Beschleunigte Bewegungen
Rakete, ICE, Bremsweg, Überholen — hier treffen die beiden Formeln auf echte Situationen. Und auf Bewegungen, die aus mehreren Abschnitten bestehen.
Von der Formel zum Diagramm
Im vorigen Unterkapitel standen die beiden Formeln v = a · t und s = ½ · a · t² für sich allein.
- Neue Frage:Wie sieht eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus, wenn man sie aufzeichnet?
- Nötige Angabe:Dafür genügt eine einzige Größe — die Beschleunigung a.
- Zwei Diagramme:Aus denselben Formeln entstehen ein s-t-Diagramm und ein v-t-Diagramm.
- Beispiel:Eine Rakete beschleunigt aus dem Stand mit 6 m/s² — wir betrachten die ersten 10 Sekunden.
Beschleunigung in m/s².
Zeit in Sekunden (s).
Geschwindigkeit in m/s.
Zurückgelegte Strecke in Metern (m). Beide Formeln gelten nur aus dem Stillstand heraus und bei konstantem a.
Schritt 1 — die Wertetabelle
Ein Diagramm zeichnest du nicht aus dem Gefühl heraus, sondern aus Werten.
- Vorgehen:Wähle einige Zeitpunkte und setze sie in beide Formeln ein.
- Geschwindigkeit:Mit a = 6 m/s² wird aus v = a · t die Rechnung v = 6 · t.
- Strecke:Aus s = ½ · a · t² wird die Rechnung s = 3 · t².
| Zeit t | 0 s | 2 s | 4 s | 6 s | 8 s | 10 s |
|---|---|---|---|---|---|---|
| v = 6 · t (in m/s) | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 |
| s = 3 · t² (in m) | 0 | 12 | 48 | 108 | 192 | 300 |
Kontrolle für t = 8 s: v = 6 m/s² · 8 s = 48 m/s und s = ½ · 6 m/s² · (8 s)² = 3 · 64 m = 192 m.
- Geschwindigkeit:Sie wächst in jedem Zeitschritt um denselben Betrag, immer +12 m/s je 2 s.
- Strecke:Sie wächst immer schneller — von 12 m im ersten Abschnitt auf 108 m im letzten.
Schritt 2 — die beiden Diagramme
Vor dem Zeichnen legst du die Achsen fest.
- Größter Wert:Setze zuerst t = 10 s ein: s = 300 m und v = 60 m/s müssen ganz oben auf die Achsen passen.
- Schrittweite:Wähle dann eine bequeme Einteilung, hier 50 m bzw. 10 m/s.
- Beschriftung:Schreibe an beide Achsen Größe und Einheit — sonst verwechselst du s-t- und v-t-Diagramm.
Eine nach oben gekrümmte Parabel: Sie beginnt flach und wird immer steiler, weil die Rakete immer schneller wird. Bei t = 10 s liegt sie bei 300 m.
Eine Ursprungsgerade: In jeder Sekunde kommen 6 m/s dazu. Nach 10 s sind es 60 m/s.
Schritt 3 — wo steckt die Beschleunigung im Diagramm?
Im v-t-Diagramm kannst du die Beschleunigung direkt ablesen.
- Steigung:Die Beschleunigung ist die Steigung der Geraden.
- Steigungsdreieck:Nimm zwei Punkte und teile die Geschwindigkeitsänderung durch die Zeitspanne.
- Beispiel:Von t = 6 s bis t = 10 s wächst v von 36 m/s auf 60 m/s: a = 24 m/s ÷ 4 s = 6 m/s².
Im s-t-Diagramm geht das nicht so einfach.
- Steigung dort:Sie ist die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt, nicht die Beschleunigung.
- Krümmung:Je stärker die Parabel nach oben biegt, desto größer ist a.
- Sonderfall:Eine Gerade bedeutet a = 0 — also eine gleichförmige Bewegung.
Beschleunigen und Bremsen
Eine Rakete ist ein schönes Rechenbeispiel, ein ICE ein alltägliches.
- Der ICE:Er beschleunigt mit bis zu 1,2 m/s² und erreicht 342 km/h.
- Grundeinheiten:Steht a in m/s², muss v in m/s stehen — rechne also vor allem anderen um.
- Umrechnung:342 km/h ÷ 3,6 = 95 m/s.
Der ICE beschleunigt
Gesucht sind die Zeit und der Weg bis zur Höchstgeschwindigkeit.
- Zeit:Aus v = a · t folgt t = v / a = 95 m/s ÷ 1,2 m/s² ≈ 79,2 s.
- Weg:s = ½ · 1,2 m/s² · (79,17 s)² ≈ 3761 m, also knapp 3,8 km.
- Plausibel:Pro Sekunde kommen nur gut 4 km/h dazu — der Zug braucht über eine Minute und mehrere Kilometer.
