Rechnung und Deutung: Der Vergleich mit den 15 m muss ausgeschrieben werden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Genau derselbe Weg wie in a), nur mit v = 30 km/h. Die Bremsverzögerung bleibt bei 8,0 m/s².„Berechnen“: Reaktionsweg und Bremsweg getrennt ausrechnen, dann addieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vier Rechnungen in einer: 45 km/h und 30 km/h, beide Male mit a = 5,0 m/s². Der Reaktionsweg ändert sich nicht — die Straßennässe wirkt erst beim Bremsen.„Berechnen“: Für jeden der beiden Fälle Reaktionsweg, Bremsweg und Summe angeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Es gilt 45 km/h = 12,5 m/s, damit legt das Auto 12,5 m während der Reaktionszeit zurück.

Während des Bremsens benötigt das Auto die Zeit t = v/a = 12,5 ÷ 8 = 1,5625 s.

Die dabei zurückgelegte Strecke beträgt s = ½ · 8 m/s² · (1,5625 s)² = 9,77 m.

Die gesamte Strecke beträgt also 22,27 m — damit wird das Kind leider angefahren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt 30 km/h = 8,33 m/s, damit legt das Auto 8,33 m während der Reaktionszeit zurück.

Während des Bremsens benötigt das Auto die Zeit t = v/a = 8,33 ÷ 8 = 1,04125 s.

Die dabei zurückgelegte Strecke beträgt s = ½ · 8 m/s² · (1,04125 s)² = 4,34 m.

Die gesamte Strecke beträgt also 12,67 m — damit wird das Kind nicht angefahren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

45 km/h: Es gilt 45 km/h = 12,5 m/s, damit legt das Auto 12,5 m während der Reaktionszeit zurück. Während des Bremsens benötigt das Auto die Zeit t = v/a = 12,5 ÷ 5 = 2,5 s. Die dabei zurückgelegte Strecke beträgt s = ½ · 5 m/s² · (2,5 s)² = 15,625 m. Die gesamte Strecke beträgt also 28,125 m — damit wird das Kind leider angefahren.

30 km/h: Es gilt 30 km/h = 8,33 m/s, damit legt das Auto 8,33 m während der Reaktionszeit zurück. Während des Bremsens benötigt das Auto die Zeit t = v/a = 8,33 ÷ 5 = 1,67 s. Die dabei zurückgelegte Strecke beträgt s = ½ · 5 m/s² · (1,67 s)² = 6,94 m. Die gesamte Strecke beträgt also 15,27 m — damit wird das Kind leider angefahren.

5

Das zweite Fahrzeug holt auf

AFB III

Zum Zeitpunkt Null bewegt sich ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h gleichförmig. Ein zweites Fahrzeug beschleunigt zum selben Zeitpunkt gleichmäßig aus dem Stand mit einer Beschleunigung von 6 m/s², bis es 108 km/h erreicht. Danach fährt es mit konstanter Geschwindigkeit. Bestimmen Sie zeichnerisch, nach welcher Zeit und nach welcher Strecke das zweite Fahrzeug das erste Fahrzeug eingeholt hat.

M1Weg-Zeit-Diagramm beider Fahrzeuge mit Schnittpunkt
012345678910020406080100120140160180200Zeit t in sStrecke s in mEinholen: 7,5 s | 150 m7,5 s(5 s | 75 m) – ab hier v = 30 m/s konstantAuto 1: gleichförmig, 20 m/sAuto 2: a = 6 m/s², dann konstant
  1. Berechnen Sie, nach welcher Zeit das zweite Fahrzeug 108 km/h erreicht, und welche Strecke es dabei zurücklegt.
  2. Bestimmen Sie zeichnerisch Zeitpunkt und Ort des Einholens.
  3. Erklären Sie, warum die Kurve des zweiten Fahrzeugs nach 5 Sekunden in eine Gerade übergeht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne beide Geschwindigkeiten zuerst in m/s um (÷ 3,6). Gegeben sind dann a und v, gesucht ist t — und anschließend mit s = ½·a·t² der Weg.„Berechnen“: Zwei Ergebnisse sind gefragt — Zeit und Strecke, beide mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zeichne beide Wege in ein s-t-Diagramm: Auto 1 als Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 20 m/s, Auto 2 zuerst als Parabel bis zu dem Punkt aus a), danach als Gerade. Lies den Schnittpunkt ab.„Bestimmen“ erlaubt ausdrücklich den zeichnerischen Weg — beide abgelesenen Werte gehören zur Antwort.
Hinweis zu Aufgabe c)
Überlege, welche Bewegungsform ab 5 s vorliegt und wie diese Form im s-t-Diagramm aussieht.„Erklären“ heißt: die Form der Kurve auf die zugrunde liegende Bewegungsform zurückführen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Auto 1: v = 72 km/h = 20 m/s, a = 0 m/s². Auto 2: v = 108 km/h = 30 m/s, a = 6 m/s².

