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Textaufgaben: Energieerhaltungssatz

Turmspringen, Achterbahn und „Hau den Lukas“ — mit gestuften Hinweisen und Erwartungshorizont.

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Drei Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Der Energieerhaltungssatz beim Turmspringen

AFB II

Auf einem Sprungturm stehen drei Springerinnen und Springer in unterschiedlicher Höhe über der Wasseroberfläche (M1). Reibung und Luftwiderstand werden vernachlässigt; es gilt g = 9,81 m/s².

M1Der Sprungturm
10 m5 m2 m ① m₁ = 40 kg ② m₂ = 80 kg ③ m₃ = 60 kg ④ Wasseroberfläche (h = 0)
  1. Berechnen Sie die potenzielle Energie der drei Springer bezüglich der Wasseroberfläche.
  2. Berechnen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit der Springer, kurz bevor sie auf das Wasser auftreffen. Runden Sie auf drei Stellen nach dem Komma.
  3. Berechnen Sie die kinetische Energie der Springer kurz vor dem Auftreffen auf das Wasser.
  4. Erklären Sie, warum Springer ① und Springer ② dieselbe Energie besitzen, aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auftreffen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Epot = m · g · h. Alle Werte stehen bereits in Grundeinheiten.„Berechnen“ verlangt Rechenweg und Einheit — für jeden der drei Springer.
Hinweis zu Aufgabe b)
Unten ist h = 0, die gesamte Lageenergie ist in Bewegungsenergie umgewandelt: Ekin = Epot. Stellen Sie Ekin = ½ · m · v² nach v um.Zwei Schritte: erst gleichsetzen, dann umstellen. Die Wurzel nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Diese Teilaufgabe erfordert keine neue Rechnung — nur den Energieerhaltungssatz.Auch hier gehört eine kurze Begründung dazu, warum kein Rechenweg nötig ist.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleichen Sie die Terme m · g · h und v = √(2 · g · h): In welchem kommt die Masse vor?„Erklären“ heißt: die Ursache benennen, hier den Unterschied zwischen den beiden Formeln.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

① Epot = 40 · 9,81 · 10 = 3924 J
② Epot = 80 · 9,81 · 5 = 3924 J
③ Epot = 60 · 9,81 · 2 = 1177,2 J

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt Ekin = Epot und damit ½ · m · v² = Epot, also v = √((2 · Epot) : m).

① v = √((2 · 3924) : 40) = √196,2 ≈ 14,007 m/s
② v = √((2 · 3924) : 80) = √98,1 ≈ 9,905 m/s
③ v = √((2 · 1177,2) : 60) = √39,24 ≈ 6,264 m/s

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Da die Reibung vernachlässigt wird, ist die kinetische Energie kurz vor dem Auftreffen genauso groß wie die potenzielle Energie oben: ① 3924 J, ② 3924 J, ③ 1177,2 J. Eine erneute Rechnung mit ½ · m · v² liefert dieselben Werte und dient nur als Kontrolle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Energie hängt nach Epot = m · g · h von Masse und Höhe ab. Springer ② hat die halbe Höhe, aber die doppelte Masse — beides gleicht sich aus, deshalb sind beide Energien 3924 J.

Die Geschwindigkeit folgt dagegen aus m · g · h = ½ · m · v². Kürzt man m, bleibt v = √(2 · g · h): Sie hängt nur von der Höhe ab. Springer ① fällt aus 10 m und ist deshalb schneller als Springer ② aus 5 m — unabhängig davon, wer schwerer ist.

2

Energieerhaltungssatz bei einer Achterbahn

AFB II

Ein Achterbahnwagen mit einer Masse von 600 kg passiert den Startpunkt ① in 20 m Höhe bereits mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s. Anschließend durchfährt er einen Looping, dessen Spitze ② 12 m hoch liegt, und erreicht schließlich den Abschlusshügel ③ in 7 m Höhe (M1). Reibung wird vernachlässigt; g = 9,81 m/s².

M1Die Achterbahnstrecke
0 m1020 v = 10 m/s ① m = 600 kg ② 12 m ③ 7 m
  1. Berechnen Sie die Gesamtenergie des Wagens am Startpunkt ①.
  2. Berechnen Sie zu den drei Zeitpunkten ①, ② und ③ jeweils die kinetische Energie, die potenzielle Energie und die Geschwindigkeit in km/h.
  3. Beurteilen Sie, ob der Wagen einen Looping mit einer Spitze in 22 m Höhe durchfahren könnte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Am Start liegen beide Energieformen vor: Eges = ½ · m · v² + m · g · h.Der häufigste Fehler ist, die Startgeschwindigkeit zu übersehen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Berechnen Sie zu jeder Höhe zuerst Epot, dann Ekin = Eges − Epot und daraus v. Von m/s auf km/h: mal 3,6.Kontrolle: Die Summe der beiden Energien muss an jedem Punkt gleich sein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie, welche potenzielle Energie 22 m erfordern würden, und vergleichen Sie mit der Gesamtenergie.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil, nicht nur eine Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ekin = ½ · 600 · 10² = 30 000 J; Epot = 600 · 9,81 · 20 = 117 720 J.
Eges = 30 000 J + 117 720 J = 147 720 J. Dieser Wert bleibt während der gesamten Fahrt konstant.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

① h = 20 m: Epot = 117 720 J, Ekin = 30 000 J, v = 10 m/s = 36 km/h.