- Runden:Zwischenergebnisse bleiben im Taschenrechner, gerundet wird erst am Ende.
Herleitung: Weg ohne die Zeit
Bei Bremsaufgaben ist die Zeit oft nicht gegeben — sie lässt sich aber aus den Formeln herausrechnen.
- Start:v = a · t und s = ½ · a · t²
- Nach t umstellen:t = v / a
- Einsetzen:s = ½ · a · (v / a)² = ½ · a · v² / a² — der ganze Bruch wird quadriert.
- Kürzen:s = ½ · v² / a
- Nach a umstellen:a = v² / (2 · s)
Geschwindigkeit zu Beginn des Bremsvorgangs in m/s.
Brems- bzw. Beschleunigungsweg in Metern (m).
Betrag der Beschleunigung in m/s². Gilt nur, wenn die Bewegung bei v = 0 beginnt oder endet.
Der ICE auf der Strecke
Der Zug fährt hier eine Gesamtstrecke von 30 km und durchläuft dabei drei Abschnitte: beschleunigen, konstant fahren, bremsen. Du stellst die Beschleunigung, die Zielgeschwindigkeit und den Bremsweg ein — das Applet zeichnet sofort beide Diagramme und rechnet die vier Kennwerte aus. Voreingestellt sind die Werte des ICE.
Beobachtung: Wird der Bremsweg halbiert, verdoppelt sich die Bremsverzögerung, und die Bremszeit halbiert sich. Verdoppelt sich dagegen die Zielgeschwindigkeit, wächst der Beschleunigungsweg auf das Vierfache: In s = ½ · v²/a steht v im Quadrat, a aber nur einfach.
Der Anhalteweg: zwei Bewegungen hintereinander
Im Verkehr passieren zwischen dem Erkennen eines Hindernisses und dem Stillstand zwei verschiedene Dinge.
- Reaktionsweg:Bis der Fuß auf der Bremse ist, fährt das Auto mit konstantem v weiter.
- Bremsweg:Danach nimmt v gleichmäßig ab, bis das Auto steht.
- Folge:Jeder Abschnitt braucht seine eigene Formel, erst am Ende werden die Wege addiert.
| Abschnitt | Was passiert? | Bewegungsart | Formel |
|---|---|---|---|
| Reaktionsweg | Der Fahrer sieht das Hindernis, erkennt die Gefahr und tritt aufs Bremspedal. Das Auto fährt in dieser Zeit unvermindert weiter. | gleichförmig, a = 0 | s = v · t |
| Bremsweg | Die Bremsen greifen. Die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig ab, bis das Auto steht. | gleichmäßig beschleunigt, a < 0 | s = ½ · v² / a |
| Anhalteweg | Beides zusammen — die Strecke vom Erkennen bis zum Stillstand. | zwei Abschnitte | s = sReaktion + sBrems |
Reaktionszeit in Sekunden (s).
Geschwindigkeit vor dem Bremsen in m/s.
Betrag der Bremsverzögerung in m/s². Der erste Summand ist gleichförmig, der zweite gleichmäßig beschleunigt.
Beispiel: Reicht der Abstand?
Ein PKW fährt 90 km/h, 75 m vor ihm liegt ein Hindernis. Die Reaktionszeit beträgt 0,8 s, die Bremsverzögerung 6,0 m/s².
- Umrechnen:90 km/h = 25 m/s.
- Reaktionsweg:s = 25 m/s · 0,8 s = 20 m.
- Bremsweg:s = ½ · (25 m/s)² ÷ 6 m/s² ≈ 52,1 m — mit dem Betrag der Verzögerung.
- Ergebnis:20 m + 52,1 m = 72,1 m — das Auto steht knapp 3 m vor dem Hindernis.
- Reaktionszeit doppelt:Bei 1,6 s wären es 40 m Reaktionsweg und 92,1 m Anhalteweg — Aufprall.
Der Anhalteweg beträgt 20 m + 52,1 m = 72,1 m. Bis zum Hindernis sind es 75 m — es bleiben also 2,9 m Reserve.
Anhalteweg-Simulator
Hier fährt das Anhalteweg-Beispiel als Film ab. Du stellst Ausgangsgeschwindigkeit, Reaktionszeit, Bremsverzögerung und den Abstand zum Hindernis ein — der Simulator färbt den Reaktionsweg blau, den Bremsweg rot und sagt dir, ob das Fahrzeug rechtzeitig steht. Voreingestellt sind die Werte aus dem Beispiel: 90 km/h, 0,8 s, −6,0 m/s², 75 m.
