Woher das Halb kommt und warum ausgerechnet v quadriert wird — in fünf Zeilen erklärt.
1
Einstieg — Zwei Auffälligkeiten in einer Formel
Ekin = ½ · m · v² hast du im letzten Unterkapitel benutzt, ohne zu wissen, woher sie kommt. Zwei Dinge daran sind erklärungsbedürftig: Warum steht dort ein Halb? Und warum wird ausgerechnet v quadriert, m aber nicht?
Ein einziger Gedanke beantwortet beide Fragen.
Kernidee:Bewegungsenergie ist genau die Energie W, die eine Kraft einem ruhenden Körper zuführt, bis er die Geschwindigkeit v hat.
Plan:Genau diese Energie W rechnen wir jetzt aus.
Die Ausgangssituation: ein ruhender Körper der Masse m, eine konstante Kraft F, eine Strecke s — am Ende die Geschwindigkeit v.
2
Erklärung — Die Herleitung Zeile für Zeile
Gebraucht werden nur drei bekannte Gleichungen.
Zugeführte Energie:W = F · s — konstante Kraft in Bewegungsrichtung.
Zweites Newtonsches Gesetz:F = m · a.
Beschleunigte Bewegung:v² = 2 · a · s — nur aus der Ruhe.
Herleitung:
Start:W = F · s.
Kraft ersetzen:F = m · a eingesetzt: W = m · a · s.
Umstellen:aus v² = 2 · a · s folgt a · s = ½ · v².
Einsetzen:W = m · ½ · v² = ½ · m · v².
Ergebnis:Die zugeführte Energie steckt danach als Bewegungsenergie im Körper: Ekin = W.
Kinetische Energie
Ekin = ½ · m · v²
Der zweite Weg: ohne die Beschleunigung
Es geht auch ohne v² = 2 · a · s.
Werkzeug:Statt der Beschleunigung nutzt man die mittlere Geschwindigkeit.
Aus der Ruhe:Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig von 0 auf v.
Mittelwert:Im Mittel ist der Körper nur halb so schnell.
Herleitung:
Weg:s = v̄ · t = ½ · v · t.
Kraft:F = m · a = m · (v : t), denn aus der Ruhe gilt a = v : t.
Einsetzen:W = F · s = m · (v : t) · ½ · v · t.
Kürzen:t fällt weg: W = ½ · m · v² — die Zeit spielt keine Rolle.
Damit sind beide Fragen vom Anfang beantwortet.
Das Halb:Im Mittel ist der Körper nur halb so schnell wie am Ende — also nur der halbe Weg.
v im Quadrat:v steckt zweimal drin: einmal in der Kraft, einmal im Weg.
m einfach:Die Masse steckt nur in der Kraft, nicht im Weg.
Einheit:kg · (m/s)² = kg · m²s² = 1 J — passt.
Interaktiv
Woher kommt das Halb?
Ein Körper wird aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt. Das grüne Dreieck unter der Geraden im t-v-Diagramm ist der Weg s — das umgeklappte orange Dreieck zeigt, wie viel vom Rechteck v · t das grüne Dreieck einnimmt; rechts rechnet die Kette W = F · s mit.
Woher kommt das Halb?
Aus der Ruhe
Halte fest: Das umgeklappte obere Dreieck deckt das untere genau — der Weg ist also nur das halbe Rechteck, s = ½ · v · t. Mit F = m · v : t wird daraus W = F · s = ½ · m · v²; die Zeit t kürzt sich heraus. Die beiden Beispiele haben denselben Weg, aber verschiedene Energie: v steckt in der Kraft und im Weg.
Herleitungs-Trainer: Woher kommt ½ m v²?
In jeder Zeile führt einer von zwei Schritten zum nächsten Term. Zwei verschiedene Wege führen zum selben Ergebnis.
Beide Wege benutzen dieselbe Ausgangsgleichung W = F · s. Der Unterschied liegt nur darin, ob man zuerst die Kraft oder zuerst den Weg ersetzt. Das Halb entsteht in beiden Fällen aus derselben Quelle: Der Körper ist während der Beschleunigung im Mittel nur halb so schnell wie am Ende.
3
Hinweise — Worauf du achten solltest
Drei Stolperstellen
Hinweis
Nur aus der Ruhe
Sonst gilt v² = 2 · a · s nicht. Mit Startgeschwindigkeit liefert die Rechnung die Änderung der Bewegungsenergie.
Hinweis
Konstante Kraft, Zeit egal
Die Herleitung setzt eine konstante Kraft voraus. Wie lange das Beschleunigen dauert, ändert die Energie nicht.
Hinweis
a · s ist nicht v
Aus v² = 2 · a · s folgt a · s = ½ v², nicht ½ v. Wurzel nicht vergessen.
