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Textaufgaben: Herleitung von Ekin

Katapultstart und zwei Herleitungswege — mit gestuften Hinweisen und Erwartungshorizont.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungHerleitung von Ekin — beide Wege und der Herleitungs-Trainer zum Nachlesen.
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Zwei Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

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Der Katapultstart

AFB III

Auf einem Flugzeugträger beschleunigt ein Katapult ein Flugzeug der Masse 22 000 kg aus dem Stand auf einer Strecke von 90 m auf 70 m/s. Die Kraft des Katapults wird als konstant angenommen, Reibung wird vernachlässigt.

  1. Berechnen Sie die kinetische Energie des Flugzeugs am Ende der Startstrecke.
  2. Bestimmen Sie die konstante Kraft, die das Katapult dabei aufbringen muss.
  3. Herleiten Sie allgemein einen Ausdruck für diese Kraft in Abhängigkeit von m, v und s.
  4. Erklären Sie, warum die benötigte Kraft kleiner wird, wenn man die Startstrecke verlängert, die aufzuwendende Energie aber gleich bleibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ekin = ½ · m · v² mit den gegebenen Werten.Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen, sonst wird die Zahl unübersichtlich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die gesamte kinetische Energie stammt aus der Arbeit des Katapults: W = F · s.„Bestimmen“: Der Wert wird aus vorhandenen Daten ermittelt — hier aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie F · s = ½ · m · v² an und stellen Sie nach F um.„Herleiten“ verlangt begründete Zwischenschritte, nicht nur das Endergebnis.
Hinweis zu Aufgabe d)
Schauen Sie sich an, wo s in Ihrem Term aus c) steht — und wo es in der Energieformel steht.„Erklären“ heißt: die Ursache benennen, hier anhand der beiden Formeln.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ekin = ½ · 22 000 kg · (70 m/s)² = ½ · 22 000 · 4900 J = 53 900 000 J = 53,9 MJ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Arbeit des Katapults ist gleich der kinetischen Energie: F · s = 53,9 · 106 J.
F = 53,9 · 106 J : 90 m ≈ 599 000 N ≈ 599 kN. Antwortsatz: Das Katapult muss eine Kraft von rund 600 kN aufbringen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: Die verrichtete Arbeit ist die erreichte kinetische Energie.

W = F · s  und  W = ½ · m · v²  ⇒  F · s = ½ · m · v²
Division durch s liefert F = (m · v²) : (2 · s).

Kontrolle mit den Zahlen aus b): (22 000 · 4900) : (2 · 90) ≈ 599 000 N — derselbe Wert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

In F = (m · v²) : (2 · s) steht s im Nenner: Verdoppelt man die Startstrecke, halbiert sich die nötige Kraft. Die Energie ½ · m · v² enthält s dagegen überhaupt nicht — sie hängt nur von Masse und Endgeschwindigkeit ab.

Anschaulich: Es ist dieselbe Energiemenge, die übertragen werden muss; verteilt man sie auf einen längeren Weg, genügt an jeder Stelle eine kleinere Kraft. Genau dieses Prinzip nutzen später Knautschzone, Gurt und Airbag — sie verlängern den Weg, auf dem die Bewegungsenergie abgebaut wird.

2

Zwei Wege, ein Ergebnis

AFB II

In einer Physikstunde soll die Formel für die kinetische Energie hergeleitet werden. Lena rechnet über die Beschleunigung, Tarek über die mittlere Geschwindigkeit (M1).

M1Die beiden Tafelanschriften
LenaTarek
W = F · sW = F · s
F = m · aa = v : t, also F = m · (v : t)
v² = 2 · a · ss = v̄ · t = ½ · v · t
……
  1. Beschreiben Sie, welchen nächsten Schritt Lena machen muss, und führen Sie ihre Herleitung zu Ende.
  2. Herleiten Sie Tareks Weg vollständig bis zum Ergebnis.
  3. Vergleichen Sie beide Wege: Welche Voraussetzungen benutzt jeder von beiden?
Hinweis zu Aufgabe a)
Lena muss v² = 2 · a · s nach dem Produkt a · s umstellen.Der Ausdruck a · s taucht in ihrer zweiten Zeile bereits auf.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie Tareks Ausdrücke für F und s in W = F · s ein und kürzen Sie.Achten Sie darauf, welche Größe sich herauskürzt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Notieren Sie für beide Wege, welche Formeln aus der Kinematik bzw. Dynamik verwendet werden und welche Annahme über die Bewegung darin steckt.„Vergleichen“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede sowie ein Fazit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Lena stellt v² = 2 · a · s nach a · s um: a · s = ½ v².

Ihre zweite Zeile lautet W = m · a · s. Einsetzen ergibt W = m · ½ v², also W = ½ · m · v². Da die zugeführte Arbeit als Bewegungsenergie im Körper steckt, gilt Ekin = ½ · m · v².

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

W = F · s = m · (v : t) · ½ · v · t

Das t im Nenner und das t im Zähler kürzen sich: W = m · ½ · v · v = ½ · m · v². Auch hier folgt Ekin = ½ · m · v².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gemeinsam: Beide starten bei W = F · s und beide benutzen F = m · a in irgendeiner Form. Beide setzen voraus, dass die Kraft konstant ist und der Körper aus der Ruhe startet — sonst gelten weder v² = 2 · a · s noch v̄ = ½ v.

Unterschied: Lena benutzt die Weg-Geschwindigkeits-Beziehung v² = 2 · a · s und kommt ohne die Zeit aus. Tarek führt die Zeit t ein, muss dafür aber nur die mittlere Geschwindigkeit kennen; das t kürzt sich am Ende wieder heraus.

Fazit: Beide Wege sind gleichwertig und liefern dasselbe Ergebnis. Tareks Weg macht besonders gut sichtbar, woher das Halb kommt (mittlere Geschwindigkeit), Lenas Weg ist kürzer, weil die Zeit gar nicht erst auftaucht.