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Textaufgaben: Lageenergie

Hochregallager und Stausee — mit gestuften Hinweisen und Erwartungshorizont.

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Zwei Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Das Hochregallager

AFB II

In einem Hochregallager hebt ein Regalbediener Paletten mit je 320 kg auf verschiedene Ebenen. Die unterste Ebene liegt 1,5 m über dem Hallenboden, jede weitere Ebene liegt 2,4 m höher (M1). Es gilt g = 9,81 m/s².

M1Die Ebenen des Hochregals
EbeneHöhe über dem Hallenboden
11,5 m
23,9 m
36,3 m
48,7 m
511,1 m
  1. Berechnen Sie die Lageenergie einer Palette auf Ebene 5 bezüglich des Hallenbodens.
  2. Bestimmen Sie, wie viel Energie zusätzlich aufgewendet werden muss, um eine Palette von Ebene 2 auf Ebene 5 zu heben.
  3. Überprüfen Sie die Aussage eines Lageristen: „Wenn ich statt des Hallenbodens die Ebene 1 als Nullniveau nehme, wird das Hochheben von Ebene 2 auf Ebene 5 energetisch günstiger.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Epot = m · g · h mit h = 11,1 m.Das Bezugsniveau ist hier vorgegeben — schreiben Sie es trotzdem hin.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gefragt ist die Differenz der Lageenergien. Der Höhenunterschied beträgt 11,1 m − 3,9 m.„Bestimmen“: Der Wert wird aus den vorhandenen Daten ermittelt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie die Differenz aus b) noch einmal, aber mit Ebene 1 als Nullniveau.„Überprüfen“ heißt: an Zahlen messen und ein klares Ergebnis formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Epot = 320 kg · 9,81 m/s² · 11,1 m = 34 845,3 J ≈ 34,8 kJ (bezüglich des Hallenbodens).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Δh = 11,1 m − 3,9 m = 7,2 m.
ΔEpot = 320 · 9,81 · 7,2 = 22 602,24 J ≈ 22,6 kJ.

Kontrolle über die Einzelwerte: 34 845,3 J − 12 243,1 J = 22 602,2 J — derselbe Wert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit Ebene 1 als Nullniveau liegt Ebene 2 bei 2,4 m und Ebene 5 bei 9,6 m. Die Einzelwerte ändern sich (7534,1 J bzw. 30 136,3 J), die Differenz aber nicht: 30 136,3 J − 7534,1 J = 22 602,2 J.

Die Aussage ist damit falsch. Ursache: In ΔEpot = m · g · (h2 − h1) kürzt sich das gewählte Nullniveau vollständig heraus. Der Motor muss physikalisch dieselbe Arbeit verrichten, ganz gleich, von wo aus jemand die Höhen zählt. Ein Bezugsniveau ist eine Rechenkonvention, keine physikalische Maßnahme.

2

Der Stausee

AFB III

Ein kleiner Speichersee fasst 250 000 m³ Wasser. Der Wasserspiegel liegt im Mittel 95 m über den Turbinen im Tal. 1 m³ Wasser hat eine Masse von 1000 kg; g = 9,81 m/s².

  1. Berechnen Sie die Masse des gespeicherten Wassers.
  2. Berechnen Sie die Lageenergie des gesamten Sees bezüglich der Turbinen.
  3. Bestimmen Sie, wie viele Kilowattstunden das sind (1 kWh = 3,6 · 106 J).
  4. Beurteilen Sie, ob die Angabe „95 m im Mittel“ für eine genaue Rechnung ausreicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
1 m³ entspricht 1000 kg.Achten Sie auf die Zehnerpotenzen — hier wird es schnell unübersichtlich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Epot = m · g · h mit den Werten aus a).Schreiben Sie das Ergebnis in Zehnerpotenzen und runden Sie sinnvoll.
Hinweis zu Aufgabe c)
Durch 3,6 · 106 teilen.„Bestimmen“: Der Wert folgt direkt aus b) durch Umrechnung.
Hinweis zu Aufgabe d)
Überlegen Sie, was mit dem Wasserspiegel passiert, während der See leer läuft.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil samt Angabe, wie groß der Fehler ungefähr ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

m = 250 000 m³ · 1000 kg/m³ = 2,5 · 108 kg (250 Millionen Kilogramm).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Epot = 2,5 · 108 kg · 9,81 m/s² · 95 m ≈ 2,33 · 1011 J (rund 233 Milliarden Joule).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

2,33 · 1011 J : (3,6 · 106 J/kWh) ≈ 64 700 kWh, also rund 6,5 · 104 kWh. Das entspricht etwa dem Jahresverbrauch von 20 bis 25 Haushalten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Angabe reicht für eine Überschlagsrechnung, nicht für eine genaue Bilanz.

Begründung: Während der See leer läuft, sinkt der Wasserspiegel. Das zuerst abfließende Wasser stürzt aus größerer Höhe als das zuletzt abfließende. Die Formel Epot = m · g · h mit einer festen Höhe unterstellt dagegen, dass die gesamte Masse aus derselben Höhe fällt.

Solange man mit der mittleren Höhe rechnet, ist das Ergebnis dennoch brauchbar: Der Fehler mittelt sich weitgehend heraus, weil die Lageenergie linear von h abhängt. Ungenau wird es erst, wenn der Wasserspiegel stärker schwankt oder das Becken eine unregelmäßige Form hat. Hinzu kommt, dass die real nutzbare Energie wegen des Wirkungsgrads von Turbine und Generator ohnehin deutlich unter dem berechneten Wert liegt.