Das zweite Auto erreicht nach t = v/a = 30 ÷ 6 = 5 s die Geschwindigkeit von 108 km/h. Zu diesem Zeitpunkt hat es s = ½ · 6 m/s² · (5 s)² = 75 m zurückgelegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Im Diagramm (M1) schneiden sich die Gerade von Auto 1 und die Kurve von Auto 2 bei t = 7,5 s und s = 150 m.

Antwort: Das zweite Fahrzeug überholt das erste Fahrzeug nach 150 Metern und 7,5 Sekunden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ab 5 s ist die Geschwindigkeit konstant, die Bewegung also gleichförmig — im s-t-Diagramm bedeutet das eine Gerade mit der Steigung 30 m/s. Vorher nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig zu, deshalb ist die Kurve dort eine Parabel.

6

Auto und LKW kommen sich entgegen

AFB III

Ein Auto fährt zum Zeitpunkt 0 s mit einer konstanten Geschwindigkeit von 54 km/h. Zum selben Zeitpunkt, aber in 150 Metern Entfernung fährt ihm ein LKW entgegen. Dieser beschleunigt gleichmäßig mit 6 m/s².

M1Situationsskizze und Weg-Zeit-Diagramm des Treffpunkts
v = 15 m/sAutoa = 6 m/s²LKW (startet aus dem Stand)150 m012345678020406080100120140160Zeit t in sStrecke s in mTreffpunkt: 5 s | 75 m5 sL(0) = 150 mA(t) = 15 m/s · tL(t) = −3 m/s² · t² + 150 m
  1. Bestimmen Sie zeichnerisch, wann und wo sich das Auto und der LKW treffen.
  2. Bestimmen Sie die Aufgabe rechnerisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Lege den Nullpunkt an den Startort des Autos. Der LKW startet bei s = 150 m und fährt auf den Nullpunkt zu, seine Wegfunktion fällt also. Zeichne beide Kurven in dasselbe s-t-Diagramm und lies den Schnittpunkt ab.„Bestimmen“ lässt den Weg frei — zeichnerisch genügt, wenn beide abgelesenen Werte genannt werden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Stelle beide Wegfunktionen auf: A(t) = 15 m/s · t und L(t) = (a/2)·t² + s₀. Setze sie gleich, sortiere zu einer quadratischen Gleichung um und löse mit der pq-Formel.„Bestimmen“: Beide Lösungen der pq-Formel angeben — und begründen, welche physikalisch sinnvoll ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Im Diagramm (M1) schneiden sich die fallende Parabel des LKW und die Gerade des Autos bei t = 5 s und s = 75 m. Das Auto hat bis dahin 75 m zurückgelegt, der LKW die restlichen 75 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Umrechnung in die Grundeinheit: 54 km/h = 15 m/s. Die Strecke des LKWs wird durch die Funktion L(t) = (a/2)·t² + s₀ = −3 m/s² · t² + 150 m beschrieben, die des Autos durch A(t) = 15 m/s · t.

Wir setzen beide Funktionen gleich und lösen mit Hilfe der pq-Formel nach t; da die Größen in Grundeinheiten angegeben sind, lassen wir die Einheiten für eine bessere Übersicht weg.

−3 t² + 150 = 15 t
−3 t² − 15 t + 150 = 0
t² + 5 t − 50 = 0
⟹ t₁,₂ = −5/2 ± √(25/4 + 50) = −2,5 ± 7,5
⟹ t₁ = −10 s (physikalisch nicht sinnvoll), t₂ = 5 s

Damit A(5 s) = 15 m/s · 5 s = 75 m.