② h = 12 m: Epot = 600 · 9,81 · 12 = 70 632 J, Ekin = 147 720 − 70 632 = 77 088 J, v = √((2 · 77 088) : 600) = √256,96 ≈ 16,03 m/s = 57,7 km/h.

③ h = 7 m: Epot = 600 · 9,81 · 7 = 41 202 J, Ekin = 147 720 − 41 202 = 106 518 J, v = √((2 · 106 518) : 600) = √355,06 ≈ 18,84 m/s = 67,8 km/h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für 22 m bräuchte der Wagen Epot = 600 · 9,81 · 22 = 129 492 J. Das ist weniger als die Gesamtenergie von 147 720 J; rechnerisch blieben 18 228 J kinetische Energie übrig, also v ≈ 7,8 m/s. Rein energetisch könnte der Wagen diese Höhe also erreichen.

Einschränkung: Die Rechnung setzt voraus, dass gar keine Reibung auftritt. In Wirklichkeit geht auf dem Weg dorthin Energie in thermische Energie über, sodass der Spielraum deutlich kleiner ist. Ein Looping in 22 m Höhe wäre also allenfalls knapp möglich und in der Praxis nicht sicher zu betreiben.

3

Energieerhaltungssatz bei „Hau den Lukas“

AFB III

Bei dem Spiel „Hau den Lukas“ wird durch den Schlag mit einem 5 kg schweren Hammer eine 2 kg schwere Scheibe senkrecht nach oben beschleunigt (M1). Die Skala reicht von 0 bis 1000 Punkte auf einer Höhe von 8 m. Reibung wird vernachlässigt; g = 9,81 m/s².

M1Der Kraftmesser
10007505002500 v Scheibe (2 kg) 8 m Hammer (5 kg)
  1. Ayca erreicht bei ihrem Versuch 875 Punkte. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Scheibe kurz nach dem Schlag von Ayca.
  2. Bei dem Schlag von Johan verlässt seine Scheibe den Startpunkt mit einer Geschwindigkeit von 45 km/h. Berechnen Sie die von ihm erreichte Punktzahl.
  3. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit seiner Scheibe beim Passieren der 500-Punkte-Marke.
  4. Ayca sagt: „Das Spiel ist unfair, du bist nicht stärker, du hältst einfach den Hammer 40 cm höher als ich.“ Überprüfen Sie die Aussage von Ayca.
Hinweis zu Aufgabe a)
875 von 1000 Punkten entsprechen 875/1000 der 8 m. Berechnen Sie damit Epot der Scheibe im höchsten Punkt und setzen Sie diese der kinetischen Energie unten gleich.Die Punktzahl ist eine Höhenangabe in anderer Verkleidung.
Hinweis zu Aufgabe b)
45 km/h zuerst in m/s umrechnen (: 3,6). Dann Ekin berechnen, daraus die Höhe und daraus die Punktzahl.Vier Schritte — notieren Sie jeden einzeln.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die 500-Punkte-Marke liegt auf halber Skalenhöhe. Verwenden Sie die Gesamtenergie aus b) und ziehen Sie die dortige potenzielle Energie ab.„Bestimmen“: Der Wert soll aus vorhandenen Daten ermittelt werden — hier aus b).
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie, wie viel zusätzliche Energie 40 cm mehr Höhe beim Hammer (5 kg) bedeuten, und vergleichen Sie diesen Betrag mit dem Energieunterschied der beiden Scheiben aus a) und b).„Überprüfen“ heißt: die Aussage an Zahlen messen und ein klares Ergebnis formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

875 Punkte entsprechen h = (875 : 1000) · 8 m = 7 m.
Epot = 2 · 9,81 · 7 = 137,34 J. Da diese Energie unten als kinetische Energie vorlag, gilt v = √((2 · 137,34) : 2) = √137,34 ≈ 11,7 m/s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

45 km/h : 3,6 = 12,5 m/s. Damit ist Ekin = ½ · 2 · 12,5² = 156,25 J.
Diese Energie wird vollständig in Lageenergie umgewandelt: h = E : (m · g) = 156,25 : (2 · 9,81) ≈ 7,963 m.
Punktzahl = (7,963 : 8) · 1000 ≈ 995 Punkte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die 500-Punkte-Marke liegt bei h = 4 m. Dort ist Epot = 2 · 9,81 · 4 = 78,48 J.
Ekin = 156,25 − 78,48 = 77,77 J, also v = √((2 · 77,77) : 2) = √77,77 ≈ 8,8 m/s (rund 32 km/h).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Energieunterschied der beiden Schüsse: 156,25 J − 137,34 J = 18,91 J.

Zusätzliche Energie durch 40 cm mehr Hammerhöhe: Der Hammer wiegt 5 kg, also ΔE = 5 · 9,81 · 0,40 = 19,62 J.

Die beiden Beträge stimmen fast überein (19,62 J gegenüber 18,91 J). Die größere Ausholhöhe erklärt den Unterschied also praktisch vollständig — Aycas Aussage ist bestätigt. Einschränkungen: Die Rechnung setzt voraus, dass beide Schäge gleich gut treffen und dass keine Energie durch Reibung verloren geht; die kleine Differenz von 0,71 J liegt im Rahmen dieser Ungenauigkeiten. Streng genommen zeigt die Rechnung nur, dass die Höhendifferenz ausreicht, um den Unterschied zu erklären — nicht, dass Johan gar keine größere Kraft aufgewendet hat.