Beobachtung: Bei 45 km/h statt 90 km/h halbiert sich der Reaktionsweg (von 20 m auf 10 m), der Bremsweg aber wird auf ein Viertel kleiner (von 52,1 m auf 13,0 m). Das ist der Grund, warum eine Verdopplung der Geschwindigkeit im Straßenverkehr so viel gefährlicher ist, als sie sich anfühlt.
Einholen und Begegnen
Jetzt bewegen sich zwei Körper — die Frage lautet: Wann und wo treffen sie sich?
- Idee:Für jedes Fahrzeug beschreibst du den Ort als Funktion der Zeit.
- Treffbedingung:Beide haben zur selben Zeit denselben Ort.
- Im Diagramm:Das ist der Schnittpunkt der beiden Kurven.
- Ablesen:Vom Schnittpunkt je eine Hilfslinie zur Zeitachse und zur Streckenachse — beide Werte gehören zur Antwort.
Startort bei t = 0 in Metern (m).
Anfangsgeschwindigkeit in m/s.
Beschleunigung mit Vorzeichen in m/s². Beim Treffen haben beide Körper zur selben Zeit denselben Ort.
Beispiel: Das zweite Fahrzeug holt auf
Auto 1 fährt gleichförmig mit 72 km/h. Auto 2 startet zur selben Zeit am selben Ort aus dem Stand mit 6 m/s², bis es 108 km/h erreicht, und fährt dann gleichförmig weiter.
- Umrechnung:Auto 1 fährt 20 m/s, Auto 2 erreicht 30 m/s.
- Knickpunkt:Bei t = 30 m/s ÷ 6 m/s² = 5 s nach s = ½ · 6 m/s² · (5 s)² = 75 m — davor Parabel, danach Gerade.
- Ergebnis:Die Kurven schneiden sich bei 7,5 s und 150 m — dort holt Auto 2 ein.
Bis t = 5 s liegt die rote Kurve unter der grünen Geraden: Auto 2 ist noch im Rückstand. Danach ist es schneller und holt auf. Bei t = 7,5 s haben beide denselben Ort erreicht.
Beispiel: Auto und LKW fahren aufeinander zu
Ein Auto fährt gleichförmig mit 54 km/h. Ein LKW startet zur selben Zeit 150 m entfernt und beschleunigt mit 6 m/s² auf das Auto zu.
Der Startort des Autos ist 0 m, der des LKW 150 m. Weil der LKW dem Auto entgegenfährt, zeigt seine Beschleunigung in die negative Richtung.
- Auto:A(t) = 15 m/s · t.
- LKW:L(t) = −3 m/s² · t² + 150 m — in der Funktion steht a/2, nicht a.
- Gleichsetzen:15t = −3t² + 150 → t² + 5t − 50 = 0 → t = 5 s.
- Ergebnis:A(5 s) = 75 m — sie treffen sich nach 5 s, 75 m vom Start des Autos.
Die rote Kurve fällt, weil der Ort des LKW kleiner wird — er kommt dem Auto entgegen. Bei rund 7,1 s hätte er den Startort des Autos erreicht; getroffen haben sich beide aber schon vorher.
- Einholen:Gleicher Start, gleiche Richtung — der Abstand wächst erst und wird dann wieder null.
- Begegnen:Verschiedene Startorte, aufeinander zu — der Abstand schrumpft von Anfang an.
- Rechnerisch:Beides gleich: Weg-Zeit-Funktionen aufstellen, gleichsetzen, nach t auflösen.
Einholen oder Begegnen?
Zwei Fahrzeuge, vier Regler pro Fahrzeug — und die Frage, ob und wann sie sich treffen. Die beiden Knöpfe laden genau die beiden Beispiele oben: Einholen und Begegnen. Unter der Straßenansicht wächst das s-t-Diagramm mit, und der Schnittpunkt wird automatisch markiert.
Beobachtung: Beim Einholen liegt der Schnittpunkt bei 7,5 s und 150 m, genau wie im Diagramm oben. Erhöht man die Höchstgeschwindigkeit von Fahrzeug 2 auf 50 m/s, verschwindet der Knick, und der Treffpunkt wandert nach vorn. Genau deshalb gehört die Angabe „danach fährt es mit konstanter Geschwindigkeit“ zwingend zur Beschreibung.
Hinweise
Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:
Zuerst km/h in m/s
Teile jede Geschwindigkeit vor der ersten Formel durch 3,6. Sonst liegt das Ergebnis um den Faktor 3,6 daneben.
Nie mit v = s / t
Bei beschleunigten Bewegungen liefert s ÷ t nur die Durchschnittsgeschwindigkeit. Rechne mit v = a · t und s = ½ · a · t².
Reaktionsweg nicht vergessen
Der Anhalteweg ist Reaktionsweg plus Bremsweg. Wer nur den Bremsweg rechnet, unterschätzt ihn im Beispiel um 20 m.